Уравнения с параметрами

Задачи с параметрами
Цель данного курса - показать учащимся разнообразие задачи по
теме, задачей которого является научить методам решения таких
задач на основе часто встречаемых типов. Курс рассчитан на
последовательное изучение его, начиная с 8 класса, так в I
полугодие учащимся 8 классов можно предложить изучение:
- Линейные уравнения, системы уравнений, неравенства,
содержащие параметры.
В 9 классе :
- Квадратные уравнения и неравенства. Системы уравнений и
неравенств второго порядка.
В 10 классе:
- Иррациональные уравнения и неравенства;
- Показательные и логарифмические уравнения и неравенства;
- Тригонометрические уравнения и неравенства.
В 11 классе:
- Применение производной;
- Графический метод решения и метод решения относительно
параметра;
Тематический план
 Тема
Количество часов
§ 1. Линейные уравнения,
5ч
§ 2. Системы линейных уравнений
5ч
Задачи, предлагаемые на экзаменах
§ 3. Линейные неравенства
5 ч.
Зачет
2 ч.
Итого:
17 ч.
§ 1. Линейные уравнения
Определение:
Уравнение вида (1) А * Х = В,
где А, В - выражения, зависящие от параметров,
Х - неизвестное, называется линейным уравнением с
параметрами.
Схема исследования:
Если А=0, В0, то имеем 0 * Х = В, уравнение не имеет решений.
Если А=0, В=0, то 0 * Х = 0, уравнение имеет решением множество
всех действительных чисел.
Если А0, В - любое, то уравнение имеет единственное решение .
Замечание:
Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала
нужно привести его к стандартному виду (1) и только после
этого проводить исследование.
П 1.
Для всех значений параметра К решить
уравнение (К+4)*Х=2К+1.
Решение:
Уравнение записано в стандартном виде.
Если К+4=0, т.е. К=-4, то уравнение имеет вид
0 * Х = -7, т.е. не имеет решений: х  Ø.
Если К+4  0, т.е. К  -4, то уравнение имеет
единственное решение
2К  1
х
К 4
Ответ: если К=-4, то х Ø, если К

-4, то
2К  1
х
К 4
Для всех значений параметра а решить уравнение
3

 а  1 * х  3а  4  0
4

Решение: Запишем уравнение в стандартном виде
3

 а  1 * х  4  3а
4

3
а 1 0
4
4
а
3
1. Если
, т.е.
, то имеем 0 * Х = 0,
решением является множество действительных
чисел: х  
4  3а
4
х

 4
2. Если а  , то
3
а 1
3
4
4
Ответ: Если
, то х  
,
а
3
Если
а 
4
3
, то х=-4.
р

Для всех значений параметра решите уравнение:
2
1 * х  р 1
3
Решение:
2
р
если  1  0 , т.е. при р=1 уравнение
имеет вид 0 * Х = 2, следовательно,
х Ø, при р=-1, уравнение имеет вид
0 * Х = 0, следовательно, х  
.
р  1  р  1 р  р  1 р  р  1
х

р


1
если
, то р  1   р  1 р  1  р  1
Ответ: если р=1, х Ø; если р=-1, х  ;
если р  1 , х  р р р1 1 .
3
2
2
2
2
Для всех значений параметра решить
а
3а  2
уравнение:

2а  х
а 1
 Решение:
 При а = -1 уравнение не имеет смысла, поэтому оно
при а = -1 не имеет решения: хØ.
 При а -1, то уравнение равносильно системе:
аа  1  2а  х 3а  2

2а  х  0
3а  2 * х  2а3а  2  аа  1

 х  2а
3а  2 * х  5а 2  5а

 х  2а
2
если 3а-2=0; т.е. а  , то уравнение имеет вид
3
10

0*Х= 
, х Ø.
9
2
если а 
то
3
5а 2  5а
х
3а  2
теперь найдем те
значения параметра а, при которых х = 2а, т.е.
система не имеет решения.
Имеем:

