Тема «Расчет определенных интегралов»

Тема
«Расчет определенных
интегралов»
Беспалова Виктория Юрьевна, учитель информатики,
МОУ «Лицей №10», г. Каменск - Уральский
Проблема:
Необходимо вычислять интегралы, не
прибегая к нахождению первообразной
Гипотеза:
Существуют численные методы, помогающие
произвести вычисления с достаточной степенью
точности
Цель исследования:
Нахождение численного метода, обеспечивающего
достаточную точность вычисления интеграла
Задачи:
 Выбрать конкретную функцию и пределы интегрирования,
произвести вычисления аналитическим способом.
 Выявить существующие численные методы по вычислению
определенных интегралов.
 Составить алгоритмы, позволяющие оформить их в качестве
программы на ЭВМ.
 Провести компьютерный эксперимент.
 Проанализировать результаты.
 Сделать выводы.
Вычисление определенного интеграла
функции y=sin (x) на отрезке [0,
аналитически
π/2]
Метод левых прямоугольников
var a,b,h,s,x:real; i,n:integer;
begin
writeln('Кол-во точек n'); read(n);
a:=0; b:=1.57;
s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a;
for i:=1 to n do begin
s:=s+h*sin(x);
x:=x+h;
end;
writeln(s:10:8);
end.
Метод правых прямоугольников
 var a,b,h,s,x:real; i,n:integer;

begin
 writeln('Кол-во точек n');
read(n);

a:=0; b:=1.57;

s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a+h;

for i:=1 to n do begin

s:=s+h*sin(x);

x:=x+h;

end;

writeln(s:10:8);

end.
Метод средних прямоугольников
 var a,b,h,s,x:real;
i,n:integer;

begin
 writeln('Кол-во точек n');
read(n);

a:=0; b:=1.57;

s:=0; h:=(b-a)/n;
x:=a+h/2;

for i:=1 to n do begin

s:=s+h*sin(x);

x:=x+h;

end;

writeln(s:10:8);

end.
Метод трапеций
 var a,b,h,s,x:real;
i,n:integer;

begin
 writeln('Кол-во точек n');
read(n);

a:=0; b:=1.57;

s:=0; h:=(b-a)/n; x:=a;

for i:=1 to n do begin

s:=s+h*(sin(x)+sin(x+h))/2;

x:=x+h;

end;

writeln(s:10:8);

end.
Сравним результаты
Метод
n=50
n=100
n=500
Левых
прямоугольников
0,98342458
0,99133315
0,99763285
Правых
прямоугольников
1,01482157
1,00703315
1,00077285
Средних
прямоугольников
0,99924472
0,9997394
0,99920408
Трапеций
0,99912157
0,99918315
0,99920285
Выводы
Таким образом,
1)
Наилучшими оказались методы средних прямоугольников и
трапеций, потому что они дают наиболее точные
результаты. При применении метода левых
прямоугольников результат оказывается с существенным
«недостатком», а правых – с «избытком»
2)
При достаточно большом n можно считать, что цель
достигнута и определенный интеграл может быть вычислен
с допустимой погрешностью.