(а 1 ,а 2 ,а 3 ,t).
advertisement
1. ВВЕДЕНИЕ. 2. Основные гипотезы Механики сплошной среды. 3. Плотность распределения гидромеханических характеристик в сплошной среде. 4. Физические свойства жидкостей и газов. 5. Гидростатика. Уравнения Эйлера. Интегрирование уравнений Эйлера. 6. Кинематика. Метод Лагранжа и метод Эйлера. Линии тока и траектории. 7. Градиент скалярной функции. 8. Поток гидромеханической характеристики через поверхность. Дивергенция скорости . Уравнение Остроградского-Гаусса. 9. Циркуляция скорости. Ротор скорости. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Квеско Н.Г., Филин В.В. Механика сплошной среды.- Томск.: Изд-во ТПУ, 2004.-145с. 2. Рабинович Н.Р. Инженерные задачи механики сплошной среды в бурении. М.: Недра, 1989. 270 с. 3. Тёркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика. Геологические приложения физики сплошных сред. – М.: Мир, 1985. – 375 с. 4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – М.: Наука, Главная редакция физикоматематической литературы, 1970, Т.1. – 492 с. 5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – М.: Наука, Главная редакция физикоматематической литературы, 1970, Т.2. – 568с. 2 Механика сплошной среды часть механики, изучающая движение газообразных, жидких и твёрдых деформируемых тел. В МЖГ материал ( масса) непрерывно рассредоточены (распределены) в пространстве, занятом физическим телом. Такая гидромеханическая модель называется моделью сплошной среды. 3 Физические тела мы считаем одинаковыми или различными в зависимости от интегральных характеристик Интегральные характеристики не учитывают непосредственно детали молекулярной структуры тела. К интегральным характеристикам относят плотность, вязкость, теплопроводность среды, её скорость и т.п. 4 Предельные переходы Для определения интегральных характеристик мы используем предельные переходы. Например, плотность вещества (субстанции) в точке пространства с координатами r x, y, z M r lim VV0 V где V объём, занятый веществом; М масса этого объёма; V0 наименьший объём, окружающий точку с координатами r x, y, z содержащий достаточно представительное число молекул. 5 M lim V0 V где V бесконечно малая величина; = сс; сс плотность, определяемая в рамках модели сплошной среды. Аналогичные рассуждения можно использовать и при определении скорости движения жидкости или газа в рамках модели сплошной среды: m i v i I u mi V Использование предельных переходов позволяет в случае применения модели сплошной среды эффективно применять аппарат дифференциального и интегрального исчисления. 6 Предметом изучения механики сплошной среды является изучение материальных тел, которые целиком заполняют пространство, причём расстояния между отдельными точками среды непрерывно меняются. Непрерывным континуумом можно считать не только обычные материальные тела, но и различные поля, например, электромагнитное, гравитационное, поле излучения. 7 Движение неотъемлемое свойство материи, поэтому в окружающем мире мы сталкиваемся с различными видами движения, многими из которых мы научились управлять и использовать, руководствуясь жизненным опытом и здравым смыслом. Существование движений с которыми невозможно справиться, имея в запасе только здравый смысл и личный опыт, вызвало необходимость развития механики сплошной среды как науки. 8 В нефтегазовом деле мы сталкиваемся с движением жидкостей и газа по трубам и внутри различных машин и механизмов. В этих условиях необходимо знать: законы взаимодействия жидкости с границами потока (особенно величины сопротивления подвижных и неподвижных твёрдых стенок); неравномерности распределения скоростных потоков; фильтрацию жидкостей и газов через пористую среду; равновесие жидкостей и тел, плавающих на поверхности жидкости; распространение волн и вибраций в твёрдых и жидких телах. 9 Подавляющее число движений жидкостей и газов в каналах и трубопроводах имеет турбулентный характер, поэтому очень важно теоретическое и экспериментальное изучение теории турбулентных потоков. Изучаемая механикой сплошной среды теория упругости основа создания машин и механизмов, без которых не может существовать развитое производство. Помимо сказанного существуют проблемы, связанные с движением различных смесей: песков, грунтов, снега, сплавов и жидких растворов, суспензий и эмульсий, жидкостей с полимерными добавками и т.