Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах в системах с быстрыми и медленными движениями

Разрушение адиабатических
инвариантов на резонансах в
системах с быстрыми и
медленными движениями
А.А.Васильев, А.П.Итин, А.И.Нейштадт
ИКИ РАН
Адиабатический инвариант - приближенный первый
интеграл уравнений движения системы с быстрыми
и медленными переменными.
e
l
v
d
2
A  l 3/ 4  const
B
v
 const
B

d sin   const
Если система имеет достаточное количество
адиабатических инвариантов, то движение на
длительных временах близко к регулярному.
Разрушение адиабатических инвариантов - один из
механизмов возникновения динамического хаоса.
Система с вращающимися фазами:
(медл.)
(быстр.)
0
x   f ( x ,  ,  ),
   ( x )   g (x ,  ,  )
усреднение
x   F (x ), F  f

 0
I(x) - первый интеграл усредненной системы =>
адиабатический инвариант исходной системы
 1
k1 1 ( x )... kn n ( x )  0
x
- резонансная поверхность
траектория усредненной
системы
 ( x )  ( 1( x ),...,  n ( x ))
ki - целые
Гамильтонова система с быстрыми и медленными переменными:
H  H0 ( p, q, I )  H1 ( p, q, I ,  )
( p,  1q )  R 2 , ( I ,  )  R m  Tm
медленные
переменные
быстрые
фазы
H0
2 H1
p  

q
q
H0
2 H1
q  

p
p
I   H1

H0
H1
 

 I
 I
усреднение
(адиабатическое приближение)
H 0
H 0
  

p
, q
q
p
I  0  I  const
резонансная поверхность
I
I = const
адиабатическая траектория
q
p
выброс
захват
рассеяние
Двухчастотные системы:
  (1,  2 ),   (1,  2 ),
2
I  ( I1, I2 )
k1 1  k2 2  0
1
Влияние каждого резонанса можно рассматривать
отдельно.
А. Частичное усреднение с учетом резонанса.
Каноническое преобразование:
( I1 , I2 ,  1 ,  2 )  ( R, J ,  ,  )
  k1 1  k2 2 ,
  l1 1  l2 2 ,
R  l2 I1  l1 I2
J   k2 I1  k1 I2
k1l2  k2l1  1

Усреднение по
- резонансная фаза
  J  const
Гамильтониан:
H  H0 ( R, J , p, q )   H1

Б. Разложение гамильтониана вблизи резонансной
поверхности.

R
q
P
R  Rres ( p, q )
p
R  Rres ( p, q )
 O(  ),

p  p  O( ), q  q  O(  ),
   t,
d
( ) 
d
 
, q 
p   
q
  H0
 

p
res
- резонансный поток
Фазовые портреты системы маятникового типа
P
P


Функция входа-выхода:
«внутренний адиабатический
инвариант» = const
S ( p, q )  const
( p, q )  const
Результаты последовательных прохождений через
резонансы должны, по критерию растяжения фаз,
рассматриваться как статистически независимые.
1
1
~
 ~
  ~
  


Серфотронное ускорение (T.Katsouleas, J.M.Dawson, 1985)

 

E  E0 k sin( k  r  t )
Лармор
Резонанс:
 
k  r    0
волна




B  B0e3 , A  B0 x1e2 ,
x3
B
   0 cos( k1 x1  k3 x3  t )
k

x2
H
m c  c |P 
2
4
2
e
c
2
A|  e 
x1
 m2c 4  c 2P1  c 2 (P2  ce B0 x1 )2  P3  e0 cos( k1x1  k3 x3  t )
2
P2  0,

p P
2
e
c

A
Предположения:

| p|

~ 1,
~ 1,   1,
mc
kc
e 0
eB0

, c 
2
mc
mc
c
~

После нормировки:
~
2
2
2
H  1  P1  P3  c (q1 )2   cos( k1q1  k3q3  t )
e 0

,
2
mc
eB0
c 
,
mc
c
c 

После преобразования:
H  1  k ( I  cos  )  p sin   c q   I   cos 
p
k
2
k  k1  k3 ,
2
2
2
sin   k3 / k
Сопряженные переменные:
( p,  1q )
2
( I , )
2
2 2
Резонансная поверхность:
Резонансный поток:
I
q
p

kc
 sin 

kc
 sin 
p
2 2
2 1/ 2
2
2
   cos   (1  ( / k ) )  1  p sin   c q
k
Гамильтониан «маятника»:
1
F0  gP 2  cos   b
2
2
q
 c cos 

b
2
k2  2
1  p 2 sin 2    c q 2
g
k 2 (1  ( / k )2 )3/ 2
1  p 2 sin 2    c q 2
2

kc
 sin 
Резонансная кривая - эллипс
Захват в резонанс и выброс из резонанса:

kc
 sin 
Резонансная кривая - гипербола
Условие ускорения:
( / kc )2  sin 2 
E0

B0 ( / kc ) 1  ( / kc )2
Захват в резонанс (режим неограниченного
серфотронного ускорения):
Рассеяние на резонансе: