ПОДЗЕМНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ В УСТАНОВЛЕНИИ РАЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РАЗРАБОТКИ Ч. 2 РАЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ РАЗМЕЩЕНИЯ СКВАЖИН В НЕФТЯНЫХ ПЛАСТАХ С НАПОРНЫМ РЕЖИМОМ Рациональные схемы размещения скважин в нефтяных пластах с напорным режимом Постановка задачи требуется заданное число скважин n разместить и эксплуатировать так, чтобы по окончании разработки площадь целиков была возможно меньшей, а вся поддающаяся извлечению нефть была изъята из пласта в кратчайшее время Рис. . Схема расстановки галерей При решении задачи о расстановке галерей в нефтяном пласте с напорным режимом исходим из модели пласта в виде трубки переменного сечения. Известно: границы первоначального положения контура нефтеносности s0 и sn=l . В сечении sn расположена галерея; общее число галерей — n. Требуется найти положения s1, s2,..., sn-1 (n — 1) галерей, которые должны быть размещены так, чтобы общее время вытеснения нефти вытесняющим агентом было наименьшим. На контуре питания агента—напор рк, в галереях — рс. Предполагается, что каждая галерея выключается, как только до нее дошел вытесняющий агент—вода или газ Два случая: 1) депрессия рк—рс=р известна как функция расстояния s — р=р(s); 2) депрессия р известна как функция времени t — р=р(t). Случай 1. Депрессия р – функция расстояния s Предположим: вытесняющая фаза дошла до i-1 галереи и вытесняет нефть к i-й галерее (i=l,2...n) Из предыдущего раздела движения границы раздела: s l ds ds R( s ) в н . kf ( s) kf ( s) 0 s mf ( s ) R( s) dt ds pк pс (1) Отсюда для промежутка времени ti-1,i, в течение которого нефть будет извлечена из участка пласта между (i - 1)-й и i-й галереями : ti 1,i mf R( s)ds si1 p si (2) t0 n n n si m mf R( s)ds si1 p s i 1 i 1 i 1 p si si s ds ds f в н ds s kf kf s к (3) - общее время эксплуатации пласта со всеми галереями Чтобы найти все si, при которых t0-n будем минимальным, нужно приравнять нулю частные производные t 0 n s i , i 1,2,..., n - 1. Используем формулу дифференцирования определенного интеграла по параметру: z ( ) z ( ) f ( x, ) z2 z1 f ( x , ) dx dx f ( z , ) f ( z , ) 2 1 z ( ) (4) z ( ) 2 2 1 1 Представим (3) в виде: t0 n m ... si 1 p si si s ds si 1 m ds f в н ds si s kf kf p s к si 1 s ds ds ds ... f в н s kf kf s к При учете (4) – si si1 mf s ds mf s ds t0n mf н ds в в н ds 0. si p kf i kf p i sк kf p i sк kf si1 si Раскрывая скобки и сокращая – 1 (kf ) i si mf mf ds s p p i 1 si 1 i si ds 0 kf (5) Формула (5) выражает рекуррентную связь между тремя последовательными значениями si-1, si, si+1, откуда все si могут быть определены. нумерация галерей ведется по течению вытесняющей фазы Метод последовательных приближений для определения положений галерей s1, s2, . . ., sn-1 Из (5) следует : наивыгоднейшие местоположения галерей не зависят от вязкости вытесняющей фазы и нефти и от расстояния до контура питания Случай 2. Депрессия р есть заданная функция времени Определение наивыгоднейших расстояний si, при которых t0-n будет минимальным а) р >0 и является известной функцией времени si, при которых будет минимум t0-n, одновременно обусловят минимум интеграла: Учитывая mf ( s ) R( s) dt ds pк pс s si (6) l ds ds R( s ) в н . kf ( s) kf ( s) 0 s si s ds ds I pdt mf в н ds s s kf kf i 1 i1 0 s к n I pdt 0 Имеем t 0 n t0 n (1) Приравнивая I s i нулю , получим соотношение между si-1, si, si+1: si si 1 s si ds н I ds ds mf ds mf в mf i в н 0. kf i si si1 kf kf kf sк si sк i или si 1 1 si ds mfds