п. 10 До того, как мы приступим к решению прикладных задач механики сплошной среды, нам необходимо освоить теоретический курс, в котором рассматриваются математические методы изучения движения деформируемых тел. Для этого вводится ряд понятий, которые характеризуют и однозначно определяют движение сплошной среды. Среди таких понятий можно назвать поле скоростей, температуру, циркуляцию скорости и т.д. 11 Механика сплошной среды разработала методы сведения механических задач к математическим: мы должны отыскать либо численные значения искомых величин, либо числовые функции с помощью различных математических операций. 12 Помимо решения конкретных задач МСС занимается установлением общих свойств и законов движения деформируемых тел. Например, установлением связи: между давлением и скоростью, между внешними нагрузками и возникающими в результате деформа-циями. 13 Основные гипотезы механики сплошной среды: • Движение сплошной среды рассматривается как континуум (гипотеза сплошности); • Все процессы происходят в евклидовом пространстве; • В нашем пространстве абсолютное время Введение идеального понятия сплошной среды необходимо потому, что при исследовании движения деформируемых тел мы хотим пользоваться математическим аппаратом непрерывных функций, дифференциальным и интегральным исчислением. 14 Пространство и время В природе нам не даны ни неподвижное пространство, ни его метрика; нам не дано и равномерное движение, по которому можно было бы отсчитывать равные промежутки времени. В пределах приемлемых приближений, в классической механике пространство, по отношению к которому рассматривают движение механических систем, считают неподвижным и принимают евклидовым. За единицу абсолютного времени принимаются средние солнечные сутки. Под пространством понимают совокупность точек, задаваемых с помощью чисел, называемых координатами. Непрерывное метрическое многообразие это пространство, в котором определены расстояния между точками. 15 В трёхмерном евклидовом пространстве с декартовой системой координат расстояние между двумя любыми точками определяется формулой: r x x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 2 1 2 2 Мы рассматриваем пространства, в которых можно ввести единую для всех точек декартову систему координат. Такие пространства называют евклидовыми. 16 Механика сплошной среды возникла в связи с решением таких задач, как установление закономерностей истечения жидкостей из сосудов, просачивание жидкости через грунт и т.п. МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Механика жидкости и газа (гидромеханика) Механика твёрдых деформируемых тел 17 Гидромеханика •Механика идеальной жидкости; Механика твёрдых деформируемых тел • Механика вязкой (ньютоновской) жидкости ; •Теория упругости; •Механика аномально вязкой (неньютоновской) жидкости ; •Механика турбулентных течений; •Механика фильтрационных течений •Теория пластичности; •Теория ползучести; •Теория прочности; •Механика разрушения •Механика сыпучих тел; 18 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ Плотность распределения – количество характеристики, приходящееся на единицу объёма или площади поверхности Функция координат и времени r,t , которая будучи умножена на элементарный объём ΔV (элементарную площадку ΔA), количественно отразит рассматриваемую гидромеханическую характеристику этого объёма (площадки) 19 Пусть кинетическая энергия элементарного объёма V, имеющего массу m V и скорость u , равна m u 2 V u 2 u 2 K V k V 2 2 2 u 2 k 2 плотность распределения кинетической энергии Если рассматриваемая величина - вектор I m u V u u V i V i i uu - плотность распределения количества движения 20 ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1. ТЕКУЧЕСТЬ Если на твёрдое тело действуют малые неразрушающие силы, то они незначительно меняют его форму, т.