Механика движения жидкости. Вязкость жидкости. Ламинарное и

 Жидкость оказывает давление на поверхность
твердых тел, погруженных в нее или
ограничивающих ее объем.
 Вследствие легкого перемещения молекул
жидкости, давление в нее передается
равномерно во все стороны (закон Паскаля).
Поэтому силы давления распределены на все
поверхности соприкосновения жидкости и
твердого тела и направлены к ней
перпендикулярно.
 Давление в жидкости обусловлено действием
внешних сил на нее (атмосферного давления или
тяжести столба самой жидкости, давлении
стенки сосуда, если она - эластичная).
 Вследствие того, что между молекулами
жидкости существуют большие силы
отталкивания, даже небольшое сжатие жидкости
внешними силами вызывает в ней значительные
силы упругого противодействия, которые и
создают давление.
 Жидкость, находящаяся под давлением, обладает
внутренней потенциальной энергией, величина
которой равна:
Ер = рV
 Если объем жидкости V перемещается из
пространства с давлением Р1 в пространство с
давлением Р2 , то при этом совершается работа:
А = V (Р1 – Р2)
Закон Бернулли. Статическое и динамическое
давление
1) Определение идеальной жидкости.
2) Рассмотрим течение идеальной жидкости по
трубе с неодинаковым сечением. Течение
жидкости называется непрерывным, если через
любое сечение трубы в единицу времени протекает
одинаковое количество жидкости (объем). При
этом скорость движения на участках трубы обратно
пропорциональна площади их сечения.
 Действительно, объем V жидкости, протекающей
в единицу времени через любое сечение трубы,
равен:
V=Sυ,
так как этот объем постоянен для любого сечения
трубы, то
Sυ=const
 Если обозначить сечение и скорость движения на
участках 1 и 2 соответственно S1 , υ1 и S2 , υ2 , то
согласно сказанному выше S1 υ1 = S2 υ2. Как видно
из рисунка 1, можно сделать вывод, что чем
меньше сечение трубы, тем выше скорость
жидкости, протекающей через это сечение.
Рис. 1
 Рассмотрим движение идеальной жидкости
небольшой массы V по трубе переменного сечения
(рис.2).
B (•) A жидкость находилась под давлением р1 и
имела скорость υ1 и была на высоте h1 над
некоторым начальным уровнем (сд). B (•) В эти
величины имеют значения υ2 , р2 , h2 . При
перемещении совершается работа силами
давления (работа равна изменению потенциала
энергии объема жидкости).
 Ар =( р1 – р2 )V , где совершается работа силами
давления
Рис. 2
и силами тяжести:
Аh = mgh1 – mgh2.
 Сумма этих работ Ар+Аh должна соответствовать
изменении кинетической энергии.
Откуда:
р1V + mgh1 + mυ12//2 = p2V + mgh2 + mυ22/ 2
 Левая и правая часть этого уравнения соответствует
полной энергии в двух точках. Она постоянна во всех
точках потока жидкости, так как точки 1 и 2 взяты
произвольно, внешнего воздействия на жидкость,
кроме давления и силы тяжести , нет. Объем
жидкости принят малым и постоянным.
 Вывод: полная энергия частиц, движущейся
непрерывной струи невязкой жидкости есть
величина постоянная. Поделив это уравнение на
объем и учитывая, что отношение массы
жидкости к объему равно плотности жидкости:
m/ V = ρ , получим:
р + ρgh + ρυ2/2 = const,
где:
ρgh – гидростатическое давление;
р - статическое давление;
ρυ2/2 – динамическое давление.
 Представленное выражение носит название –
уравнение Бернулли. С учетом того, что
гидростатическое давление изменяется мало,
уравнение Бернулли может быть представлено
следующим образом: р + ρυ2/2 = const. Из
уравнения следует, что давление невязкой
жидкости, текущей по трубе, повышается там, где
скорость понижается и наоборот – правило
Бернулли.
 В реальной жидкости на ее движение оказывает
влияние свойство жидкости – вязкость. Вязкость
связана с возникновением трения между слоями
жидкости. Слои двигаются с разными скоростями
и в результате молекулярного взаимодействия
между соседними слоями возникает трение. Исаак
Ньютон определи зависимость силы трения от
градиента скорости и площади слоев. Ньютон
рассматривал движение жидкости на участке
плоского дна.
 На рисунке 3 показаны Рис. 3 отдельные слои,
которые двигаются с разными скоростями.
Рис. 3
 Слои выбраны произвольно, они отражают
реальную картину движения вязкой жидкости.
Тонкий слой , соприкасающийся с дном,
неподвижен. По мере удаления от дна скорость
слоев увеличивается (υ4>υ3>υ2>υ1). Слои
воздействуют друг на друга – верхний слой –
ускоряя, а нижний – замедляя соседние слои. Сила
внутреннего трения пропорциональна площади
слоев и увеличивается с ростом скорости. Ньютон
вывел уравнение для силы внутреннего трения:
Fтр.= η (dν/dx)S
где η – коэффициент пропорциональности, который
носит название коэффициента динамической
вязкости. Измеряется в Па*с или Нс/м2. Здесь: Па
( Паскаль )– единица давления, Н ( Ньютон ) –
единица силы, S – площадь слоев,
dv /dx – градиент скорости по оси х. Градиент
скорости характеризует изменение скорости по
глубине жидкости (вдоль оси х). Градиент скорости
характеризует быстроту изменения скорости в
направлении, перпендикулярно движению (так как
введение слоев условно).
 Большинство жидкостей подчиняются закону
Ньютона. Их коэффициент вязкости зависит от
природы жидкости и температуры (вязкость
падает с ростом температуры). Такие жидкости
называют ньютоновскими.
 У некоторых жидкостей коэффициент вязкости
зависит так же от давления и градиента скорости.
При их увеличении вязкость снижается, так как
изменяется внутренняя структура молекул. Такие
жидкости называются неньютоновскими.
Течение вязкой жидкости по трубам небольшого
диаметра.
Описывается экспериментальными результатами
французского физика Пуазейля . Объемная
скорость движения (Q ) – объем жидкости,
протекающей через поперечное сечение трубы за
1сек.
Q = πR4( P1– P2 ) / 8ηL
– Здесь : R – радиус сосуда, P1– давление в начале
трубы, P2 – давление в конце трубы, L – длина
трубы, η – вязкость жидкости.
Средняя линейная скорость жидкости равна :
νcp= Q/ πR2 = R2 ( P1 – P2 ) / 8 ηL .

