Родников А.В. О динамике околосепаратрисных вращений гантелевидного спутника с леерной связью

Родников А.В.
О динамике околосепаратрисных вращений
гантелевидного спутника с леерной связью
Лееръ - веревка, туго протянутая въ косом или лежачемъ положенiи… леера же
протягиваются вдоль палубы… за нихъ люди хватаются на ходу . (Толковый словарь
живаго великорусскаго языка Владимира Даля, Москва 1881)
Леер (от голл. Leier), с у д о в о й, трос,
служащий для подъема косых парусов,
ограждения палубных отверстий или открытых
палуб в местах, не защищенных комингсом
или фальшбортом, подвески шлангов при
передаче жидкого топлива на ходу и др….
(БСЭ, Изд-е 3-е, Москва 1973)
Dutch maritime term ‘leier’ means the rope with
both fixed ends
XXXIV Академические чтения по космонавтике, Москва, 28 января 2010 г.
Обозначения, переменные, параметры
Переменные:
O1 - притягивающий центр,
O1C =r,
длина троса – 2а,
y
длина гантели – 2с,
С – центр масс связки,
О – геометрический
центр гантели,
r0 – начальное значение r
g
- эксцентрическая
аномалия эллипса, по
которому движется груз
m3
q  const r  const
m1  m 2
  1
q , r, j, g
Параметры
a 2 m1  m2 m3

4c 2 m1m2
d  q dt ,


m2  m1

m1  m2
d

d
e
0   1; 0  e 1
c
a
Структура Лагранжиана
L  L2  L1  L0
2

L2  j /2   L21j,g,g; e,
  1
L0  3/2 cos j   L01 j ,g ; e, 
2
L1  L11 j, g; e, 
Интеграл Якоби
L2  L0  h
Условия нахождения на связи
1  e 2 1  e cos g j  1  21  e 2 cos 2 g 1  j g  1  e 2 g 2 
3
 1  e 2 sin 2g sin 2j 
2
2
1 e
3 cos 2j cos 2g  1  e cos g1  3 cos 2j  0

2
2
Околосепаратрисные движения гантели
Вращения
Околосепаратрисные движения гантели
Колебания
Околосепаратрисные движения гантели
‘Tumbling motions’
Околосепаратрисные движения гантели
Асимптотическое (?) движение
Замечания и простейшие выводы.
Пусть h0 – наименьшее значение константы интеграла
Якоби если j±p/2 (гантель – горизонтальна).
1. Груз на леере существенно влияет на движение гантели
только если h близко к h0.
2. Если h<h0 возможны только колебания
3.
Околосепаратрисное движение гантели есть
последовательность полуоборотов по и против
часовой стрелки, начинающихся в окрестности
горизонтального равновесия
Локальная задача: определение направления
очередного полуоборота
Рассмотрим движение гантели в окрестности
горизонтального равновесия. Подставляя j   p / 2  
в уравнения движения и пренебрегая слагаемыми порядка
. и более, получим ЛДУ для j. Его решение имеет вид
t   Ce 3   ограниченнаяфункция  
Если C  0
то
Если C  0
то
Если C1  0 то имеют место асимптотические решения
укороченных уравнений. В этом случае гантель некоторое
время остается в окрестности горизонтального равновесия
Поверхность асимптотических движений
С 0  
1


3j0  3p / 2  j0  Ag0 , g 0 

z   1 3j0  3p / 2  j0

Области, где связное
движение невозможно,
вырезаны (фактически,
здесь необходимо вырезать целые цилиндры,
параллельные оси z
В нашем случае укороченное уравнение для g
не зависит от j и интегрируется независимо
Некоторые свойства функции А
Околосепаратрисное движение симметричной гантели
вне окрестности горизонтального равновесия в случае
относительно длинного троса
Пусть 0 гантель симметрична) и
e   (трос относительно длинный,
4
например,при .01 можно взять e<0.32)
t 3
p
/
2

2
arctan
e
  вместо j в уравнения
Подставляя
движения и пренебрегая слагаемыми порядка  и более,
получим

против часовой стрелки,

по часовой стрелке
Околосепаратрисное движение симметричной гантели
вне окрестности горизонтального равновесия в случае
относительно длинного троса
Из j(tjt) следует, что в нашем случае каждый
полуоборот приблизительно симметричен. Точнее, можно
считать, что если гантель покидает окрестность одного из
горизонтальных равновесий с
окрестность
происходить с
другого
j  j1 ,j  j1
горизонтального
j  j1 ,j  j1
то вход в
равновесия
будет
Околосепаратрисное движение симметричной гантели
вне окрестности горизонтального равновесия в случае
относительно длинного троса
Для интегрирования второго уравнения вводя переменную
получим уравнение
3
v  sin 2v  e 2 qv, v,    0
2
v  j g
Которое может быть приближенно проинтегрировано в виде
g 0 v  e 2 g11 v 
g 0
g0
Черный –
Желтый –
Синий –
Зеленый
0
p
2 p Красный С- ход со связи
0.09
0
g 0
Черный –
Желтый –
Синий –
Зеленый
-9
-0.09
9Красный С- ход со связи
Черный –
Желтый –
Синий –
Зеленый
Красный С- ход со связи
Черный –
Желтый –
Синий –
Зеленый
Красный С- ход со связи
g 0  0
j0   p / 2
Черный –
Желтый –
Синий –
Зеленый
Красный С- ход со связи
g 0  0
g0  p / 2
Черный –
Желтый –
Синий –
Зеленый
Красный С- ход со связи
g 0
1
e
2
0
g0
j0  87 08'
j 0  0
Черный –
Желтый –
Синий –
0
p2
p
Зеленый
Красный - Сход
со связи
Автор
благодарен
В.В.Белецкому,
Ю.Ф.Голубеву,
И.И.Косенко, В.В.Сазонову, С.Я.Степанову за полезные
обсуждения и замечания
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