е. относительное положение его частей. Многие тела обладают двойственными свойствами (стекло, простоявшее 100-150 лет, вода при ударе) Если под действием сколь угодно малых внешних сил тело деформируется неограниченно, пока внутренние касательные напряжения не станут равными нулю, то в этом случае реализуется свойство называемое ТЕКУЧЕСТЬЮ 21 Из молекулярного строения вещества следует: Благодаря наличию сил притяжения и отталкивания расположение молекул в пространстве носит упорядоченный характер. Среднее характерное расстояние между молекулами жидкости и твёрдых тел (3÷4)10-8 см Тепловое воздействие раскачивает молекулы около положения равновесия. В твёрдых телах амплитуда колебания много меньше расстояния между молекулами, в жидкости – это величины одного порядка. Колебания молекул жидкости могут приводить к перескакиванию молекул из одного места ячейки в другое. В одних жидкостях это случается чаше, в других – реже. 22 Текучесть тела определяется характерным временем tr нахождения молекулы в каждой ячейке с момента попадания в неё до момента перескакивания в другую ячейку Если время нахождения молекулы в ячейке много меньше времени действия силы, то за период действия последней молекулы могут многократно изменить своё положение в пространстве (сила непрерывно и необратимо деформирует тело, т.е. тело ведёт себя как текучая среда). В противном случае мы имеем дело с твёрдым телом 23 2. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Связь между изменением объёма и давлением - линейна V 1 V V V lim p 0 p V p 1 V V коэффициент объёмного сжатия модуль объёмной упругости Для воды при Т = 293К ЕV = 2109 Па 20000кгс/см2 24 ПРИМЕР Пусть на воду помимо атмосферного давления (Ра =101325 Па или 1.033 кгс/см2), дополнительно действует такое же давление. При этом объём воды уменьшится приблизительно на 1/20000 (практически это заметить невозможно). СЛЕДОВАТЕЛЬНО: воду и другие жидкости можно считать НЕСЖИМАЕМЫМИ и принимать их плотность постоянной, не зависящей от давления. 25 Для газа эффективно используется модель идеального газа, характеризуемая уравнением Клапейрона - Менделеева p Rt или p R N R – газовая постоянная, не зависящая от плотности и температуры, но различная в зависимости от природы газа (для воздуха R = 287 Дж/кгК Найдём плотность воздуха при атмосферном давлении и температуре окружающей среды равной 20С: p 101325 кг 1,2 3 RT 287 293 м 26 Из этого уравнения следует закон Бойля – Мариотта, который устанавливает изотермическую связь между давлением и плотностью: р const для заданного объёма газа при постоянной температуре Для адиабатического процесса (отсутствует теплообмен между выделенным объёмом газа и окружающей средой) характерна зависимость: k cp cv p const k адиабатическая постоянная газа; 27 ОТЛИЧИЕ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ ОТ МЕХАНИКИ ГАЗА 1. Газ легко сжимается, скорость распространения в нём звука и всех механических возмущений значительно меньше, чем в жидкости 2. Жидкость имеет свободную поверхность. В невесомости эта поверхность представляет собой сферу (соседние молекулы жидкости находятся в постоянном взаимодействии) 3. В газе молекулы взаимодействуют друг с другом только в момент столкновения. Газ равномерно распространяется по замкнутой части пространства. В незамкнутом пространстве, объём газа может неограниченно возрастать 4. В жидкости давление уменьшается до определённого значения, после которого начинается образование пузырьков и начинаются фазовые переходы, при которых свойства среды меняются качественно. То же самое возникает и при повышении температуры 28 3. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ Свойство текучей среды, заключающееся в возникновении в ней внутренних сил, препятствующих её деформации, т.е. изменению относительного положения её частей, называется ВЯЗКОСТЬЮ 29 Рассмотрим простое сдвиговое течение Элементарная площадка ΔхΔу поверхности движется вместе с жидкостью. Слой жидкости 1 скользит по слою 2 с относительной скоростью Δuх . Молекулы газа участвуют в 2-х видах движения: Вязкие напряжения в жидкостях и газах •упорядоченное продольное движение со скоростью uх или (uх + Δuх) в зависимости от того, в каком слое они находятся; •хаотическое тепловое движение (скорость на два порядка выше, чем в упорядоченном) 30 Вязкость газа обусловлена переносом количества движения из одного слоя в другой, которое появляется из-за разности скоростей этих слоёв. Хаотическое движение молекул из слоя 1 в слой 2 сопровождается пересечением площадки ΔхΔу . При этом один слой ускоряется, другой – замедляется. Вводя модель сплошной среды, приходим к выводу, что на площадке ΔхΔу действует касательное напряжение, которое компенсирует перенос количества движения, обусловленный тепловым движением молекул Касательное напряжение (согласно молекулярнокинетической теории) du x p zx dz - динамический коэффициент вязкости (динамическая вязкость газа ); т.