квадратным уравнением

Решение
квадратных
уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Необходимость решать уравнения не только первой,
но и второй степени ёщё в древности была вызвана
потребностью решать задачи, связанные с
нахождением площадей земельных участков и с
земляными работами военного характера, а также с
развитием астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет
до нашей веры вавилоняне. Применяя современную
алгебраическую запись, можно сказать, что в
их клинописных текстах встречаются, кроме
неполных, и такие, например, полные квадратные
уравнения.
Правило решения этих уравнений, изложенное в
вавилонских текстах, совпадает с современным,
однако неизвестно, каким образом дошли
вавилоняне до этого правила. Почти все найденные
до сих пор клинописные тексты приводя только
задачи с решениями, изложенными в виде рецептов,
без указаний относительно того, каким образом они
были найдены. Несмотря на высокий уровень
развития алгебры в Вавилонии, в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа
и общие методы решения квадратных уравнений.
Определение квадратного
уравнения
Выражение ax2 + bx + c, a ≠ 0 называют
квадратным трехчленом.
Уравнение
ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, называется
квадратным уравнением.
Примеры квадратных уравнений:
2 х2 + 3х – 6 = 0
х2 – х + 4 =0
2х -5х2 - 1=0
7х2 + 3х = 0
2х2 – 5 = 0
а=2, b=3, с=-6
а=1, b=-1, с=4
а=-5, b=2, с=-1
а=7, b=3, с=0
а=2, b=0, с=-5
Квадратное уравнение
полное
bх + с = 0,
а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0
Пример,
2 х2 + 3х – 6 = 0,
а=2, b=3, с=-6
приведенное
ах2 +
ах2+ bх + с = 0,
а = 1,
х2 – х + 4 =0,
а=1, b=-1, с=4
неполное
ах2 + bх + с = 0,
1) а ≠ 0, b = 0, с ≠ 0
2) а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0
3) а ≠ 0, b = 0, с = 0
Примеры,
1) 2х2 – 5 = 0,
а=2, b=0, с=-5
2) 7х2 + 3х = 0,
а=7, b=3, с=0
3) 5х2 = 0
а=5, b=0, с=0
Вы хотите научиться решать
квадратные уравнения?
ДА
НЕТ
Вы хотите научиться решать
квадратные уравнения?
ДА
НЕТ
Вы хотите научиться решать
квадратные уравнения?
ДА
НЕТ
Содержание
Определение квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения
Формула корней квадратного уравнения
Задачи
Полезный материал
Тест
Самостоятельная работа
Определение квадратного
уравнения.
Опр. 1. Квадратным уравнением
называется уравнение вида ах2 + bх + с =
0, где х –переменная, а, b и с - некоторые
числа, причем а  0.
Числа а, b и с - коэффициенты
квадратного уравнения. Число а называют
первым коэффициентом, b – вторым
коэффициентом и с – свободным членом.
Дискриминант квадратного
уравнения
Опр. 2. Дискриминантом квадратного
уравнения ах2 + bх + с = 0 называется
выражение b2 – 4ac.
Его обозначают буквой D, т.е. D= b2 – 4ac.
Возможны три случая:
D  0
D  0
D  0
Если D  0
В этом случае уравнение ах2 + bх + с = 0
имеет два действительных корня:
b  D
x1 
2a
b  D
и x2 
.
2a
Если D = 0
В этом случае уравнение ах2 + bх + с = 0
имеет один действительный корень:
b  0
x
2a
b
x
2a
Если D  0
Уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет
действительных корней.
Формула корней квадратного
уравнения
Обобщив рассмотренные случаи получаем
формулу корней квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0.
b  D
2
x1,2 
, где D  b  4ac.
2a
К тесту
Задачи
Решить уравнение 2x2- 5x + 2 = 0.
Решить уравнение 2x2- 3x + 5 = 0.
Решить уравнение x2- 2x + 1 = 0.
Решить уравнение 2x2- 5x + 2 = 0
Здесь a = 2, b = -5, c = 2.
Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 422 = 9.
Так как D > 0, то уравнение имеет два корня.
Найдем их по формуле
53
1
x1 

2 2
2
b  D
x
,
2a
и
5 3
x2 
 2,
2 2
то есть x1 = 2 и x2 = 0,5 - корни заданного уравнения.
К задачам
2x2- 5x + 2 = 0;
x1 = 2, x2 = 0,5
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
-5
0
1
2
3
4
5
6
Решить уравнение 2x2- 3x + 5 = 0
Здесь a = 2, b = -3, c = 5.
Найдем дискриминант D = b2- 4ac=
= (-3)2- 4·2·5 = -31, т.к. D < 0, то уравнение
не имеет действительных корней.
35
30
25
20
15
10
5
0
-4
К задачам
-3
-2
-1
-5
0
1
2
3
4
5
Решить уравнение x2- 2x + 1 = 0
Здесь a = 1, b = -2, c = 1.
Получаем D = b2- 4ac = (-2)2- 4·1·1= 0, поскольку
D=0
b
x
;
2a
2
x
1.
21
10
8
Получили один
корень х = 1.
6
4
2
0
К задачам
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
5
Полезный материал
Определение квадратного уравнения
Определение приведенного квадратного
уравнения
Определение дискриминанта
Формула корней квадратного уравнения
Коэффициенты квадратного уравнения
Определение приведенного
квадратного уравнения
Опр. 3. Приведенным квадратным уравнением
называется квадратное уравнение, первый
коэффициент которого равен 1.
х2 + bх + с = 0
Тест
1. Вычислите дискриминант уравнения х2-5х-6=0.
-5
49
Следующий вопрос
1
-6
0
25
2. Сколько корней имеет уравнение, если D < 0?
Корней не имеет
Один корень
Два корня
Три корня
Следующий вопрос
3. Выберите корни уравнения 2у2-9у+10=0.
у1=2; у2=-2,5
у1=2; у2=2,5
у1=-2; у2=-2,5
Корней не имеет
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите уравнения:
а) х2+7х-44=0;
б) 9у2+6у+1=0;
в) –2t2+8t+2=0;
г) а+3а2= -11.
№2. При каких
значениях х равны
значения многочленов:
(2-х)(2х+1) и (х-2)(х+2)?
№1. Решите уравнения:
а) х2-10х-39=0;
б) 4у2-4у+1=0;
в) –3t2-12t+6=0;
г) 4а2+5= а.
№2. При каких
значениях х равны
значения многочленов:
(1-3х)(х+1) и (х-1)(х+1)?
Найдите корни уравнений
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
–х2 +3х+4=0
6х2-3х+1=0
-х2+6х-5=0
2 х2-11х-6=0
4х2+4х+1=0
5х2-7х+8=0
х2+6х+9=0
6х2+х-5=0
а) х1=-3
б) х1=6, х2=-0,5
в) нет
действительных
корней
г) х1=-1, х2=4
д) х1=1, х2=5
е) х1=-1, х2=5/6
ж) х1=-0,5
Молодец !
Ты ошибаешься.
Хочу повторить
теорию