5а  5а
 2а
3а  2
2
а 2  а  0


2
а


3

а  1
а  0

Следовательно, при а = 0 или а = - 1 исходное
2
а

уравнение также как и при
не имеет решения.
3
Ответ: если
то х  Ø
если
2

а   1;0; 
3

2

а   1;0; 
3

, то
,
5а 2  5а
х
3а  2
Для всех значений параметра а решить
уравнение:
1
2

х  2а
ах  1
 Решение: уравнение равносильно системе:

2 х  4а  ах  1

 х  2а

1
х 
а




а  2  * х  1  4а

 х  2а

1
х 
а

если а=2, то 0 * Х = -7, х Ø
если
а2
, то
1  4а
х
.
а 2
1
х
а
Найдем значения параметра, при которых х=2а или имеем
1  4а
 а  2  2а

1  4а  1
 а  2 а
1  4а  2а 2  4а

а  4а 2  а  2

а  2
 Таким образом, если
 2а 2  1

а  2
а
1
1

а



2

1

а


2

, то исходное
2
уравнение также не имеет решения.
 Ответ: а   1 ; 1 ;2 , то х Ø;
2 2 

 1 1 
а  
;
;2 
2 2 

, то
1  4а
х
а2
.
При каких значениях параметра а уравнение
а 2  1 * х  а 2  2а  3
имеет единственное решение, принадлежащие
лучу  1;  .
Решение:
2
а
 1.  1  0,
а  1

.
 Если а = 1, то 0 * Х = - 4, х  Ø
 Если а = - 1, то 0 * Х = 0,
х 
Условия задачи не выполняются
а3
если а  1 , то х 
по условию задачи
а 1
2а  2
а3

х  1; 
0
 1
а 1
а 1
а   ;1  2; 
Откуда
из
найденного
множества значений а
надо исключить
а = -1,
Ответ:
а   ;1   1;1  2; 
П 7.
При каких значениях параметра а и в уравнение
2а  в  1 * х  2а  в  3  0
имеет не менее двух различных решений.
Решение:
 Если линейное уравнение имеет 2 и более решений,
то оно имеет бесконечное множество решений.
1

Значит,
.
а

4
а

2

2а  в  1  0 2а  в  1 
2





 2в  4
2 а  в  3  0  2 а  в  3
в  2
1
 Ответ: при а 
2
,
в2
.
П 8.
При каких значениях параметра а и в
уравнение
не имеет решений.
2а  в * х  а  в  1
 Решение:
2а  в  0
в  2а в  2а



а  в  1  0 в  1  а а  1

в

а



2


в  2
в
Ответ: при а  1 в  2а , (или а  
2
.
в2 ,)
Задачи для самостоятельного решения
 1. Решить уравнение
5 р  1 * х  25 р
2
 10 р  1  0
Решение:
5 р  1 * х  5 р  1
2
Если 5р + 1 = 0, т.е.
Если
1
р
5
1, то х = - 5р – 1.
р
5
, то 0 * Х = 0,
х 
Решить уравнение ах – а = х – 1.
Решение:
Х * (а - 1) = а – 1.
Если а – 1 =0, т.е. а = 1, 0 * Х = 0,
Есл
и
а 1
х 
, то х = 1.
Ответ: Если а – 1 =0, то
Если
х 
а  1 , то х = 1.
. Решить уравнение
р

4 *х р  р2
 Решение: р 2  4  0 р  2
2
2
 если р = 2, то 0 * Х = 4, х Ø
 если р = - 2, то 0 * Х = 0, если , то х   ,
р 1
,
р  2, то х 
если
р  р20
2
р2
1 3
р .
2
Ответ: если р = 2, х
 р  2
р 1

Ø;если
если р  2
х
р = - 2,
р 1
р 2
р 2  р  2   р  2 р  1
х 
. Решить уравнение
р  1 * х  р
2
 р  1 * х  р
2
р2  1  0
2
 2р 1  0
2
 2 р  1   р  1
2
р  1
если р = 1, то 0 * Х = 0,
если р = - 1, то 0 * Х = 4, х
р 1
р  1 х 
р 1
х, 
.

