РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ХИЛЛА А. Суханов L

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
В МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ХИЛЛА
y
А. Суханов
L1
L2
x
Модель движения Хилла
Уравнения движения:
r  v,
v   2 Nr  2Mv 

r
3
r
3 0 0 
 0 1 0
N  0 0 0 , M   1 0 0
0 0  1
 0 0 0
Коллинеарные точки либрации L1 и L2:
1
3
 
3 км для с.-з. системы

rL = {xL, 0, 0}, x L   a
=
1496.5610
 3 
0 

Матрица изохронных производных Ф:
T


0
I



rr
3
  F , F 



,
G

3

I
3
 2 N  G 2M 
3 
2
r  r



Краевая задача: Найти орбиту перелета между двумя
(Задача Ламберта) заданными положениями в
пространстве за заданное время
Опорные орбиты
Тип орбиты
Тип
Число
перелета витков
EE
0
1
2
y
y
L1
L2
x
L1
y
EL
0
x
0
L1
L2
L1
x
L1
L2
x
1
L1
x
L1
x
L1
7
8
9
–
–
–
–
–
–
–
y
y
x
–
–
–
–
–
x
–
–
–
–
–
y
y
y
y
y
L2
L1
x
x
L1
L2
y
L2
L1
x
L1
L2
x
L2
L1
x
L1
x
L1
L2
x
L1
y
L2
x
x
x
L1
x
L1
L2
x
L1
y
x
L2 L1
L2
x
L1
y
L1
y
L2
L2
y
L2
L1
y
L2
L2
y
y
y
L2
6
y
L2
L1
y
2
x
y
L2
5
y
L2
L1
4
L1
y
y
LL
x
y
y
0
L2
L1
y
LE
x
y
L2
L1
L2
3
x
L1
x
L1
y
L2
x
L1
y
L2
x
L1
L2
x
L1
y
x
L2
L1
y
L2
L2
L1
x
y
L2
x
x
L2
L1
y
x
L2
L2
y
L2
x
L1
x
L2
Предлагаемый метод
Шаг: задаются r0, r1, T
T
Искомая орбита
r0
v0
v0
r0
Tref + T
r1
Tref
1
r1  11r0  v1T 
v0(0)  v0  12
r1
Опорная орбита
r1ref
r0ref
Коррекция методом Ньютона
v0(0)
v0
r0 ref
r0ref
r(0)
Опорная орбита
r1ref
r1ref
v0( n1)

v0( n)

