Расчеты свойств графена в рамках КТП I. Fialkovsky

Расчеты свойств графена
в рамках КТП
I. Fialkovsky1,2, D. Vassilevich2,3
1 Instituto
de Fisica, Universidade de Sao Paulo, Brazil
2 Department of Theoretical Physics, St. Petersburg State University, Russia
3 Universidade Federal ABC, Sao Paulo, Brazil
Contents





Общие свойства графена
Приближение сильной связи
Лагранжев формализм и КТП
Оптические свойства графена
Эффект Казимира
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
2
Nobel Prize 201x Statement
awarding Novoselov, Geim, et al.
Graphene is a wonder material with many superlatives to its name. It is
the thinnest material in the universe and the strongest ever
measured. Its charge carriers exhibit giant intrinsic mobility, have the
smallest effective mass (it is zero) and can travel micrometer-long
distances without scattering at room temperature. Graphene can
sustain current densities 6 orders higher than copper, shows record
thermal conductivity and stiffness, is impenetrable to gases. Electron
transport in graphene is described by a Dirac-like equation, which
allows the investigation of relativistic quantum phenomena in a
bench-top experiment.
Graphene: status and prospects, by A. K. Geim, arXiv:0906.3799
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
3
Углеродные соты
A. Geim, (2009)
Графит
Фулерены
Нанотрубки
A. Geim, K. Novoselov (2007)
Межатомное расстояние – 1.42 Å. Расстояние между слоями – 3 Å.
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
4
Кристаллическая структура
Электроны:
• sp2 дают сильные ковалентные
 -связи внутри плоскости
• слабо-пересекающиеся pорбитали перпендикулярно
плоскости.
Кристаллографически:
Два типа неэквивалентных
атомов = две подрешетки Браве с
двумя атомами в элементарной
ячейке
1 3
1
3
a1  a  ,
,
a

a
,

 2


2
2
2
2




1   a1  a2  3,  2  a1 3  2a2 3,
 3  2a1 3  a2 3,
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
5
Модель мильной связи
Гамильтониан pi-электронов, перескакивающих на соседний атом
H  t
a

 
†
n , n  ,
b
 с.с.
n, i ,
t - параметр перескока, n - положение атома,  ,  - спин
В Фурье-представлении
H 

d 2k
† ˆ
 H 
2
BZ (2 )
 a (k ) 
 (k )  

b
(
k
)
 


 (k ) 
 0
ˆ
H  


(
k
)
0


02.2010, DIAS
an ,  eik a (k )
 (k )  t   e
ik
  (k )e
i ( k )
i
КТП и графен,Фиалковский И.
6
Энергетический Спектр
Энергия квази-частиц
 (k )  t 1  4cos
2 kx a
2
E ( k )   ( k )
 4cos
kxa
2
cos
kya
2
a - шаг решетки
В близи дираковских К-точек линейный спектр
E(k )   vF k  t 
vF  106 m s
Скорость Ферми
t  0.1 eV
Перескок на следующий
атом
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
7
Низкоэнергетическое приближение
Из шести К-точек только две независимы.
В их окрестности можно ввести 4-х компонентное представление
 ( p)   a  K   p  , b  K   p  , a  K   p  , b  K   p  
T
Таким образом низко-энергетические квази-частиц – дираковские
релятивистские фермионы
H
NB!
02.2010, DIAS
 0
 p  ip
2p
d
y
†  x
vF


2
 0
 DC (2 )

 0

px  ip y
0
0
0
0
0
0
 px  ip y


0

 px  ip y  

0

0
Вместо обычного спина - долинность.
8-кратное вырождение: 2 под-решетки * 2 долины * 2 спина
КТП и графен,Фиалковский И.
8
Функционал действия
x1
Действие выписывается легко (сразу с ЭМ полем)
S  S EM  S
x3


S   d x  i   eAx3 0,a  m  ... 
3
x2
SEM   14  d 4 x F2
a
   l  l , l  0,1,2
  , 
0
0
1,2
 c  1, vF
 v F  ,    
1,2
2
0

1,2 2
(300) 1
1
В качестве второй пластины может быть проводником или другим графеном.
Модель хорошо обоснована и подтверждена экспериментально:
поглощение света, нестандартный эффект Холла
Gusynin et al, 2004
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
9
Производящий Функционал
Производящий функционал функций Грина
2 i ( x )  i  eA m   AJ  ( )
 i F

3 

Z [ J , ]  D [ A ] e 4


В частности, энергия Казимира определяется каак
EQFT 
i
Ln Z [0]
TS
Для вычисления ПФ сначала отинтегрируем фермионы

Z[ J ]  D A e

i F 2 i ( x ) S ( A) AJ
3 eff
4 
где эффективное действие формально дается
Seff  A  i Ln Det i   eA  m 
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
10
Поляризационный оператор
В квадратичном приближении эффективное дейсйтвие
SEff 
1
2
3
3
lm
d
xd
y
A
(
x
)