Ø
х 
Ответ: если р = 1,
если р = - 1, х  Ø;
р 1
р  1
х
р 1
Решить уравнение
m  3 * x  m  2 p  0
,
m  3 * x  m  2 p
,
,
1. если
m  3  0 т.е. m  3
то 0 * Х = - 3 – 2р, причем, если – 3 – 2р = 0, т.е.
или
3
р  , то 0 * Х = - 3 – 2р х
2
2 .если m  3 , то x 
 m  2p
m3
p
Ответ: еслиm  3
3
если m  3 р  
 m  2p
x
m3
Ø.

3
p   , то 0 * Х = 0,
2
х 
2
3
2
х 
,х
х
,
Ø; если ,
m  2p
3m
m3
Системы уравнений
 П. 1. Определение
Система  А1 х  В1 у  С1 ,

 А2 х  В2 у  С2
Где А1 , А2 , В1 , В2 , С1 , С2 - выражения,
зависящие от параметров, х, у –
неизвестные, называется системой двух
линейных алгебраических уравнений с
двумя неизвестными в параметрах.
Если А1 , А2 , В1 , В2 системы зависят
от нескольких параметров, то
исследовать систему удобно с помощью
определителей системы:
А В1
 = А В
= А1 В2 - В1 А2
,
1
2
 х =
2
С1
В1
С2
В2
А1 С1
  У = А2 С 2
= С1 В2 - В1 С2
,
= А1 С2 - А2 С1
.
Теорема.
Если главный определитель   0, то
система имеет единственное решение,
определяемое по правилу Крамера:
х
х=

,
у
у=

.
0 и хотя бы один из вспомогательных
определителей
у не равен нулю, то система не имеет
хили
решений.
х = У=0
В случае 
 систему надо исследовать дополнительно

=
Если
=
При этом, как правило, система сводится к одному
линейному уравнению.
В случае  = 0 часто бывает удобно
исследовать систему следующим
образом:
 = 0, найдем
Решая уравнение
конкретные значения параметров или
выразим один из параметров через
остальные и подставим эти значения
параметров в систему. Тогда получим
систему с конкретными числовыми
коэффициентами или с меньшим
числом параметров, которую и надо
исследовать.
Для всех значений параметра а решить систему
уравнений: ах  3ау  2а  3

 х  ау  1
 Решение:
 Из второго уравнения найдем х = 1 – ау, и подставим в первое
уравнение: а (1 – ау) – 3ау = 2а + 3 - а (а + 3) у = а + 3.
Возможны случаи:
1) а = 0. тогда уравнение имеет вид 0 * у =3
у  Ø.
Следовательно, при а = 0 система не имеет решений.
у 
2) а = - 3. Тогда 0 * у = 0
При этом х = 1 – ау = 1 + 3у.
а3
1 
 1
3) а 0,
 а - 3.
 Тогда
 
у

х = 1 – ау = 1 – а=2.
 а
а а  3
а
.
Ответ:
Если а = 0, то (х;у) Ø
;Если а = - 3, то х = 1 + 3у, у  1

 то х = 2, у =
Если0,а а
- 3,
а
Для всех значений параметра а решить систему
уравнений:
а  5х  2а  3 у  3а  2

3а  10х  5а  6 у  2а  4
 Решение:
 Найдем определители системы
=

х=

у=
а5
3а  10
2а  3
= (а+5) (5а+6) - (2а+3) (3а+10) = а (2-а),
5а  6
3а  2
2а  4
а5
3а  10
2а  3
= (3а+2) (5а+6) - (2а+3) (2а+4) = а (11а+14),
5а  6
3а  2
= (а+5) (2а+4) - (3а+2) (3а+10) = - а (7а+22).
2а  4
1). = а (2-а) 0, а  0 и а  - 2, тогда
х
х =

у=
,
а11а  14
=
а2  а 
11а  14
2а
,
а7а  22
=
а2  а 
7 а  22
а2
2)  = а (2-а) = 0 а = 0 или а = 2.
.
При а = 0, определители
х = у = 0.
Тогда система имеет вид:
у
=
5 х  3 у  2

10 х  6 у  4
.