mf i 0 ( kf ) i si 1 si kf (7) Методом последовательных приближений могут быть найдены все si. Важно отметить, что расстановка галерей в этом случае не зависит от вида функции p p(t ) Рациональная расстановка галерей в полосообразной залежи Водонапорный режим (Δp=const) Допущения: m=const, k=const, f = const Из si 1 1 si ds (7) mfds mf 0 i ( kf ) i si 1 si kf имеем si si 1 ds ds 0 si 1 si или s i s i 1 s i 1 s i const (8) Рис. Схема расстановки галерей при прямолинейном движении ВНК расстояния между рядами скважин должны быть одинаковыми При одностороннем контуре питания располагаем последнюю галерею в наиболее возвышенной части структуры — у литологической или тектонической границы пласта, а остальные галереи — между контуром нефтеносности и последней галереей на равных расстояниях. При двустороннем контуре питания одну галерею располагаем на оси складки, а остальные на равных расстояниях между осевой галереей и контурами нефтеносности. Газонапорный режим. В общем случае Δp≠const Допущения: m=const, k=const, f = const, на границе раздела газ—нефть (ГНК) пластовое давление равно среднему давлению в газовой части пласта, режим изотермический. 1 ( kf )i si si 1 si Рис. Схема расстановки галерей при прямолинейном движении ГНК mf mf ds p p si 1 i в si ds 0 kf (5) имеем si 1 ds 1 p p ds si 1 i si p V Q (t ) pк 0 0 V0 V ( s ) (9) закон БойляМариотта (10) Q=Q(t) ― приведенный к атмосферному давлению объем закаченного газа, который может быть функцией времени (Q(t)<0 ― при извлечении газа); V0+V(s) —объем газа в залежи при данном положении границы раздела. Депрессия p pк pc p0V0 Q(t ) pc V0 V ( s) (11) В общем случае, когда Δp=f(t,s) не представляется возможным дать аналитическое выражение для скорости продвижения границы раздела в конечном виде, а также аналитическое выражение в виде конечного соотношения для расстановки галерей. В случае депрессии, являющейся одновременно функцией s и t, в частности при закачке газа, можно только производить оценки всех показателей — срока эксплуатации месторождения, дебитов, стоимости – для заранее установленной сетки скважин. В этом случае надо рассмотреть несколько вариантов и остановиться на наиболее оптимальном. Закачка или отбор газа не производится, т.е. Q(t)=0 и Δp является функцией s (Δp= Δp(s)) p0V0 рк V0 mBhs депрессия si (12) p рк pc B – ширина залежи, h – мощность пласта p0V0 ( p pc )V0 mbhsp c pc 0 V0 mBhs V0 mBhs ds 1 si 1 ds (9) получим Из p i s i s i 1 p ds s i 1 s i p p si 1 i si или при учете (13) si V0 mBhs V0 si ds ln p p V mBhsp 0 c 0 c si 1 s ( p0 pc )V0 mBhspc mBhpc i 1 p0 pc V0 s mBh ln p0 pc V0 mBhpc s 2 mBhpc mBhpc si1 si (13) s s i V0 p0 pc 1 s i ln p0 pc V0 mBhsp c 2 mBh pc pc pc s s i 1 i 1 p0 pc V0 mBhp c si 1 si si 1 p0 pc V0 mBhp c si pc s si V0 mBhs i . i 1 p0 pc V0 mBhp c si V0 mBh p0 ln 2 pc Обозначим: Получим V0 p0 si s i 1 s i 1 l0 , , i , i 1 , i .1 . mbh pc l0 l0 l0 1 i 1 1 i ln i i 1 i 1 i . 1 i 1 i (14) (15) s0 Рекуррентная формула (15) позволяет найти все λi, так как 0 l 0 0 sn и n известны. Расчет производится методом последовательных l0 приближений. Если объем газа очень велик по сравнению с объемом нефти, то из (15) следует, что l0 будет большим числом, а отношения λi малы и много меньше единицы. В этом случае приходим к случаю постоянного давления рк, решение для которого дается формулой (8). Действительно, так как всегда β>1, то при малых λi левую часть (15) можно представить, разлагая логарифм в ряд i 1 i ln 1 i i 1 ln 1 1 1 i i 1 i i 1 i i 1 1 1 x ln1 x 1 0,5 x В