е. это гидродинамическая характеристика, определяемая физическими свойствами текучей среды 31 растёт скорость хаотического движения молекул растёт температура ГАЗ 1. увеличивается перенос количества движения из одного слоя в другой; 2. Увеличивается касательное следовательно растёт число молекул, пересекающих в единицу времени площадку ΔхΔу напряжение рzx 32 Это означает, что с увеличением температуры динамический коэффициент вязкости газа возрастает. В ЖИДКОСТИ du x p zx dz Основной причиной воздействия одного слоя на другой (переноса количества движения) является взаимодействие молекул, расположенных по разные стороны границы между слоями (не перенос молекул через границу!) Динамический коэффициент вязкости жидкости с увеличением температуры уменьшается Закон Ньютона для вязких напряжений - касательные напряжения связывают с изменчивостью поля скорости 33 Размерность динамического коэффициента вязкости p zx pz Па м кг Па с du м u мс с dz Размерность выражается через размерности напряжения Па и времени с. Иногда в качестве единицы используют г/смс, которая называется пуаз (в честь французского врача А. Пуазейля, выполнившего фундаментальные исследования движения вязкой жидкости) и обозначается П: Пас = 10П. du x p zx dz Характеризует перенос поперёк потока количества движения слоёв текучей среды, которое пропорционально скорости среды uх и плотности текучей 34 закон Ньютона целесообразно представить в форме где du x du x p zx dz dz кг м 3 м 2 мс кг с Ввиду того, что в размерность входят только метры и секунды (и не входит размерность массы), эту величину называют кинематическим коэффициентом вязкости (или кинематической вязкостью). Размерность см2/с называется стокс (в честь английского гидромеханика Дж. Стокса, который сформулировал дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости), и обозначается Ст: 1Ст = 10-4 м2/с. 35 Наука о характере зависимости p zx du x dz называется реологией (греч. течь, учение) Рис. 1.4. Реологические законы жидкостях: в 1 ньютоновская жидкость; 2 бингамовский пластик; 3 псевдопластическая жидкость; 4 дилатантная жидкость 36 ГИДРОСТАТИКА. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ Раздел гидромеханики, в котором изучают жидкости, находящиеся в условиях равновесия (покоя) Из определения текучести следует: В состоянии покоя в жидкости и газе касательные напряжения равны нулю, а в каждой точке произвольно ориентированной в пространстве площадки действуют только нормальные напряжения 37 Рассмотрим произвольную площадку, имеющую единичный вектор нормали n = (nx, ny, nz). Вектор напряжений на этой площадке рn параллелен n. Рис.2.1. Гидростатическое давление: а в точке сплошной среды; б на поверхности произвольной формы. 38 pn pnnn pnnn x , pnn n y , pnnn z (2.1.1) где рnn – проекция рn на нормаль к площадке; pnn = pn Используя матричную форму записи можно записать: p xx 0 pn n x , n y , n z 0 0 0 p yy 0 p xxn x , p yy n y , p zz n z 0 p zz (2.1.2) Сравнивая (2.1.1) и (2.1.2) получим: p xx p nn , p yy p nn , p zz p nn (2.1.3) 39 То есть, значение нормального напряжения в фиксированной точке покоящейся жидкости не зависит от ориентации площадки При рассмотрении напряженного состояния сплошной среды принято растягивающие напряжения считать положительными. В большинстве задач технической механики жидкости во избежание разрывов сплошности растягивающие напряжения в жидкой среде считаются недопустимыми. Это в еще большей степени относится к газообразной среде. 