О ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛНАХ В СИСТЕМЕ ОКЕАН - ЛЕДЯНАЯ ОБОЛОЧКА СПУТНИКА ЮПИТЕРА ЕВРОПА

О ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛНАХ В
СИСТЕМЕ ОКЕАН - ЛЕДЯНАЯ
ОБОЛОЧКА СПУТНИКА ЮПИТЕРА
ЕВРОПА
Б.И. Рабинович (ИКИ),
Л.В. Докучаев (ЦНИИМАШ)
Электронная версия В.И. Прохоренко
Планетарные волны
• Данные наблюдений миссии Галилео говорят о
возможности существования планетарных волн
(ротационных и упругих мод в океане спутника
Юпитера
Европа.
Для
анализа
динамики
соответствующих
волновых
процессов
используются две модели.
• Первая из них – это вращающийся океан с
геометрической стратификацией его ледяной
поверхности на отдельные ячейки с характерным
размером порядка 100 км. Возможность появления
таких ячеек, имеющих гидротермальную природу,
содержащих
«жидкие
линзы»,
была
постулирована и теоретически исследована в 2001
г. Р. Томсоном и Дж. Делане.
2
Ледяной покров океана
Ледяной покров океана моделируется пологой
упругой оболочкой. В этой модели с помощью
метода Бубнова – Галеркина найден спектр
собственных колебаний жидкости в ячейках Томсона
– Делане, соответствующих упруго-гироскопическим
планетарным волнам. В целях исследования
возможности резонансного возбуждения приливных
колебаний жидкости в ячейках доминантные
элементы
этого
спектра
сравниваются
с
теоретическими
значениями
частот
приливообразующих
сил,
связанных
с
эксцентриситетом орбиты Европы и возмущениями
от других галилевых спутников Юпитера. Это
позволяет
обнаружить
большое
количество
резонансов на доминантных модах с периодом от 3.5
до
7
суток
в
областях
океана
Европы,
соответствующих широтам от 30 до 70.
3
Океан в целом с
ледяной оболочкой
Вторая модель – это невращающийся океан с
ледяным покровом, моделируемым моментной
упругой сферической оболочкой с массой, отличной
от нуля. Дается постановка краевой задачи для
гидроупругих планетарных волн, описываемых этой
моделью, и приводится точное аналитическое
решение краевой задачи в полиномах Лежандра. В
полученном
спектре
собственных
колебаний
системы оболочка – жидкость обнаруживаются
элементы с периодами, близкими к 10 ч. Это создает
потенциальную
возможность
возбуждения
соответствующих гидроупругих волн за счет
магнитогидродинамических эффектов, связанных с
нестационарным
магнитным
полем
Европы,
изменяющимся с периодом собственного вращения
Юпитера, равным 10 ч.
4
ВВЕДЕНИЕ
Миссии NASA
Галилео и Кассини
и галилеевы спутники
Юпитера
5
Орбиты КА
Галилео и Кассини
6
Сближения КА Галилео с
Юпитером и его
галилеевыми спутниками
7
Орбиты
галилеевых
спутников
• Ио
• Европа
• Ганимед
• Каллисто
8
Таблица 1
Периоды обращения
галилеевых спутников в сутках
Европа
Ио
Ганимед Каллисто
TEu = T
Tio
Tga
TCa
3.55
1.80
7.15
16.70
9
Европа и ее ледяной
покров
10
Океан Европы
11
Часть I
Планетарные
гироскопические волны в
ячейках Томсона - Делане
Б.И. Рабинович (ИКИ)
12
Ячейки Томсона - Делане
• Диаметр ячеек
в экваториальной области
Eu
2 r0 = 100 км
в полярных областях
2 r0 = 5 км
• Глубина жидкости
H = H0r0/r
• Максимальная глубина
Hmax = 100 км
• Eu = 2/TEu; TEu = 3.55 час
13
Краевая задача
vr
w g p *
j

 fvθ  0;
t
r  r
vθ j w g p *


 fvr  0;
t r  r 
 ( Hrv r )  ( Hvθ )