правой части можно пренебречь λi; по сравнению с единицей i 1 1 i i 1 i i 1 i 1 отсюда сразу получается прежний результат: i i 1 i 1 i const Газо-водонапорный режим Одним из очевидных требований, предъявляемых к рациональной схеме размещения заданного количества рядов скважин или галерей, их представляющих, является условие, чтобы к последней галерее оба агента подошли одновременно. В противном случае в залежи останется нефтяной целик, извлечение нефти из которого потребует дополнительных скважин. Изображением течения в пласте может служить поток в трубке переменного сечения (рис.) Постановка задачи Пусть с одной стороны залежи требуется расставить nl галерей, а с другой n2, причем положения последних галерей будут совпадать. Известны границы первоначального положения контура нефтеносности . s 0(1) , s 0( 2 ), общая длина L = l1+l2. Неизвестными являются положения всех галерей. Задаемся несколькими произвольными значениями l 1 s n и методом 1 последовательных приближений находим положения остальных n1-1 ( 1) галерей, после чего по соотношению t0 n si s mf m ds ds R( s)ds f в н ds si1 p si 1 p kf i 1 i 1 s sк kf n si n si вычисляем время t0-n1, которое, таким образом, будет определено для нескольких значений l1. Затем строим кривую зависимости t0-n1 в зависимости от l1. (рис.). Таким же образом строится кривая зависимости t0-n2 от l2. Рис. Определение положения галерей при двухстороннем вытеснении нефти Располагая шкалы l1 и l2 навстречу друг другу из концов отрезка L = l1+l2 по точке пересечения кривых находим положение последней галереи. После этого методом последовательных приближений уточняем положения галерей. Если заданы не отдельно числа n1 и n2 галерей с каждой стороны, а общее их число n=n1+n2 , то установление чисел n1 и n2, обуславливающих минимум времени, следует производить для каждого варианта (n1= 1; п2=п - 1; n1= 2; n2=n - 2 и т. д., т. е. для различных сочетаний чисел галерей со стороны газа и воды) указанным выше образом, останавливаясь на варианте, при котором t0-n1 = t0-n2, будет наименьшим по сравнению с другими Гравитационный режим При гравитационном режиме, когда в крутопадающем пласте напор обусловлен только разностью вертикальных отметок, уменьшающейся при истощении пласта, депрессия является функцией положения контура. В полосообразной залежи постоянной мощности (f=const) верхняя свободная поверхность жидкости АА в пласте будет опускаться по мере извлечения нефти. Размещение галерей при гравитационном режиме Согласно рис., предполагая забойные давления (pc )i равными нулю, получим: p s i s tg где —угол падения пласта, — уд. вес жидкости. В si ds 1 si 1 p p ds si 1 i si имеем неопределенность. Последнее указывает на то, что вид размещения любого количества галерей не влияет на время извлечения нефти. Этот же результат можно получить из следующих соображений. Расход нефти в пласте при гравитационном режиме, когда в галерее и верхнем свободном сечении избыточные давления равны нулю, определяется следующей формулой: k s s tg k q f i s s i f sin const cos т. е. является постоянным. Следовательно, такой пласт нужно эксплуатировать всего одной галереей, расположенной в самом нижнем его сечении. Рациональная расстановка галерей в круговой залежи Водонапорный режим (p=const, k=const, h=const). si 1 1 si ds fds f i 0 f i si 1 si f (7) f=2rh=as s i2 s i21 s i 1 s i ln 2s i si Примем si = Ri (R1 – радиус наружной галереи, нумерация галерей по течению вытесняющей фазы ) Размещение кольцевых галерей при радиальном движении ВНК Ri Ri21 Ri2 ln Ri 1 2 Ri2 Ri i RH i 1 i e i 1 i 1 1 1 1 2 2 i i 1 (16) Газонапорный режим. p const Если газ из газовой шапки не отбирается и в газовую шапку не нагнетается, то давление в ней будет изменяться в соответствии с отбором нефти из пласт pK p0V0 V0 r 2 Ro2 mh Размещение кольцевых галерей при радиальном R0 — начальный радиус газовой шапки, V0—ее начальный объем, r— радиус газовой шапки в движении ГНК данный момент, h— мощность пласта. p0V0 p0 pc V0 R02 hpc m r 2 hpc m p pK pc pc . 