Решение уравнений с модулями

Решение уравнений
с модулями
Определение
 Модулем числа называется само
число, если оно неотрицательно,
противоположное число, если оно
отрицательно.
Примеры:
 |3-5|=5-3
 |-х2 | = х2
 |П-3| = П-3
Уравнение 1
 Решаем уравнение, не раскрывая
модуль, а используя свойства |a| 0
 и |a|=|-a|
 |2x – 4| = 10 – 5x
 При условии, что 10-5х 0, х 2, имеем:
 2х-4=10-5х
 7х=14
 Х=2
 ОТВЕТ: 2
или
2х-4=-10+5х
-3х=-6
х=2
Уравнение 2
 Х2+4х+|x+3|+3=0
 Решаем по определению модуля.


x+3, если х -3
 |x+3|= -х-3, если х < -3
1 способ





Х+3 0
х -3
х2 + 4х+х+3+3=0
Х2 + 5х + 6=0
Х=-2 (не уд.)
Х=-3
2 способ






Х+3<0, x<-3
Х2 + 4x-x-3+3=0
Х2 + 3x=0
X (x+3) = 0
X=0 (НЕ УД.) или Х=-3
ОТВЕТ:-3
Уравнение 3
 | Х2 + x-3|=x
 В этом уравнении нерационально
использовать определение модуля. И при
условии, что X 0, имеем:
 Х2 + х – 3=х
Х2 + х -3=-х
 Х2 = 3
Х2 +2х-3=0
 Х= 3
D=16
 х =- 3 (не уд.)
Х1=1

Х2=-3 (не уд.)
 ОТВЕТ: 3, 1
Уравнение 4
 |3Х2 - 6x – 1| = 2|3-x|
 Возможны два случая при решении.
 При решении этого уравнения
используем утверждение:
 |a|=|b|<===> a=b

a=-b
1 способ





3Х2 - 6х-1=6-2х
3Х2 - 4х – 7 = 0
D=100
Х1=7/3
Х2=-1
2 способ






3Х2 - 6х – 1 = -6+2х
3Х2 - 8х + 5 = 0
D=4
Х1=5/3
Х2=1
ОТВЕТ: -1, +1, 5/3, 7/3
Уравнение 5







Х2 - 3Х2/|х|=0
О.Д.З х не равен 0
1 случай
Х>0
Х2 – 3х =0
Х|x-3|=0
X=0(не уд.) или х=3
2 случай




Х<0
Х2 + 3x = 0
X (x+3) = 0
X=0 (не уд.) или х =-3
 ОТВЕТ: -3, +3
№6
 Для каждого значения параметра
решить уравнение и привести
геометрическую интерпретацию
полученного решения:
 |x-2| = a
 Если а<0, то корней нет
 Если а=0, то |x-2| =0, т.е. х=2
 Если а>0, то x-2=a  x= 2+a

x-2=-a
x= 2-a
№7
 |x-a| = x
 Если а=0, то |х|= х верно для всех
неотрицательных х
 Если а<0, то |х-1|= х
 Х-1=х или х-1=-х

х=1/2
=)
 При а=0, х принадлежит [0;

а<0, то нет корней

a>, то х = а/2
]