5х + 3у = 2  х  
2 5
у=  х
3 3
При а = 2, определитель  х 0. этого
достаточно, чтобы утверждать, что
система не имеет решений.
Ответ: если а 0 и
7 а  22
у =
;

а  2,
то х =
11а  14
2а
а2
Если а = 0, то х   , у =
Если а = 2, то (х;у)  Ø. ;
2 5
 х
3 3
;
,
Линейные неравенства
П.1. Определение
Неравенства Ах > B, Ax < B, Ax B,
Ax B, где
А, В - выражения, зависящие от
параметров
а х - неизвестное, называется
линейными неравенствами с
параметрами
Решить неравенство с параметрами - значит для всех
значений параметров найти множество решений
заданного неравенства.
Неравенство вида Ах > B, решается по
схеме:
1) если А > 0, то х > В/А.
2) если А < 0, то х < В/А.
3) если А = 0, то неравенство имеет вид
0 * х > В. При В 0 неравенство имеет
пустое множество решений; при В < 0
решением неравенства будет
множество всех действительных чисел .
Для всех значений параметра а решить
2
неравенство (р - 1) х > р - 1
 Решение:
р2  1 
 1) р - 1 > 0  р > 1, тогда х >
р 1
х > р + 1;
р2  1
 2) р - 1 < 0  р < 1, тогда х <
р 1
х < р + 1;
 3) р - 1 = 0  р = 1, неравенство имеет вид
0*х > 0, х Ø.
 Ответ: если р > 1, то х > р + 1; если р < 1, то
х < р + 1; если р = 1, то х  Ø.
При каких значениях а и в система
не имеет решений
5 х  4 у  1

3 х  2ау  в
 Решение системы сведем к исследованию
линейного уравнения.
 Умножив второе уравнение системы на (- 5),
первое на (3) и сложим уравнения:
 12у – 10ау = 3 – 5в, у (12 – 10а) = 3 – 5в (1).
 Уравнение (1) не имеет решения, если
6
3

 12 – 10а = 0 и 3 – 5в 0, т.е. а =
,в  .
5
6
3
5

 Ответ: а = 5 , в
.
5
При каких значениях а прямые
2х + ау = - 2 и 4х + 3у = 3 пересекаются?
 Прямые пересекаются, если система
уравнений 2 х  ау  2

4 х  3 у  3
имеет единственное решение.
 Первое уравнение умножаем на (- 2) и
сложим со вторым:
- 2ау + 3у = 4 + 3, у( - 2а + 3) = 7.
 Если – 2а + 3  0, т.е. а  3 , то система
2
имеет единственное решение.
3
 Ответ: а 
.
2
.
При каких значениях а и в система
ах  5 у  1

6 х  15 у  в  3
уравнений не имеет решений.
 Решение:
 Первое уравнение умножим на 3 и сложим со
вторым:
3ах + 6х = - 3 + в + 3, т.е. х (3а + 6) = в (2).
 Если 0*х = в, то уравнение (2) не имеет
решений, а следовательно, и исходная
система уравнений.
 Значит а = - 2, в  0.
 Ответ: а = - 2, в  0.
Рецензия
 Этот раздел математики является, по большому счету, «абитуриентским»:
считается, что ученик, изучивший школьную программу, сможет перенести
методы решения уравнений и неравенств на уравнения и неравенства с
параметрами. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем,
что даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих
параметры, приходится производить ветвление всех значений параметра на
отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение.
 Автор подробно рассматривает методы решения линейных уравнений и
сводящихся к ним уравнений с одним и двумя параметрами, анализирует
подходы к задачам на решение уравнений при всех значениях параметров и на
поиск таких значений, при которых решения уравнений существуют и
удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
 Рассматриваются системы уравнений с двумя неизвестными, исследовать
которые удобнее всего с помощью правила Крамера. Отдельно выделены
задачи, предлагаемые ЦТ по математике.
 Линейные неравенства с параметрами требуют исключительной точности
выполнения преобразований.
 В элективном курсе разобрано очень большое количество задач. Особое
внимание уделяется отработке навыков равносильных преобразований и
перебора всех возможных вариантов без исключения.
канд. Физ.-мат. наук, доцент кафедры
естественнонаучных дисциплин ГОУ «ЧРИО» Ярдухин А.К.