2 2 2 2 V0 r Ro mh V0 R0 hm r hm f 2rh f i si 1 ds 1 si f ds f i s i 1 p p i s i f (7) i 2rh V0 R02 hm r 2 hm 1 dr 2 2 2Ri h Ri1 p0 pc V0 R0 hpc m r hpc m R 2Ri hV0 R hm R hm p0 pc V0 R hpc m Ri2 hpc m 2 0 2 0 1 Ri 2 i Ri1 Ri dr 2rh r V0 R02 hm r 2 hm R p0 pc V0 R02 hpc m r 2 hpc mdr i 1 Ri Ri V0 R02 hm Ri2 hm p0 pc V0 R02 hpc m Ri2 hpc m Ri1 Ri dr . r (17) Интегрируя (17) и вводя обозначения p0 ; pc V0 Ri R0 1 l0 ; 1 ; 0; i 2 hm l0 l0 1 0 получим 2 2 2 2 2 2 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 0 i ln ln 2 2 2 2 i 1 i 1 i (18) Если начальное давление р0 и объем газа V0 достаточно велики и, следовательно, φ i- и малы, то формула (18) переходит в формулу для 2i случая постоянного давления Ri рк .Ri21 Ri2 ln (19) Ri 1 2 Ri2 Действительно, разлагая логарифм в (18) в ряд и отбрасывая высшие 2 степени малых величин ,получим для левой части (18): 2 , i i 1 2 2 i 1 i i21 i2 i21 1 c 1 ln 1 02 i2 i21 . 2 1 2 2 2 2 2 i 1 2 i 2 i 2 Пренебрегая в правой части (18) членами i с единицей, мы приходим к формуле (19) и 2 i 02 по сравнению Газо-водонапорный режим При газо-водонапорном режиме в круговой залежи расстановка галерей производится таким же методом, как и в полосообразной залежи, но при этом используются соответствующие формулы круговой залежи. Гравитационный режим При гравитационном режиме в круговой залежи остается справедливым вывод, сделанный для полосообразной залежи того же режима, т. е. и в круговой залежи нужна лишь одна галерея, расположенная в нижней части залежи. ВЛИЯНИЕ НА РАССТАНОВКУ ГАЛЕРЕЙ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПЛАСТА Если пласт неоднороден, то следует исходить из выражений mf si 1 ds 1 si mf ds 0 ( kf )i si 1 p p si kf (5) i si 1 1 si ds mfds mf i 0 ( kf ) i si 1 si kf kf и mf — функции координаты s. (7) Залежь из двух полос с разными фильтрационными характеристиками Размещение галерей в случае полосовой залежи, состоящей из двух частей с различными характеристиками ПОСТАНОВКА Пусть на длине l1 ——— k1, m1, h1, на длине l2— k2, m2, h2. Требуется разместить n галерей. Задано: начальное положение контура нефтеносности s0 = 0 и положение последней галереи sn=l1+l2. Пусть на длине l1 находится n1 галерей, причем n1 пока не известно. для галерей, расставленных в первой и второй полосах Из (7) s1 s0 s2 s1 ... s n1 s n1 1 l1 s n1 2 s n1 1 s n1 3 s n1 2 ... l 2 в (7) последовательно i=n1 и i=n1 + 1 x1 x2 1 m 1 h1 l 1 m 1 h1 k 1 h1 k 1 h1 k 2 h2 (20) l 2 1 m1 h1 x1 m 2 h2 x 2 m 2 h2 k 2 h2 k 2 h2 необходимо добавить соотношения n1 l 1 x1 l 1 ; n 2 l 2 x 2 l 2 n 2 n1 n (21) При известном n1 из уравнений (20-21) находим x1, x2, l1 и l2: k 1 h1 m 1 h1 1 1 x 1 l 1 l 2 ; x 2 l 2 l 1 ; D k 2 h2 D m 2 h2 k 1 h1 1 1 l 1 l1 n2 l 2 ; D0 D k 2 h2 D 1 l 2 D0 где (22) m 1 h1 1 l 2 n1 l 1 , D m 2 h2 D k 1 m1 h12 k 1 m1 h12 1 1 D 1 ; D0 n1 n 2 2 D D k 2 m 2 h22 D 2 k 2 m 2 h2 Задаемся рядом значений n1 и путем пробных подсчетов суммарного времени извлечения нефти выбираем значении n1 и n2=n - n1, при которых это время получается наименьшим.