40 В гидростатике напряженное состояние жидкости характеризует взятое со знаком плюс нормальное напряжение (которое на всех произвольно ориентированных площадках в данной точке имеет одинаковое значение) Величина нормального напряжения, являющаяся частным случаем гидродинамического давления, называется гидростатическим давлением и обозначается через р: p p nn p xx p yy p zz (2.1.4) 41 Матрица тензора напряжений в условиях покоя текучего тела имеет вид: p 0 0 1 0 0 0 p 0 p 0 1 0 0 0 p 0 0 1 (2.1.5) Обозначим тензорную единицу через Е, тогда тензор напряжения в покоящейся жидкости можно представить как П = – рЕ (2.1.6). 42 Напряжённое состояние в покоящейся жидкости определяется величиной р, поэтому его характеризуют не тензором П, а считают, что оно полностью описывается величиной гидростатического давления, которое можно рассматривать как скаляр 43 Сила гидростатического давления F, действующая на малую площадку A, это вектор, направленный со стороны жидкости по нормали к этой площадке (такая нормаль называется внутренней и её вектор равен (n): F n p A (2.1.7) Если давление на площадке конечных размеров А зависит от координат, то сила давления на эту площадку определяется по формуле: F n pdA A (2.1.8) 44 Внутри жидкости выделяем кубик с рёбрами dx,dy,dz и рассмотрим его равновесие под действием объёмных и поверхностных сил p pr px, y , z давление в жидкости 45 Приравняем к нулю сумму проекций на ось х всех сил, действующих на куб. Плотность распределения массовой (объёмной) силы f f x , f y , f z объёмная сила, действующая на куб, будет иметь проекцию на ось х, равную f x dxdydz Поверхностные силы на грани, нормальные осям y и z, дают нулевую проекцию на ось х, так как касательные напряжения в условиях гидростатики равны нулю 46 В пределах куба считаем, что в разложении р(х,у,z) в ряд Тейлора можно принять в расчёт лишь члены, линейно зависящие от приращения координат. Давление на левую грань куба, перпендикулярную оси х, обозначим через р(х,у,z), при этом на правой грани давление будет равно p p dx x Будем считать эти грани элементарными площадками в отношении давления, тогда проекция на ось х силы давления на левую грань равна рdydz, а на правую равна 47 p p dx dxdz x Сумма проекций всех поверхностных сил на ось х p p pdydz p dx dydz dxdydz x x Приравняем нулю сумму проекций поверхностных и объемных сил на ось х p f x dxdydz dxdydz 0 x (2.2.1) 48 Разделив все слагаемые на рdxdydz, получаем первое уравнение равновесия 1 p fx 0; x 1 p fy 0; y 1 p fz 0. z (2.2.2) 49 Введём единичные векторы i, j и k, соответствующие координатным осям х, у и z: i 1,0,0 ; j 0,1,0 ; k 0,0,1 (2.2.3) Умножим (2.2.2) на i, j и k, соответственно, и сложим их: 1 p p p f x i f y j f z k i j k 0 x y z (2.2.4) 1 f gradp 0 в векторной форме 50 Векторное уравнение (2.2.4) равносильно системе трёх уравнений(2.2.3), где вектор grad p определяется через свои проекции на координатные оси в виде p p p gradp i j k x y z (2.2.5) либо в матричной форме p p p gradp , x y , z (2.2.6) 51 Пусть вектор f имеет потенциал, т.е. существует такая функция U(x, у, z), что f gradU или U U U fx , fy , fz . x y z (2.3.1) 52 При этом уравнение Эйлера для однородной несжимаемой жидкости (р = const) примет вид p gradU 0 интегрируя его получим (2.3.3): (2.3.2) p U const Это общая форма интеграла уравнений гидростатики, когда объемные силы имеют потенциал 53 . Если внешние объемные силы не имеют потенциала, то в поле таких сил жидкость не может находиться в состоянии покоя. Рассмотрим частные случаи объемных сил. Внешняя объемная сила сила тяжести В декартовой системе координат ось z направлена вверх. Используя (2.3.1), установим, что потенциал силы тяжести: U g gz (2.3.4) f x 0, f y 0, f z g Подставим (2.3.4) в (2.3.3): 54 p gz const Обозначим через удельный вес ( = g): p z const g или (2.3.5) p z const Это закон распределения гидростатического давления в поле силы тяжести. 55 Пусть р0 давление на свободной поверхности, или поверхностное давление. Найдём форму свободной поверхности из условия, что на ней р = р0 = const. Такая поверхность, координаты которой обозначим через z0, представляет собой горизонтальную плоскость: p0 z 0 const Абсолютное давление ( рА) в точке М абсолютное давление p A M p0 hM p0 pB M рв = h весовое давление (давление, обусловленное весом жидкости) 56 Если РА > Ра, то избыточным давлением ри называется превышение давления в точке над атмосферным: ри = рА– ра Если на свободную поверхность действует атмосферное давление, то весовое давление в жидкости равно избыточному, и абсолютное давление в любой точке внутри жидкости можно записать в виде ра = Р0 + Рв = Ра + h = Ра + Ри При условии РА < ра недостаток давления в точке до атмосферного называется вакуумом: р вак р а р А 57 КИНЕМАТИКА ТЕКУЧЕГО ТЕЛА. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В теоретической механике для полного описания движения материальной точки необходимо знать уравнение движения: r = r(t), где r ≡ (x,y,z) – радиус-вектор точки Чтобы найти скорость точки dr r r t t r t V lim lim dt t 0 t t 0 t 58 Ускорение материальной точки определяется зависимостью dV V V t t V t a lim lim dt t 0 t t 0 t Ускорение материальной точки а входит во второй закон Ньютона, согласно которому сила F, приложенная к материальной точке массой m, придаёт ей ускорение а в соответствии с равенством F dV a m dt 59 При изучении движения сплошной среды можно выделить бесконечно малые объёмы, для которых положение в пространстве характеризуется тремя координатами или величиной одного радиус-вектора r = (х,у,z), и рассматривать движение сплошной среды как движение совокупности взаимно связанных и взаимодействующих бесконечно малых (точечных) объёмов. 60 Задачей кинематики является описание движения сплошной среды безотносительно к тому, какие причины вызывают данное движение. Метод Лагранжа при t = t0 = 0 х1 = х1 (а1,а2,а3,t), х1 = х1 (а1,а2,а3,t), х2 = х2 (а1,а2,а3,t), х3 = х3 (а1,а2,а3,t), закон движения точки Функции, описывающие закон движения среды непрерывны по t, и обладают непрерывными первыми и вторыми производными по времени. хi = хi (а1,а2,а3,t). переменные Лагранжа В каждый фиксированный момент времени функции хi = хi (а1,а2,а3,t) взаимно однозначны 61 В каждый фиксированный момент времени функции хi = хi (а1,а2,а3,t) взаимно однозначны компоненты перемещений каждой материальной точки ui = хi – а = ui(а1,а2,а3,t) Компоненты скорости и ускорения находятся дифференцированием по времени u i vi f i a1 , a 2 , a 3 , t t 2 v i u i wi 2 i a1 , a 2 , a 3 , t t t 62 Характеристики сплошной среды (скорость, плотность, давление и т.п.), связанные с движущимися элементарными объёмами сплошной среды, как и координаты этого объёма, называют лагранжевыми переменными. Лагранжевы координаты это параметры, которые характеризуют каждую точку среды и не меняются в процессе 1. Вычисляем скорость и ускорение каждой частицы; 2. Определяем величину внешних (поверхностных и объёмных) сил, действующих на каждую частицу; 3. Записываем уравнения движения для сплошной среды. 63 Метод Эйлера Фиксируем точки пространства, через которые проходят в разные моменты времени различные элементарные объёмы жидкости, (жидкие частицы). В точках определяются значения скорости движения сплошной среды. Т.о., средством описания движения сплошной среды является поле скорости движения жидких частиц в фиксированных точках пространства: v v x 1 , x 2 , x 3 , t Характеристики сплошной среды, отнесённые к фиксированным неподвижным элементам геометрического пространства и сами эти элементы называют эйлеровыми переменными Движение с точки зрения Эйлера, считается известным, если скорость среды и другие рассматриваемые величины заданы как функции х1, х2, х3, t. 64 v v x 1 , x 2 , x 3 , t Установившимися или стационарными процессы движения будут если величины, характеризующие их, в случае задания их с точки зрения Эйлера, зависят только от координат и не зависят от времени. Чем метод Эйлера удобнее метода Лагранжа? Наблюдать за движущимися фиксированными жидкими частицами сложнее, чем за характеристиками движения сплошной среды. 2.Соответствующие методу Эйлера уравнения проще для анализа. 