 
( n) 1
12 r ( n) ,
n  0,1,...
Предложенный метод не приводит к искомому решению,
если:
• Перелет данного типа между заданными положениями
невозможен
• Перелет данного типа за заданное время невозможен
• Орбита перелета данного типа между заданными положениями
за заданное время существует, однако предложенная процедура
не обеспечивает сходимость к этой орбите
Орбита перелета
r0
Орбита перелета
r0
r1
Опорная орбита
Опорная орбита
r0ref
r1
Промежуточная орбита
r1ref
r0ref
r1ref
Примеры: Перелет между двумя заданными положениями
за заданное время
y
y
Reference
orbit
1000
Intermediate
transfer
To Sun
Тип:
L1
L2
x
r1ref
r0ref
L1
r0 = {1400, 800, 300}
r1 = {1800, –500, –200}
T = 300 дней
-1000
x
L2
r1
r0
The sought-for
transfer
-1000
Промежуточная орбита:
r0 = {–1400, –800, 0}
r1 = {1800, –500, 0}
T = 260 дней
1000
1000
z
To Sun
The sought-for
transfer
r0
L1
-1000
1000
L2
x
r1
-1000
Примеры: Построение периодической орбиты
Найти плоскую орбиту вокруг Земли
с периодом 5-6 месяцев, проходящую
через точку {–200, 1200, 0}
Опорная
орбита:
yy
yy
0 =r
r0ref = r0r=
rr1110
r1ref
r
The direct
solution 1
1000
1000
1000
1000
Intermediate
transfer
y
L1
L2
x
, T = 330 дней
1. r0 = {200, 1200, 0}
r1 = {200, 1200, 0}
T = 300 дней
To Sun
To Sun
Sun
To
r1ref
0ref
rr0ref
r1ref
-1000
-1000
LL11
-1000
L
1
Reference
orbit
1000
1000
1000
1000
LLL
22
2
L2
xxx
x
Reference
orbit
-1000
-1000
-1000
-1000
2. T = 330 дней
3. r0 = r1 = {200, 1200, 0}
v0 = v1
P = 167.36 дней
4. r0 = r1 = {200, 1200, 200}
v0  v1
P  340 дней
1000
z
r0 = r1
To Sun
x
L1
-1000
1000
-1000
L2
Примеры: Построение гало-орбиты
y
r0 = r1 = {xL1200, 0, 0} =
= {1296.56, 0, 0}
v0 = v1
P  180 дней
Опорная орбита:
180-суточный фрагмент
орбиты
To Sun
1000
To Sun
1000
r0, r1
x
L1
-1000
y
Reference
orbit
r0 = r1
r0ref
-1000
L1
P = 178.295 дней
Пространственная гало-орбита:
r0 = {1296.56, 0, 100}
r1 = {1296.56, 0, 100}
Tref = 2P, T = 358 дней
y
L2
x
L1
-1000
1000
To Sun
x
1000
z
r1ref
180-day transfer
x
Halo
orbit
-1000
r0
L1
z
r1
-1000
r0
r1
-1000
-1000
-1000
y
1000
Примеры: Перелет Земля – гало-орбита
y
Опорная орбита:
y
L1
L2
x
To Sun
1000
r1
r0 = {7, 0, 0}
r1 = {–1350, 800, 0}
T = 235 дней
Затем:
r1 = {–1220, 0, 0}
T = 280 дней
И т.д.
Reference orbit
r1ref r1
L1
x
-1000
r0
1st transfer
2nd transfer
-1000
r0ref
Примеры: Перелет между гало-орбитами вокруг L1
y
Гало-орбиту зададим вектором состояния
1000
Reference
orbit
–v0cos
0, v0sin0}
x0 = {xL–x0, 0, z0, 0,
Первая гало-орбита:
r1ref
The transfer
r0ref
xL = –1500, x
r1 z0 = –100
0 = –100,
(1)
v0 = 155.1 м/с, 0 = 40
r0
L1
Вторая гало-орбита:
x
-1000
1st halo orbit
orbit
xL = –1500, x0 = –250, 2nd
z0 halo
= 100
v0 = 254.3 м/с, 0 = 30
(2)
To Sun
r0 через 80 дней после x0 (1)
r1 через 170 дней после x0 (2)
The transfer
T = 70 дней
r
-1000
600
z
600 z
1st halo orbit
1
r0
Опорная орбита:
70-суточный фрагмент
орбиты
L1
-1000
y
L1
r0
L2
To Sun
r1
x
-1000
1000
1st halo orbit
x
The transfer
2nd halo orbit
2nd halo orbit
-600
-600
y
Примеры: Перелет между гало-орбитами вокруг L1 и L2
yвектором состояния
Гало-орбиту зададим
1000
To Sun
Reference
x0 = {x
0, z0, 0, v0cos0, v0sin0}
L–x0,orbit
The transfer
Первая гало-орбита:
orbit
r0ref
xL = –1500, x0 =
-1000м/с, 
vr0 L=1 155.1
–100, z0 = –100 (1)
1000
0 = 140
0
r1ref
L2
x
r1
LВторая
1 halo orbit гало-орбита:
L2 halo orbit
xL = 1500, x0 = 250, z0 = 100
v0 = 254.3 м/с, 0 -1000
= 30
600
To Sun
Орбита
перелета:
r0
L1
z
y
600
L1 halo orbit
L1
-1000
Lr
halo
orbit
через
10
(2)
80 дней после x0 (1)
-600
r1 через 100 дней после
x0 (2)
T = 220 дней
L2
x
1000
L2
z
r0
x
r1
L2 halo orbit
y
-1000
1000
r1
L2 halo orbit
-600
Примеры: Построение семейства орбит перелета
Нахождение орбит перелета между положениями r0 и r1 за время
T [T0, T1] с шагом T.
y
Каждая из орбит служит
1000
начальным приближением
To Sun
180-day transfer
для следующей орбиты
T0 = 180 дней
T1 = 230 дней
T = 5 дней
r0
L1
L1 halo orbit
-1000
1000
r1
230-day transfer
L2 halo orbit
600
V0, V1, and V, m/s
x
L2
z
To Sun
400
230-day transfer
V
200
r0
V0
V1
0
180
L1
L1 halo orbit
190
200
210
Transfer time, day
220
230
x
-1000
1000
180-day transfer
L2
r1
L2 halo orbit
Заключение
• Опорные орбиты соответствуют перелетам между Землей и
точками либрации, однако позволяют находить перелеты между
любыми точками и решать другие задачи
• Предложенный метод может использоваться как для расчета
траекторий полета КА, так и для численного анализа орбит в
задаче трех тел
• Вместо уравнений Хилла могут использоваться точные уравнения
задачи трех тел, однако упрощенная модель позволяет находить
орбиты без привязки к конкретным датам
• Метод может использоваться и в других системах небесных тел
с другими моделями движения
Недостатки:
• В ряде случаев низкое быстродействие
• Необходимость промежуточной орбиты в некоторых случаях
• Необходимость предварительной подготовки набора опорных орбит
• Невозможность использования гравитационных маневров у
Луны в данной версии метода
Достоинства:
• Простота
• Отсутствие необходимости в начальных приближениях
• Получение орбиты заданного типа