Французский теоретик Гаген продолжил
работу экспериментатора Пуазейла и вывел
формулу, описывающую распределение скорости
движения жидкости в цилиндрическом сосуде.
Эта формула определяет скорость течения
жидкости в зависимости от расстояния до
центральной оси цилиндрического сосуда. Это
расстояние Гаген обозначил буквой r . Формула,
определяющая скорость υ ( r ), имеет вид:
ν( r ) = ( R2 – r2 ) ( P1 – P2 ) / 4ηL
 На рисунке 4 показано распределение скорости
движения
жидкости по цилиндрическому сосуду. График
зависимости
ν( r ) имеет вид параболы. Максимальное значение
скорости совпадает с центральной осью сосуда,
минимальное
Рис.4
значение скорости совпадает с внутренней поверхностью
сосуда, где движение скорости равно нулю.
Там, где скорость движения жидкости минимальная
– максимальное статическое давление (у стенок
трубы), а там где максимальная скорость –
минимальное давление (в центре трубы). Это
приводит к тому, что при движении неоднородной
жидкости , она расслаивается. К таким жидкостям
относится кровь. При её движении по сосуду в
пристеночных слоях движется плазма крови,
обеднённая форменными элементами, а по центру
сосуда, в плазме, движется большая часть
форменных элементов.
 Формулу Пуазейля для объемной скорости можно
переписать, с учетом того, что разность давлений в
сосуде равна:
P1 – P2 = ΔP – падение давления в сосуде.
Из формулы Пуазейля можно вывести, что
падение давления в сосуде равно:
ΔP = Rгем Q , где R – сопротивление
движению жидкости в сосуде.
Rг =8ηL/πR4 – при движений жидкости
сопротивление называется гидравлическим, а при
движении крови по сосудам – гемодинамическим.
Как видно из формулы сопротивления, оно
зависит прежде всего от изменения радиуса
сосудов.
Ламинарное и турбулентное движения
жидкостей.
Стационарное движение вязкой жидкости является
слоистым или ламинарным течением. Для него справедливо
правило Бернулли, формулы Пуазейля и Гагена –Пуазейля.
При увеличении скорости движения вязкой жидкости
образуются завихрения и движение становится
нестационарным, вихревым или турбулентным. При
турбулентном движении скорость частиц в каждом месте
беспрерывно и хаотически меняется и движение
становится не стационарным.
Характер течения жидкости по трубе зависит от
свойств жидкости и определяется критерием Рейнольдса:
Rе = ρжυD/η
 ρж – плотность жидкости;
 D – диаметр трубы;
 η – динамическая вязкость, υ –скорость движения жидкости.

Для определения характера движения жидкости
критерий Рейнольдса сравнивается с его критическим
значением. Последнее определяется экспериментально.
Если Re> Reкр, то характер движения– турбулентный,
если Re< Reкр, то характер движения – ламинарный.

Характер движения зависит от двух факторов :
роста скорости движения и диаметра сосуда. В
медицине наиболее часто растет скорость движения
крови, что может привести к возникновению
турбулентности. Это резко увеличит сопротивление
движению крови и может при вести к закупорке сосуда.

Из критерия Рейнольдса видно, что кроме
скорости, сильное влияние на турбулентность
движение жидкости оказывает диаметр трубы. В трубах
большого диаметра течение жидкости, даже при
небольшой скорости, может стать турбулентным.