“Показательные уравнения” Проект по алгебре и началам анализа на тему:

Проект по алгебре и началам анализа на тему:
“Показательные уравнения”
Ученика 11 класса -Доманова Виктора.
Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна.
МБОУ Архангельская СОШ им. А.Н.Косыгина.
Красногорский район. Московская область.
Содержание
• 1.Цель
• 2.Теорема .Способы решения
уравнений
• 3.Применение способов на конкретных
примерах
• 4.Список литературы
ЦЕЛЬ
СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ЗНАНИЯ
О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В основе решения показательных уравнений лежит следующая
теорема:
Теорема:Если a  0 и a  1 , то уравнения
a f ( x )  a g ( x ) (1)
И
f ( x)  g ( x) (2)
равносильны.
Доказательство. Если
корень уравнения (2), то имеет место
равенство f ( )  g ( ) , а тогда a f ( )  a g ( ) . Обратно, если
корень уравнения(1), то a f ( )  a g ( ) , а тогда в силу монотонности
x
функция a . Имеем: f ( )  g ( ) .

Теорема доказана.

Методы решения
показательных уравнений
• Метод введения новой переменной
• Функционально- графический метод
• Метод уравнивания показателей при
одинаковых основаниях.
Задание 1. Решить уравнение
0,2 x+0,5
0,04 x
=
25
5
Решение: основная идея решения данной задачи заключается в использовании свойств
степеней для приведения степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому
же основанию. Запишем цепочку преобразований
5 
1 x+0,5
50,5

5 
=
2 x
52
, откуда
5− x− 1= 5− 2x− 2
Поскольку функция y = 5 x монотонна и поэтому каждое свое значение принимает
ровно один раз, то последнее уравнение равносильно уравнению
− x− 1= − 2x− 2
Ответ:
1
, из которого находим
x= − 1.
Задание 2. Решить уравнение
4  10  2
x
x 1
= 24
Решение: используя свойства степеней, преобразуем исходное уравнение к виду
2 
x 2

10 x
 2 = 24
2
Полученное уравнение удобнее всего решать, вводя новую переменную
t = 2 x ,t  0
Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной t
t 2− 5t− 24= 0
Корень
t1
, решая которое, находим t 1= − 3 и t 2= 8
не удовлетворяет условию
t 0
, поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения
2 x= t 2= 8= 2 3
Ответ:
3
Задание 3. Решить уравнение
9 +12  2  16 = 0
x
x
x
Решение: запишем исходное уравнение в виде
3  + 3
x 2
x
 
 4x  2  4x
2
=0
Получим однородное уравнение 2 степени. Разделим левую и правую части исходного
уравнения на 42x, получим
2x
x
x
3
3
3
t
=
  +   - 2 = 0 Введем новую переменную
  ,t  0 , придем к
.
4
4
 
 
4
квадратному уравнению
t2 t  2= 0
t 1= 1 и t2 = 2
Второй корень не удовлетворяет условию
, решив которое, найдем
t 0
Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение
x
3
   1 , откуда находим
4
Ответ:
0
x= 0
Задание 4. Решить уравнение
(4 
15 )
X
 (4 
15 )
X
8
Решение: числа 4+ 15 и 4  15 являются взаимно обратными (вообще, числа
a + 15 и a  15 иногда называют сопряженными числами). В самом деле,
4 +


15 4  15 = 16  15 = 1
, поэтому
4  15 =
Введем новую переменную


x
t = 4 + 15 ,t > 0
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде
1
t + = 8 или t 2  8t +1 = 0
t
Корни последнего уравнения равны
t1 = 4 + 15
t 2 = 4  15
откуда находим значения исходной переменной
x1,2 = ±1
Ответ:  1
1
4 + 15
Задание 5. Решить уравнение
x
x
3 +4 = 5
x
Решение: легко заметить, что x= 2 является корнем данного уравнения (вспомните
«египетский треугольник»). Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Для
x
этого разделим левую и правую части уравнения на
. Получим
4
x
3
5
  +1 =  
4
4
x
Функция, стоящая в левой части последнего уравнения монотонно убывает (основание
степени меньше единицы), а функция, стоящая в правой его части — монотонно
возрастает. Поэтому уравнение не может иметь более одного решения. Таким образом,
единственное решение исходного уравнения
.
X 2
Ответ:
2
Используемая литература
• 1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала
анализа. Часть 1.Учебник 10-11 классы,
изд.: Мнемозина, 2010год.
• 2.О.Ю Черкасов, А.Г.Якушев
Математика для поступающих в ВУЗЫ.
Учебный сектор «Московский лицей».
Москва - 1996