p 0 (V)+

Уравнение Ми-Грюнайзена
Выполнила: Пятницкая Д., гр 30510
Научный руководитель: Кузькин В. А.
Постановка задачи


Дан идеальный бесконечный монокристалл в
пространстве размерности 1, 2, 3. Кристалл
имеет простую структуру. Взаимодействие
атомов описывается посредством потенциала
погруженного атома EAM
Получить уравнение состояния в форме Ми–
Грюнайзена для идеального двух- и
трехмерного кристаллов с простой
кристаллической решеткой. Найти связь
константы Грюнайзена Γ0 с параметрами
потенциала погруженного атома. Провести
сравнение с расчетами, выполненными на
основе экспериментальных данных

Термодинамические функции, реалистически
описывающие характеристики веществ на
различных участках фазовой диаграммы,
являются фундаментальными
характеристиками среды. Потребность в
подобных функциях всегда была актуальной и
постоянно нарастает. Современные
широкодиапазонные уравнения состояния,
построенные для описания поведения
металлов, содержат десятки свободных
параметров и экспериментально найденных
констант . Исследователь становится
заложникам огромного числа необходимого
экспериментального материала. Именно
поэтому встал вопрос о малопараметрическом
уравнении состояния.


Сплошна́ я среда́ — механическая система, обладающая
бесконечным числом внутренних степеней свободы. Её
движение в пространстве, в отличие от других
механических систем, описывается не координатами и
скоростями отдельных частиц, а
скалярным полем плотности и векторным полем
скоростей.
Уравне́ние состоя́ ния — уравнение, связывающее
между собой термодинамические (макроскопические)
параметры системы, такие, как
температура, давление, объём, химический потенциал и
др. Уравнение состояния можно написать всегда, когда
можно применять термодинамическое описание явлений.
При этом реальные уравнения состояний реальных
веществ могут быть крайне сложными.
Потенциал погруженного
атома
U  U em  U pair   Fi ( i )   i , j (ri , j )
i
i    j (ri , j )
j i
i
i j
Модель погруженного атома
(Embedded Atom Model - ЕАМ)
•Потенциал ЕАМ – это эффективный потенциал,
изобретенный для молекулярного моделирования
одноатомных металлических систем методами
молекулярной динамики или Монте-Карло.
•Потенциал ЕАМ является функцией координат
атомов (ионов), он содержит обычный парный вклад и
вклад, описывающий коллективное взаимодействие.
•Физическая природа вкладов в потенциал не требует
рассмотрения в формализме ЕАМ.
•Потенциал ЕАМ применяется в аналитической форме
с устанавливаемыми параметрами или в виде таблиц.
Уравнение Ми-Грюнайзена
Определяет связь между давлением и
объемом твердого тела при данной
температуре.
p=p(V, ET)=p0(V)+Г(V)ET/V
p0-холодное давление
Г-функция Грюнайзена
ET-тепловая энергия
Сила межатомного
взаимодействия

Fi   
ri
U k
k U k  k r  k
i
  ji
  ij
  (U i   U j  )
ri
ri
j i

 
F i  (U i  U j )  ij eij
j i
U k (  jk )
j k

ri

Тензор напряжений
1

2V


A (U 0  U


  A  A
 
   
1


U 0    A A  U 0     E * * A A A  U 0   2   A A * * A A A A 
2V
1
  
 
 U 0   (2  A A * A ) A  U 0(2   A ( A * A )) 2 A  U  ...
2


...U ...  U 0   2 A * A2    U  ...

Проблемы и пути решения
Не понятно, как
усреднить
величину при
U 0,
1) Представить



U
2
 * A
U ( A  A)  U ( A) 
.. A A
2
(...)
A A