Дифференциальные уравнения 1

Дифференциальные уравнения 1-го порядка
• F(x, y, y’)=0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка
• y’=f (x, y) – уравнение, разрешенное относительно производной
(нормальное)
• Задача Коши: y’=f (x, y), y (xo)=yo
• Теорема. Если в уравнении y’=f (x, y) функция f (x, y) и ее частная
производная по y непрерывны в некоторой области D плоскости XOY,
и в этой области задана точка (xo,yo), то существует и притом
единственное решение y=φ(x), удовлетворяющее как уравнению y’=f
(x, y) , так и начальному условию yo=φ(xo).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
• y’=f (x)·g(y) или
h(x)·g(y) dx+ĥ(x)·ğ(y) dy=0
• Метод решения: интегрирование
Общий интеграл
dy
 f ( x) g ( y );
dx
dy
 f ( x)dx;
g ( y)  0
g ( y)
dy
 g ( y )   f ( x)dx  C
Необходимо проверить, является ли g(y)=0, то есть y= const, решением
уравнения (особым или частным).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
• Пример 1. Найти решение уравнения xydx  ( x  1)dy  0
Решение. xydx  ( x  1)dy
xdx
dy
  , x  1, y  0
x 1
y
xdx
dy



 ,
x 1
y
x  ln(x  1)   ln y  c
Общий интеграл:
 y 
x  ln
c
 x  1
Общее решение: y  c  ( x  1)e  x
• Проверим x = -1 - особое решение, y = 0 - решение, которое можно
получить из общего.
Однородные дифференциальные уравнения
• Функция F(x, y) – однородная k-го порядка, если для любого
параметра t выполнено F(tx, ty)=tk F(x, y).
• Однородные уравнения:
 y
y '  f  ,
 x
F ( x, y ) dx  G ( x, y ) dy  0
где F(x, y), G(x, y) – однородные функции к-го порядка.
• Метод решения: сведение к уравнению с разделяющимися
переменными заменой:
или
y  x  u ( x),
y  x  u ( x), dy  u  dx  x  du
y '  u ( x)  x  u ' ( x)
Однородные дифференциальные уравнения
• Пример 2. Найти решение уравнения
Решение. Введем замену y  x  u ( x),
тогда получаем
Интегрируем
общий интеграл
 y
x  y '  y  x  tg 
 x
y '  u ( x)  x  u ' ( x)
u'x  u  u  tgu , откуда
cos x
dx
dx


 ,
sin x
x
sin
y
 cx
x
x
du
 tgu.
dx
ln sin u  ln x  ln c
Линейные дифференциальные уравнения
• Уравнение вида y' p( x) y  f ( x) - линейное уравнения 1-го порядка .
• Метод решения: сведение к системе уравнений с разделяющимися
переменными. Замена y ( x)  u ( x)  v( x), y '  u 'v  v'u
Подставим в уравнение u 'v  v'u  p( x)u  v  f ( x)
u 'v  u  v' p( x)  v   f ( x)
Найдем v(x) частное решение уравнения: v' p( x)  v  0
тогда u(x) общее решение уравнения: u 'v( x)  f ( x)
Уравнение Бернулли
• Уравнение вида
y ' p( x) y  f ( x) y n , n  1
- уравнение Бернулли .
• Метод решения: аналогично линейному уравнению сведение к
системе уравнений с разделяющимися переменными. Замена
y ( x)  u ( x)  v( x),
• Получаем систему уравнений
y '  u 'v  v'u
v' p( x)  v  0
u 'v( x)  f ( x)  u n  v n ( x)