d=1 d=3 d=2

Проводимость конечных систем
и скейлинг в теории
локализации
И.М.Суслов
Институт физических проблем им.
П.Л.Капицы РАН
Скейлинговая теория локализации
«Банда четырех»:
Скейлинговый параметр
где
- полная проводимость
(кондактанс) блока размера L
Поскольку блок размера nL может быть получен из nd блоков
размера L, то
что при n→1 может быть записано в дифференциальной форме:
β(g)
d-2
Поскольку очевидно
(металл)
(диэлектрик)
то
g
Дискуссия 1980-х
переоткрытие
формулы Ландауэра
оригинальный вывод
вывод из теории
линейного отклика
общие комментарии
многоканальные
обобщения
результирующий
обзор
Простейшая формула Ландауэра
e2 T
GL 
2 1  T
Электрический ток
j T
Разность химпотенциалов
    (1  R)  T  2(1  T )
Итоги дискуссии
Одноканальный
случай:
e2 T
GL 
2 1  T
GES
1
1
2

 2
GL GES e
e2

T
2
Многоканальный
случай:
GES
1

2

ij
| tij |2
Что такое проводимость конечных систем?
Re GL ( )  0 ,
 0
Re RL ( )  0 ,
 0

1
3
 0,  , 1,  , ...
0
2
2
Формулы Кубо: инструкция по эксплуатации
Re  ( ) 
 e2
m 2 Ld
1. Вводится затухание γ
2. Берется термодинамический предел
L 
3. Берется предел
 0

s,s '
n( s )  n( s ' )

| pss' |2  ( s   s '   )
Решение проблемы в контексте формул Ландауэра
ideal
conductor
sample
ideal
conductor
Термодинамический предел берется для идеального
проводника.
Формулы Ландауэра относятся к составной системе
«образец+подводящие провода».
Решение проблемы в контексте формул Ландауэра
ideal
conductor
sample
ideal
conductor
При наличии барьера на границе формулы Ландауэра
не отражают свойства образца.
В настоящий момент остаются непроясненными следующие
вопросы:
(а) об исключении контактного сопротивления в многоканальном случае;
(б) о связи формул Ландауэра с внутренними свойствами
системы;
(в) о связи проводимости конечной системы с
коэффициентом диффузии D(ω,q).
Ответ на эти вопросы дается ниже в рамках двух подходов:
(1) Самосогласованной теории локализации Вольхардта –
Вольфле;
(2) Квантовомеханического анализа, основанного на модели
оболочек.
Оба подхода приводят к одинаковому определению проводимости конечных систем.
Общая схема теории
Конечная система является квази-нульмерной и ее состояния
формально локализованы
причем для корреляционного радиуса справедливо скейлинговое
соотношение
В открытой системе появляется конечная проводимость
Получить g как функцию L/ξ можно также из уравнения
Гелл-Манна – Лоу
d ln g
  (g)
d ln( L /  )
а знание F и F1 эквивалентно знанию β(g).
2
β(g)
d=3
ln g
-6
-4
-2
2
d=2
-2
d=1
-4
-6
Использование
Использованиемодели
моделиоболочек
оболочек
Использование модели оболочек
j
V
i
mj
mi
tij ~ V 2Gmi m j
Используя формулу Эконому – Соуколиса
имеем для безразмерного кондактанса
В результате усреднения возникает коррелятор плотности
G(r, r' )
2
 G R (r, r' ) G A (r, r' )  K (r, r' )
связанный с коэффициентом диффузии:
1
K (r, r' )  d
L
2 F eiq(r r')
  i  D(, q)q
q
2
Определение проводимости конечной системы
Для «тонких» контактов
где введена эффективная
прозрачность границы
и изменено определение коррелятора
Определение проводимости конечной системы
Предельно открытой
системе соответствует
плато при
и
естественно полагать
g Lopen  g L (kb ) |kb ~1
Вместо этого можно взять
производную в нуле
что определяет проводимость предельно открытой системы
в терминах почти закрытых систем.
Определение проводимости конечной системы
Преимущества такого определения:
(а) Оно заведомо характеризует внутренние свойства системы;
(б) Решается вопрос о контактном сопротивлении резервуара;
(в) Кондактанс идеальной системы является бесконечным
(расходимость при m→0 связана с существованием
разрешенного значения q=0)
В точности такое же определение следует из
самосогласованной теории локализации.
Теория Вольхардта-Вольфле
Основана на существовании
диффузионного полюса
в неприводимой
четыреххвостке
=
+
+
=
+
+
играющей роль вероятности перехода Wkk' в квантовом
кинетическом уравнении.
Аппроксимация типа τ - приближения
уравнение самосогласования
D~ U
1
дает
Уравнение самосогласования
Металлическая фаза существует, если интеграл
конечен при m=0; это верно для d>2.
Считая, что D=const при ω→ 0
 E2
2 d 
D  Dmin  2  I (0)   Dmin
W