( y  x ) Am ( y )
l

 Al
Am
|x3 0
x  ( x 0 , x1 , x 2 )
Поляризационный оператор был вычислен многократно и давно
j l


p
p
mn
m
jl
 ( p)  2  j ( p)  g  2
vF
p



 n

jkl
  i ( p) pk  l


 ( p )   2mp  ( p 2  4m 2 ) arctanh( p 2m)  / 2 p
 mj  diag(1, vF , vF ),
 ( p)  2m arctanh( p 2m) p 1
p j  l j p l
Semenoff, 1984, Redlich, 1984, Appelquist, 1986, Dunne, 1996-1999, etc.
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
11
Эффективная ЭМ теория
В этом приближении эффективное действие для ЭМ поля
S   d 4 x   14 F2  12   x3  Al  lm Am 
Теперь можно исследовать классическую физику с
модифицированными уравнениями Максвелла
  F     x3   A  0
или чисто квантовые эффекты как энергия Казимира
QFT
E
i
i
1

Ln Z [0] 
Tr( D )  
TS
2TS
TS
Волнистая линия – фотонный пропагатор
D ( x, y ) 
Но обе задачи связанны, см. ниже!
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
12
Распространение плоских волн
Дельта-потенциал

A |z 0  A |z 0 ,
 A 
z

x1
условия сшивки на границе



A




z  z 0
 A
z 0
|z 0
x3
x2
Для линейно-поляризованной волны
A  eit
e x eik3 z   rxx e x  rxy e y  e ik3 z , z  0


ik3 z
t
e

t
e
e
,
z0



 xx x xy y
Можно получить коэффициент прохождения
A
t xx  t xy
2
2
 1
Im 
 O( 2 )
2
И угол поворота поляризации   
 Re 
2
 O( 2 )
I V Fialkovsky and D V Vassilevich, 2009
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
13
Квантовый эффект Фарадея
Аналогичные вычисления можно провести в
магнитном поле B с ненулевым химическим
потенциалом mu и при температуре T  0
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
14
Эффект Казимира
Квантовая Электродинамика:
Два незаряженных параллельных проводника
приитягиваются
Eid .C .  
2
720a
3
Предсказано Казимиром в 1948,
экспериментально подтверждено с
точностью до 0.5%
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
15
«Оптическая» энергия Казимира
Результаты исследования распространения TE и TM мод ЭМ поля
позволяет использоваться формулу Лифшица для вычисления ЭК
3
d
p
L
2 pa ( gr ) ( c )
2 pa ( gr ) ( c )

E 
ln 1  e rTE rTE 1  e rTM rTM 
3
16
Lifshitz, 1956, Jaekel, Reynaud, 1991, Bordag 1995
Коэффициенты отражения
( gr )
rTE


,
2 p  
( gr )
rTM

 p
2 p   p
графен
(c)
rTE
 1,
(c)
rTM
1
Идеальный проводник
Энергию можно вычислить и в рамках «чистой» КТП через диаграммы
и тп
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
16
Асимптотики Энергии Казимира
Явные выражения позволяют вычислить асимптотики
2

N
2

v
L
F
E
a  96 2 ma 4
Большие расстояния:
убывание быстрее
Короткие расстояния:
как идеальный пров.
E
N 
1
L
a 0
16 a
3
h  , N , v F 
 1  v2
F
1 
h  , N , v F  
arcsinh 
2
 vF
16 
1

v
F


02.2010, DIAS
2  vF2
КТП и графен,Фиалковский И.

   O( 2 )


17
Энергии Казимира численно
Lifshitz

QFT
Нормировка на энергию двух идеальных
проводников
02.2010, DIAS
Eid .C .  
КТП и графен,Фиалковский И.
2
720a 3
18
Graphene reviews
M. I. Katsnelson and K. S. Novoselov
Graphene: new bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics
arXiv:cond-mat/0703374v2
V. P. Gusynin, S. G. Sharapov, J. P. Carbotte
AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum
electrodynamics
arXiv:0706.3016v2
A. K. Geim, Graphene: status and prospects
arXiv:0906.3799
Results presented here
I. V. Fialkovsky,
Suspended graphene films and their Casimir interaction with ideal conductor
arXiv:0910.1940
M. Bordag, I. V. Fialkovsky, D. Guitman, D. V. Vassilevich
Casimir interaction between graphene and a perfect conductor
Phys. Rev. B 80, 245406 (2009), arXiv:0907.3242
I. V. Fialkovsky, D. V. Vassilevich
Parity-odd effects and polarization rotation in graphene
J. Phys. A: Math. Theor. 42 (2009) 442001, arXiv:0902.2570
02.2010, DIAS
КТП и графен,Фиалковский И.
19