1. скорость среды Процессы и движения называются неустановившимися или нестационарными, если величины, характеризующие их, зависят не только от координат, но и явно зависят от времени. Используя переменные Лагранжа рассматриваем движение среды, как движение непрерывно распределённых материальных точек. В переменных Эйлера изучаем поведение среды в различных точках пространства. ОБА МЕТОДА РАВНОПРАВНЫ 65 Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера В методе Лагранжа закон движения имеет вид: хi = хi (а1,а2,а3,t) (*) параметры среды в переменных Лагранжа записываются : v i f i a1 , a 2 , a 3 , T Ta1 , a 2 , a 3 (**) разрешим (*) относительно аi и подставим в (**) vi fi x1, x 2 , x 3 , T Tx1, x 2 , x 3 xi текущие координаты индивидуальных точек х1, х2, х3, - геометрические координаты пространства 66 Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа v vx1, x 2 , x 3 , t v i v i x 1 , x 2 , x 3 , t В каждой точке пространства в момент времени t находится какая-то частица сплошной среды. Приписываем ей координаты х1, х2, х3 и рассматриваем движение соответствующей материальной точки. в пространстве задано поле скоростей СС dx1 v1 x1 , x 2 , x 3 , t , dt dx 2 v 2 x1 , x 2 , x 3 , t , dt dx 3 v 3 x1 , x 2 , x 3 , t . dt 67 Эту систему уравнений можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно хi. x1 1 t , c1 , c 2 , c 3 , x1 x1 a1 , a 2 , a 3 , t , x 3 3 t , c1 , c 2 , c 3 , x 3 x 3 a1 , a 2 , a 3 , t , x 2 2 t , c1 , c 2 , c 3 , x 2 x 2 a1 , a 2 , a 3 , t , 68 Ускорение в переменных Эйлера Ускорение и его вычисление по скорости Ускорение – это скорость изменения скорости индивидуальной частицы. Если скорость задана по Лагранжу, т.е. u u u(t , ), то a t Если скорость задана по Эйлеру, то 1 const u u(t , x1 , x 2 , x 3 ). x1 x1 (t , 1 ), x2 x2 (t , 2 ), в индивидуальной частице x3 x3 (t , 3 ). 69 по формуле дифференцирования сложной функции u a t u x1 u x 2 u x 3 xi const x1 t const x 2 t const x 3 t const Окончательная формула по Эйлеру будет выглядеть u u u du u u 2 u 3 a u 1 t x 1 x 2 x 3 dt Это полная (материальная) производная скорости по времени, индивидуальная производная по времени, субстанциальная производная 70 В методе Лагранжа ускорение, входящее в уравнение II закона Ньютона, определяется второй производной пути по времени Вместе с тем эта производная должна быть связана с движением частиц жидкости или газа (субстанции). В методе Эйлера ускорение и другие гидромеханические величины, меняются вместе с движением объёма жидкости, а потому выражаются через специальный вид производной, определённым образом связанной с полем скорости Такую производную называют полной или субстанциальной 49 71 u t если производная по времени при xi = const – изменение скорости по времени в данном месте пространства – локальная производная по времени (по Эйлеру) =0 то движение установившееся (стационарное): du u 3 u u u a ui ui dt t i 1 x i t x i В декартовых координатах в проекциях u z u u u a ux uy uz t x y z u y u x u x u z ax ux uy uz t x y z 72 РЕЗЮМЕ: если функция задана в переменных Эйлера: = (x1, x2, x3, t), 1. Перейти к переменным Лагранжа; 2. Воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции, в результате чего получим d 3 ui dt t i 1 x i d Производная dt называется полной производной (индивидуальной, субстанциальной) и характеризует изменение плотности данной частицы сплошной среды в единицу времени 73 ЛИНИЯ ТОКА И ТРАЕКТОРИЯ Кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к ней НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНИЕЙ ТОКА В ПОЛЕ СКОРОСТИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Линия тока является эйлеровой характеристикой Траектория это путь индивидуальной частицы потока (лагранжева характеристика) В фиксированный момент времени линии тока никогда не пересекаются друг с другом, за исключением особых точек ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ ТОКА dr vd где d - скалярный ПАРАМЕТР; dx i v i x1 , x 2 , x 3 , t d (i = 1, 2, 3); t - ПАРАМЕТР; Траектории движения частиц сплошной среды dx i v i x1 , x 2 , x 3 , t dt t - переменная величина ЧТО ТАКОЕ ГРАДИЕНТ? Вектор направленный по нормали n в какой-либо точке М эквипотенциальной поверхности в сторону роста и равный по величине n называется вектором - градиентом скалярной функции в точке М grad n0 i j k n x1 x 2 x 3 3 grad e Cos Cos i , n e i 1 x i n 0 , i , j, k единичные векторы по направлению нормали и вдоль координатных осей Проекция вектора grad на некоторое направление определяет изменение плотностей в этом направлении: 3 grad e Cos Cos i , n e i 1 x i - угол между выбранным направлением и нормалью; Cos I – направляющие косинусы вектора е Наибольшее