т.е. s=1.
В диэлектрической фазе
D = - iω ξ2
при ω→ 0
Гипотеза о точности самосогласованной теории:
Вывод без грубых аппроксимаций:
( m=ξ-1 )
О ранней попытке скейлинга (Vollhardt and Woelfle, 1982)
1. Модификация соотношения Эйнштейна
 L ~ e 2 F DL exp(  L /  )
2. Модификация уравнения самосогласования
Для конечной системы в уравнении самосогласования вводится
обрезание на нижнем пределе
Вычитая такое же уравнение с L=∞, имеем
Коэффициент диффузии конечной системы оказывается
сингулярным в критической точке, что делает бессмысленными
скейлинговые построения.
.
Корреляционный радиус квази-нульмерной системы
Для описания конечных систем интеграл заменяется на
дискретную сумму
Член с
расходится при m → 0 и система всегда
оказывается в локализованной фазе. Коэффициент диффузии
имеет локализационное поведение
Корреляционный радиус является гладкой функцией от
расстояния до перехода
2
E
d 2 2  I (m) ,
W
m 1   0 D
но определяется зависимостью, состоящей из двух ветвей,
если рассматривается как функция ξ :
Различие открытых и закрытых систем
Уравнение диффузии
В конечной системе оператор Лапласа имеет нетривиальный
спектр
  2 es ( x)  s es ( x)
Закрытые системы:
Открытые системы:
Различие открытых и закрытых систем
Эволюция начального распределения
:
Предельное распределение в закрытой системе
т.е. число частиц сохраняется.
В открытой системе
частицы уходят через границы.
Примеры:
Для блоховских граничных условий
система закрыта при φ=0 ;
открыта при φ≠0 ;
предельно открыта при φ=π
Для реалистических граничных условий
система закрыта при κ=0 ;
открыта при κ≠0 ;
предельно открыта при κ=∞
0
L
Затухание состояний и конечность коэффициента диффузии
Коррелятор плотности
выражается через спектральную плотность ρ
связанную с поляризуемостью α
откуда
Замена
 i0   i
в определениях функций Грина
G
R, A
 s ( x) s* ( x' )
( x, x ' )  
E   s  i0
s
дает замену
 i   i  2
в корреляторе плотности. В локализованной фазе остается
инвариантной комбинация
При ω=0 возникает конечный коэффициент диффузии D=2γξ2
Модификация уравнения самосогласования
Исходное уравнение для бесконечной системы
в закрытой конечной имеет вид
тогда как в открытой
Беря разность
Используя блоховские граничные условия
и принимая в качестве эталонных периодические (φ=0)
и антипериодические (φ=π), имеем «определение по
Таулесу» для кондактанса
которое обеспечивает экспоненту в локализованной фазе
Происхождение экспоненты
При оценке интегралов от быстро осциллирующих функций
существенны аналитические свойства
скачок n-й производной, то
Если
. Если
имеет
регулярна на действительной оси, то
Аналогичная ситуация – при оценке интеграла дискретной
суммой
Используя формулу суммирования Пуассона
имеем
Член с k=0 соответствует континуальному приближению.
Эффект дискретности имеет порядок
В нашем случае
, что дает
Скейлинговое соотношение для gL
Результат можно записать
в виде скейлингового соотношения:
d=1,2,3
где HT(z)
соответствует
определению по Таулесу:
t  ( 12 s1 , s2 ,..., sd ),
si  0,1,2,...
Скейлинговые уравнения
d=1,2,3
Зависимость gL от L/ξ определяется в параметрической форме
(для 2<d<4)
(для d=2)
d=1,2,3
Для -функции, определяемой производной
имеем для d≠2
и для d=2
,
2
β(g)
d=3
ln g
-6
-4
-2
2
d=2
-2
d=1
-4
-6
L  Lin  T 
И.Х.Жарекешев, Вестник Евразийского НУ 77, 41 (2010).
d=3
Оценка gL через «ускорение» уровней
d 2 Es
Ks 
d 2
 ( L)   (0) exp{i}
В одномерном случае
И.Х.Жарекешев, Вестник Евразийского НУ 77, 41 (2010).
d=3
Оценка gL через «ускорение» уровней
d 2 Es
Ks 
d 2
 ( L)   (0) exp{i}
d=2
S. Waffenschmidt,
C. Pfleiderer,
H. V. Loehneysen,
Phys. Rev. Lett.
83, 3005 (1999).
L  Lin  T 
Критическое
поведение
s  1.0  0.1
z  2.94  0.3
Сравнение с теорией возмущений
Разложение функций H(z) и HT(z)
где
s  ( s1 , s2 ,..., sd ) ,
Откуда для β-функций
t  ( 12 s1 , s2 ,..., sd ) ,
si  0,1,2,...
Разложение из σ-моделей для d=2
где
. Пересчитывая к той же форме наш результат
видим, что коэффициент при t4 зависит от деталей
определения gL , т.е. ренормировочной схемы.
Замена переменных
позволяет привести два результата к одинаковому виду.
Переход к размерности d=2+ε производится в схеме размерной
регуляризации
Точный результат
функции
возможен только для тривиальной
.
Если теория Вольхардта – Вольфле является точной, то
формализм размерной регуляризации несовместим с
физической сутью проблемы.
Подтверждающие аргументы:
О наблюдении закона Березинского
Локализационный закон для проводимости
 ()  i ,
 0
получен теоретически почти 40 лет назад:
но никогда не наблюдался экспериментально.
Его наблюдение возможно в закрытых системах примерно
при тех же условиях, что наблюдение незатухающего тока
в геометрии Ааронова-Бома:
L ~ 1m ,
T ~ 100mK
L
4 F D( , q)
 ( , q)  1 
 i  D( , q)q 2
D(, q)  i
L  Lin

 (, q)  Re
L  Lin