Квадратные уравнения.

Муниципальная общеобразовательная средняя школа №15
Квадратные
уравнения
Выполнили: Баширов Антон,
Шарафутдинов Райнур
ученики 8 класса «А»
Руководитель: Шарипова Н. Р.
Нижневартовск, 2010.
Цель:
- формирование умения решать квадратные
уравнения
Задачи:
- изучить историю решения квадратных
уравнений;
- рассмотреть формулы для решения
квадратных уравнений,
- научиться решать квадратные уравнения
нестандартными способами.
Экскурс в историю
Классификация квадратных уравнений
ax 2  bx  c  0 , где a ≠ 0
неполные
Аль-Хорезми
b=0
ax  c  0
2
полные
ax 2  bx  c  0
b  0, c  0
ax 2  c
c
x2  
a
x1  
b=0, c=0
c=0
c
a
c
x2   
a
ax 2  0
ax  bx  0
2
xax  b  0
x1  0 или ax  b  0
x1  0 или
ax  b
x1  0 или
x2  
b
a
x2  0
x0
Классификация квадратных уравнений
ax 2  bx  c  0 , где a ≠ 0
не приведенные
приведенные
ax  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
a 1
a 1
2
ax 2  bx  c  0
b
c
x  x 0
a
a
2
Формулы корней квадратного уравнения
b D
x1 
2a
b D
x2 
2a
где D  b  4ac
2
Герон
Если D > 0, то имеются два различных корня.
Если D = 0, то имеется единственный корень x =  b .
2a
Если D < 0, то корней нет.
Теорема Виета
x1  x2   p
x1  x2  q
Пусть квадратное уравнение
ax 2  bx  c  0 имеет корни x1 и x2
b
c
x  x 0
a
a
Тогда по теореме Виета
b
c
x1  x2   , x1  x2 
a
a
2
Франсуа Виет







Ситуации, в которых может
использоваться теорема Виета.
Проверка правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного
уравнения.
Устное нахождение целых корней
приведённого квадратного уравнения.
Составление квадратных уравнений с
заданными корнями.
Разложение квадратного трёхчлена на
множители.
Дополнительная формула корней
квадратного уравнения с четным вторым
коэффициентом

Пусть дано квадратное уравнение
ax²+bx+c=0,а x1, x2 -его корни, если
a+b+c=0, то x1 =1, x2 =c/a.
Примеры:
7x²+x-8=0 7+1+(-8)=0, тогда
x1 =1, x2=-8/7
6x²-x-5=0
6+(-1)+(-5)=0, тогда
x1 =1, x2 =-5/6
4x²-5x+1=0
4+(-5)+1=0, тогда
x1 =1, x2=1/4


Пусть дано квадратное уравнение
ax²+bx+c=0, если a+c = в, то x1 =-1, x2=-c/a.
Примеры:
5x²-9x-14=0 5+(-14)=-9, тогда
x1=-1, x2=2,8
6x²-5x-11=0
6+(-11)=-5, тогда
x1 =-1, x2 =- 11/6
x²+8x+7=0
1+7=8, тогда
x1 =-1, x2 =-7.



Пусть дано квадратное уравнение mx²(m²+1)x+m=0, x1, x2-его корни, тогда x1 =m,
x2 =1/m, где m R, m≠0.
Примеры:
3x²-10x+3=0 3=3 -10=-(3²+1), тогда x1 =3,
x2 =1/3
4x²-17x+4=0
4=4 -17=-(4²+1),
тогда x1 =4, x2 =1/4
6x²-37x+6=0
6=6 -37=-(6²+1),
тогда x1 =6, x2 =1/6

Пусть дано квадратное уравнение mx²(m²-1)x-m=0, а x1 , x2 -его корни, тогда если
|m|>|1/m|, x1 =m, x2=-1/ m; если |m|<|1/m|, =x1 =m, x2=1/m, и m R, m≠0.
Примеры:
5x²-24x-5=0
І5І>І1/5І, тогда
x1=5,х2 =-1/5
7 x²-48x-7=0
І7І>І1/7І тогда
х1=7, х2=-1/7
1/7 x²-1/48x-1/7=0
І1/7І<І7І, тогда
х1=-7, х2=1/7
Решение квадратного уравнения способом
замены переменной.















1). Решить уравнение:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 .
Решение: Умножим первый двучлен на четвёртый, затем второй на третий и
сделаем замену переменной, получим:
( x² + 5x + 4)( x² + 5x + 6) = 24,
Пусть x² + 5x = y, тогда
( y + 4)( y + 6) = 24,
y² + 10y + 24 =24,
y² + 10y = 0,
y ( y + 10) = 0 → y = 0 или y + 10 =0
y = -10.
Вернёмся к переменной x , получим два уравнения:
x² + 5x =0
и
x² + 5x = -10.
x ( x + 5) = 0
x² + 5x +10 = 0.
x = 0 или x + 5 = 0
D = 25 – 40 < 0 уравнение не имеет действительных
корней
x = -5.
Ответ: X1 = 0 . X2 =-5.
Практическая работа
5х² + 12х + 7 = 0
I Вариант
Квадрат двучлена
II Вариант
Основная формула
III Вариант
Дополнительная
формула
IV Вариант
Свойства коэф - ов
V Вариант
Приведенное (D)
VI Вариант
Теорема Виета
Алгоритм решения
квадратного уравнения







1.Проверить каким является квадратное уравнение
полным или неполным.
2.Если уравнение неполное, то решаем, применяя
свойства коэффициентов или правила нахождения корня
уравнения, определив какому из трех случаев(ах²=0,
ах²+bх=0 или ах²+с=0) соответствует данное уравнение.
3. Если уравнение полное, то решаем
а)либо по свойствам коэффициентов,
б)либо по теореме Виета,
в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы
корней квадратного уравнения.
4.Если квадратное уравнение задано в неявном виде,
например, биквадратное или в таком виде как было на
примере, то придётся применить способ замены
переменной.