изменение плотности происходит в направлении, нормальном к поверхности f (x1 , x2 , x3 ,t ) = const e ПОТОК ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ Лагранж выделенный движущийся объём жидкости (текучего тела), сохраняющий при своём движении все составляющие его части (жидкие частицы) Эйлер - выделенная часть пространства - контрольный объём, ограниченный контрольной поверхностью, сквозь которую течёт сплошная среда. Поток гидромеханической характеристики - это количество характеристики, проносимой жидкостью в единицу времени сквозь фиксированную поверхность. r x, y , z u ur, t , un u n dQ u n dA Объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку dA dQ B r , t u n dA Количество гидромеханической характеристики В, которая проносится жидкостью за единицу времени через площадку dA: Поток QB гидромеханической характеристики В через контрольную поверхность (количество характеристики, проносимое жидкостью за единицу времени через поверхность А) Q B r , t u n dA r, t 1 A гидромеханической характеристикой является объём жидкости Объём жидкости, протекающий через контрольную поверхность за единицу времени, или поток объёма жидкости называется объёмным расходом Q: Q u n dA A Q ì u n dA A Массовый расход u r, t k 2 2 u Q k kun dA u n dA 2 A A r , t i u 2 поток Qk кинетической энергии через контрольную поверхность Q I iu n dA u u n dA u , u , u u , u u n n n n 2 A A поток количества движения QI 2 u u n , u n , 2 2 u n , uu n плотности потоков объёма, массы, кинетической энергии, количества движения Если в поле скорости u (или любой другой векторной величины) мысленно провести некоторую поверхность S и в каждой точке её задать нормаль , то для определения объёма жидкости, протекающей за единицу времени сквозь поверхность S, необходимо вычислить интеграл: u ndS undS S S Поток скорости сквозь замкнутую поверхность S, отнесённый к единице объёма V, заключённого внутри S, называется расхождением или дивергенцией скорости, u n dS div u lim v v0 S u i div u i 1 x i 3 Дивергенция скорости определяет скорость объёмного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки. Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность s должен быть равен расширению всего объёма v жидкости внутри s, то есть vn dS divvd S V формула Гаусса ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ. ВИХРЬ ВЕКТОРА СКОРОСТИ u В поле мысленно проведём замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность S вихрь или ротор скорости l иn циркуляция скорости 3 u ldl u ldl u idx i L L i 1 L u l dl rotu lim Sn S0 единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности S u 3 u 2 u 1 u 3 u 2 u 1 i j k rotu x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 u ldl rotu ndS L S При движении элементарного объема жидкости существует два вида движения поступательное движение твердого тела со скоростью полюса и вращение его вокруг полюса. Вращение жидкого объёма вокруг полюса описывается тензором из шести составляющих, и только три из них отличаются по абсолютной величине. Каждая составляющая определяет значение мгновенной угловой скорости вращения вокруг оси, параллельной одной из координатных осей x,y,z, которые можно рассматривать как проекции на соответствующие координатные оси вектора , определяющего угловую скорость вращения элементарного объема жидкости при его перемещении в трехмерном пространстве 1 u y u x z 2 x y вектор ω в матричной форме 1 u z u y 1 u x u z 1 u y u x , x , y , z , z 2 z x 2 x y 2 y вихрь вектора или вихрь скорости u z u y u x u z u y u x , rotu , z z x x y y z u u x , u y , u z u 0 ,0,0 H u x u 0 0 z H поле скорости все остальные составляющие тензора grad u равны 0 1 u x u z u 0 y 0 2 z z 2H мгновенная угловая скорость В том случае, когда все проекции скорости определены одной функцией могут u быть х1, х2, х3, t в виде ui x i = grad , то говорят, что поле скоростей u потенциальное, а функция потенциал скорости. то есть Проекция скорости vl на любое направление l определяется производной ddl Необходимым и достаточным условием существования потенциальных течений являются равенства rotu 0 u 3 u 2 u1 u 3 u 2 u1 ; ; x 2 x 3 x 3 x1 x1 x 2 Следовательно, безвихревое течение жидкости потенциально