 0; p*  L( w, t );
r

( Hv r ) r  r0  0; L 0 ( w) r  r0  0.
14
Условные обозначения (1)
•
•
•
•
v – скорость жидкости;
H – толщина слоя жидкости;
/g – массовая плотность жидкости;
P* – вариация давления на жидкость со
стороны упругой ледяной оболочки;
• w – перемещение элемента жидкости в
направлении
нормали
к
картинной
плоскости;
• С – контур области S, занятой жидкостью;
• v – компонент скорости в проекции на
нормаль контуру C (орт внешней нормали );
15
Условные обозначения (2)
• ,  – двумерные операторы Гамильтона и
Лапласа;
• L и L0 – дифференциальные операторы теории
пологих оболочек;
• j – ускорение гравитационной силы на
поверхности Европы;
• f – параметр Кориолиса, f = 2  sin;
•  - угловая скорость собственного вращения
Европы:  = 2/T;
• T – период ее собственного вращения, равный
периоду обращения вокруг Юпитера;
•  - широта точки области S.
16
Функция тока
1 
1 
vr 
; vθ  
.
Hr  
H r
  1 
 r 
 f 
 f 
[ (
)
(
)] 
(
)
(
)  0;
 t  Hr    r H  r
r H   H r


r r0
r
 ;
r0
 0.
H0
~ H0
~
H
; H0 
;

r0
  f t ;  (, )   e  .
17
Метод Бубнова - Галеркина
l
 (, )   am  m (, ),
m 1
2
 mn   nm
2
 mn
A a   B a  0,
 m  n 2  m  n
  d (
 
) d;
 
 
0
0
1
 m  n  m  n
  d (

)  d;
 
  
0
0
1
 nm    mn ;  mm  0; m, n  1, 2, 3,. .. , l.
18
Частоты собственных
колебаний жидкости
A   B  0.
 n   i n ;
n  f n  2   n sin 0 ;
n  1, 2, ..., l / 2 .

()

 sin 
 cos
;

2 cos 
  1, 3,... ;   1, 2, 3,...
i12
10 
 i10 ;  20 
11
i12
 i 20 .
 22
19
Таблица 2
Безразмерные частоты σs(μ) и σs0(μ) первых
восьми мод собственных колебаний жидкости

σ1(μ)

σ10(μ)

σ2(μ)

σ20(μ)

1
2
3
4
5
6
7
8
0.55
0.44
0.30
0.24
0.19
0.16
0.14
0.12
0.43
0.38
0.29
0.23
0.19
0.16
0.14
0.12
0.11
0.16
0.17
0.16
0.15
0.13
0.12
0.11
0.11
0.17
0.18
0.17
0.15
0.14
0.12
0.11
20
Безразмерные частоты
собственных колебаний жидкости в
ячейках
s();
s0();
 - s = 1;
 - s = 2
21
Резонансное возбуждение
приливных колебаний
жидкости

( )
s
 F ( 0 ) 
(s )
2  sin 0

( )
s
( )
s

n
  ;  
.
2

n

n
 n .
1   Eu  ;  2   Io  ;
 3   Ga  ;  4   Ca  ;
2
2
2
 Io 
;  Ga 
;  Ca 
.
TIo
TGa
TCa
22
Частоты, соответствующие
возбуждению приливных
колебаний жидкости в ячейках
(основной резонанс, s = 1)
s();
F(0);
∆ - Европа;
 - Ио;
Ганимед;

□ - Каллисто
23
Частоты, соответствующие
возбуждению приливных
колебаний жидкости в ячейках
(параметрический резонанс)
s = 1;
s();
F(0);
∆ - Европа;
 - Ио;
 - Ганимед;
□ - Каллисто
24
Частоты, соответствующие
возбуждению приливных
колебаний жидкости в ячейках
(параметрический резонанс)
s = 2;
s();
F(0);
 - Ганимед
25
Линии тока, соответствующие
колебаниям жидкости в
круглом водоеме с
радиальными ребрами
Безвихревое движение
Движение с локальными
вихревыми зонами
26
Часть II
Планетарные
гидроупругие волны в
ледяной оболочке Европы
Л.В. Докучаев (ЦНИИМАШ)
27
Океан в целом и его
ледяная оболочка
R0
h
• 2R0 ~ 3500 km
δR0
α
β
• h ~ 7-10 km
• H = R0 - R0 ~ 100 km,
28
Общие уравнения
гидродинамики
V
V
 ( )  V  rotV 
t
2
 2ω  V  ω  (ω  r ) 
1
 j  (P  Fприл  Fвязк );
0
2
div V  0
29
Уравнения колебаний
сферической оболочки


