Тема 11 «Алгебраические поверхности в пространстве»

Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Г.В. Аверкова
Курс «Высшая математика»
Тема 11 «Алгебраические
поверхности в пространстве»
Сфера, эллипсоид, конус, цилиндрические поверхности,
поверхности вращения. Канонические уравнения
поверхности, построение поверхности по ее уравнению.
Цели и задачи
 Цели:
– Рассмотреть основные понятия по теме
«Алгебраические поверхности второго порядка в
пространстве»
 Задачи:
– Рассмотреть понятие поверхности второго порядка
– Исследовать различные виды уравнений с помощью
проекций на координатные плоскости
– Установить взаимосвязь между уравнением
поверхности и расположением в пространстве
2
Теоретический материал
Рассмотрим многочлен второй степени от трех переменных
F ( x, y, z )  a11 x 2  2a12 xy  2a13 xz  a22 y 2 
 2a23 yz  a33 z 2  2a14 x  2a24 y  2a34 z  a44  0,
где
a112  a122  a132  a222  a232  a332  0.
Уравнением поверхности второго порядка
называется уравнение вида
F ( x, y, z )  0
3
Теоретический материал
Эллипсоид
x2 y2 z 2
 2  2  1,
2
a b
c
abc0
,
.
4
Теоретический материал
Эллипсоид вращения
x2  y2 z 2
 2 1
2
a
c
,
.
5
Теоретический материал
Сфера
x2  y 2  z 2  R2
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2  R 2
,
.
( x  1) 2  ( y  3) 2  z 2  4
6
Теоретический материал
Конус второго порядка
x2 y2 z 2
 2  2 0
2
a b c
,
.
7
Теоретический материал
Однополостной гиперболоид
x2 y2 z 2
 2  2 1
2
a b c
8
Теоретический материал
Однополостной гиперболоид вращения
x2  y2 z 2
 2 1
2
a
c
9
Теоретический материал
Двуполостной гиперболоид
x2 y2 z 2
 2  2  1
2
a b c
10
Теоретический материал
Двуполостной гиперболоид вращения
x2  y2 z 2
 2  1
2
a
c
11
Теоретический материал
Эллиптический параболоид
x2 y2

 2z
p q
12
Теоретический материал
Эллиптический параболоид вращения
x2  y2
 2z
p
13
Теоретический материал
Гиперболический параболоид
x2 y2

 2z
p q
14
Теоретический материал
Эллиптический цилиндр
x2 y2
 2 1
2
a b
15
Теоретический материал
Гиперболический цилиндр
x2 y2
 2 1
2
a b
16
Теоретический материал
Параболический цилиндр
y 2  2 px
17
Ключевые понятия
 Поверхность
 Сфера
 Эллипсоид
 Гиперболоид
 Параболоид
 Конус
 Цилиндр
 Поверхности вращения
18
Контрольные вопросы
 Определение поверхности второго порядка
 Сфера
 Эллипсоид. Сфера как частный случай эллипсоида
 Однополостной и двуполостной гиперболоиды
 Эллиптический и гиперболический параболоиды
 Конус второго порядка
 Цилиндрические поверхности
 Поверхности вращения и их виды
19
Дополнительная литература
20