 w (1   ) 2  u
 (1  )( 
u 
)
R0 2  0,

L

E
t
2
2


w
( 1   2 ) 2  2v
 ( 1   )(
v
)
R0
 0,
2
L

L
E
t
(1   2 ) 2  2 w 1   2 2
2
2
2
(1  )  c (  2)(  1  ) w 
R

R0 F .
0
2
E
Eh
t
30
Вспомогательные
переменные
( Lu ) v
( Lv ) u
1 h 2
2


 2w, 2 

, c  (
) ,
L L
L L
12 R0
2



2 
(L ) 
, L  sin .
2
L  ( L)
 2
F  0 ( 2  jw) R  R0 ;
t
V  grad .
u(α,β,t),v(α,β,t) – тангенциальные перемещения,
w(α,β,t) – перемещения по нормали,
,  - географические широта и долгота
31
Потенциал смещений
Краевая задача и
фундаментальные решения
Ф  0,
Ф

 w(, , t ),
R  R0
Ф

 0,
R  R0
 w(, , t )dS  0
S
Ф 0 ( R, , , t )  X ( R ) Y () Z () e it ;
Z ()  C1sin m  C2 cos m;
Y ()  Pnm (cos );
R0
1 R n  2 n 1 R0 n 1
X n ( R) 
( ( ) 
( ) )
2 n 1
1 
n R0
n 1 R
32
Разложение решений в ряды
u  u () sin m  eit , v  v () cos m  eit ,
m
m
w  w () sin m  eit ,
m
 m ( R, ) sin m eit , F  02 m ( R0 , )sin m eit .
m m
m
Pn ), vm   ( An Pnm  Bn ( Pnm )),
L
L
nm

wm   Qn Pnm .
 ( );

nm
um   ( An ( Pnm )  Bn
nm
 m   anm X n ( R ) Pnm (cos α), anm
nm

1
 2  wm ()Pnm (cos α)Ld 
N nm 0
33
Характеристическое
уравнение 1
(2(1  )  c (1    k j )( 2  k j ) 
2
  (1  aX j (1)))Q j  (1  )k j A j  0;
2
(1  )k j Q j  k j (k j  1     ) A j  0;
2
k j ( 2 (1  )( k j  2)   ) B j  0.
1
2
34
Характеристическое
уравнение 2
( (1  aX j (1))  2(1  ) 
2
 c (k j  2)( k j  1  ))(   k j  1  )  (1  ) k j  0;
2
2
2
2 j 1
0 R0
j (1   )  1
k j  j ( j  1), a 
, X j (1) 
.
2 о 1
h
k j (1   )
35
Таблица 3
Безразмерные частоты
собственных изгибных
колебаний оболочки m,n
m
n
0;1
1
0
2
3
4
0.0320
0.0483
0.0635
2
0.0320
0.0483
0.0635
0.0781
3
0.0483
0.0635
0.0781
0.0923
4
0.0635
0.0781
0.0923
0.1062
5
0.0781
0.0923
0.1062
0.1197
36
Размерные частоты и
периоды
( j ) изг  ( j ) изг
(T j ) изг
E
,
2
2
R0 (1   )
2
1

,
( j ) изг 3600
c.1
час
R0 = 1744000 м, h = 7500 м,
ρ = 900 кг/м3, μ = 0.1, Е = 1010 н/м2.
Период изменения магнитного поля Европы = 10 час
37
Таблица 4
Частоты (с-1) и периоды (час)
собственных изгибных
колебаний оболочки
j
1
2
3
4
(j)изг *105
0
5.84
8.81
11.16
(Тj)изг

29.9
19.8
15.1
j
5
6
7
8
(j)изг *105
14.24
16.82
19.35
21.81
(Тj)изг
12.3
10.4
9.0
8.0
38
Заключение
В заключение следует подчеркнуть, что какой бы
остроумный механизм резонансного возбуждения
колебаний системы жидкость – оболочка ни был
придуман,
возможность
возникновения
этих
колебаний еще не означает действительность.
Полученные
результаты
показывают
целесообразность более полного анализа сложных
динамических процессов, имеющих место в океане
Европы, в диапазоне соответствующих частот.
Прежде всего это касается оценки амплитуд
колебаний
с
учетом
всего
комплекса
сопутствующих факторов.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (Грант №
00 – 01 – 00244).
39