И.А. Козлитин Микрополевая модель квазинезависимых частиц и неидеальная плазма (по материалам кандидатской диссертации, научный руководитель Н.Н. Калиткин) План доклада I. Введение II. Модели плазменного микрополя III. Обрезание статистических сумм атомов и ионов IV. Ионизационное равновесие V. Модели неидеальной плазмы VI. Основные результаты 2 Модели плазменного микрополя 3 Традиционные модели микрополя • Хольцмарк (1919 г.) 2E E 3/ 2 p( E ) exp( x ) sin( x ) xdx , 2 E0 0 E0 E0 ( ) 8 1 / 3 h 25 2 z R , zh ( z j 3/ 2 x j )2 / 3 . k, j Для разреженной плазмы p(E) ~ E-5/2 при E → ∞. Плотность энергии бесконечна < E2 > /(8π). Учет корреляций частиц: • Iglesias и другие (1985 г.) APEX и другие модели • Голосной (2001 г.) MAPEX • Модель простых гармонических осцилляторов (SHO) p( E ) 4 E 3 SHO exp( E / E 2 2 SHO 2 ) E , E SHO z zz 2 2 0 R RT 1/ 2 . 4 QUIP – модель квазинезависимых частиц Частицы плазмы независимы. Плотности распределения поля от каждой частицы одинаковы. Центральная предельная теорема теории вероятностей дает: p( E x ) ~ exp( E x2 / E02 ) - распределение Гаусса 4 3 2 2 2 p( E ) E0 exp( E / E0 ) E - распределение Максвелла Плотность энергии E 2 /(8) 3 E02 /(16) 5 Масштаб микрополя Параметры частиц: z, m, R, T Только комбинация z/R2 имеет размерность напряженности электрического поля. Только комбинация Г = z2/(RT) безразмерна. Поэтому E0 = (z/R2) f(Г), где f – произвольная функция. Для горячей разреженной плазмы f () c Энергия прямого взаимодействия зарядов в разреженной плазме 0.9z2/R. Приравняем <E2>V к этой величине. Тогда c=(18/5)1/2. Для плотной плазмы E0=(z/R2)(18/(5+9Г))1/2. Тогда модель будет иметь предел SHO. 6 Эффективный заряд Энергия взаимодействия зарядов для разреженной частично ионизованной плазмы: z 2j 9 E x j , R j R( z j / xe )1/ 3 . 10 j Rj Rj - радиус электронейтральной ячейки вокруг иона заряда zj. 9 E xjzj 10 R j xjzj j 1/ 6 1/ 3 9 2 5/ 3 zeff , xjzj 10 R j 1/ 2 5/3 3/ 2 zeff zh x j z j xjzj j j 1/ 2 2 zeff 5 zeff 1 2 3 E E 0 R , E 0 2 . 4 R 18 2 RT 2/ 3 . 7 Распределение плазменного микрополя при Г=200. Линия – модель QUIP, точки – расчеты по Монте-Карло. 8 Противоречие традиционных моделей. Распределение микрополя при больших Г спадает медленнее. Линии – модель APEX, точки – расчет 9 по Монте-Карло. Зависимость f(Г). Линия – модель QUIP, маркеры – традиционные модели. 10 Скорость убывания «хвоста» распределения. Верхняя линия – модель QUIP, нижняя – модель Хольцмарка, 11 маркеры – различные модели. Обрезание статистических сумм атомов и ионов 12 Обрезание статистических сумм Статистическая сумма атома или иона G g n* , g n* g n exp( n / T )n , n 0 n - формфактор, осуществляющий обрезание. Согласованное обрезание по среднему модельному сдвигу потенциалов (МДХ, БДХ, ВГК...). Условие сохранения n-ного уровня n . Ступенчатый формфактор n . Возможна инверсия. Обрезание плазменным микрополем. n En 0 ( n ) 2 p( E )dE , En для z-1 кратного иона. 4z 13 Традиционные способы обрезания 1. По основному состоянию. 2. По среднему сдвигу потенциалов (БДХ, МДХ, ОКП…). 3. Уточненное дебаевское обрезание. 4. По точке поворота (методика Никифорова-Уварова). 5. По формуле Планка-Ларкина. 6. По температуре. 7. … 14 Обрезание плазменным микрополем z Потенциал: U E r. r 1/ 2 Седловая точка: u* 2( zE ) . Условие сохранения уровня: n u* . ( n ) 2 . Критическое поле: En 4z Формфактор: n En p( E )dE . Нет инверсии! 0 15 Часть спектра лазерной плазмы с линиями He-подобного Ar+16 и H-подобного Ar+17. 16 Заселенность уровней Ar+16 с главным квантовым числом n в экспериментах Рочестерского университета для различных моделей. 17 Ионизационное равновесие 18 Обобщенные уравнения Саха • Функционал свободной энергии zi F Fe xik Fik F i k 0 • Уравнения Саха T ln( Gi ,k 1 xik Gik xi ,k 1 ) ik ik ik 0, 1 k zi , 1 i J , ik F , x ik xi ,k 1 xe J zj ik T x jq j 1 q 1 xik xi ,k 1 xe ln G jq . 19 Большой круг итераций Начальная инициализация xe, Gk, ∆φk, ∂φk Решить уравнение для определения xe Нет Да Проверить xe' xe Определить все xк Определить новые Gk, ∆φk, ∂φk Конец 20 Уравнение на xe (малый круг итераций) 1 * * xe p exp f m ( xe ) exp f m ( xe ) , p 1 m 1 p1 m 1 2 xe t * f k ( xe ) ln Gk ln Gk 1 I1/ 2 ( ) ( k k k ) / T . 3/ 2 T 2t V n p n p Уравнение можно представить как F ( xe , G , , ) 0. Решение – дихотомия по xe при фиксированных G, ∆φ, δφ. На самом деле G, ∆φ, δφ зависят от xe.Усовершенствование алгоритма – введение зависимостей G(xe), ∆φ(xe), δφ(xe) с использованием вектора псевдоконцентраций. Получим F ( xe , G ( xe ), ( xe ), ( xe )) 0. Решается методом дихотомии по xe. 21 Вектор псевдоконцентраций ( x0 , x1 .. xk ) - вектор концентраций нейтралов и ионов. Gq Gq ( x0 , x1 ... xk ), q q ( x0 , x1 .. xk ), q q ( x0 , x1 .. xk ). Вектор концентраций формируется после вычисления xe. Поэтому для вычисления Gq, ∆φq, δφq в процессе вычисления xe требуется вектор псевдоконцентраций, вычисляемый по вектору концентраций с предыдущей большой итерации 1 x ( xe ) xi xe mxm , 1 i k ; m 1 k ' i k x ( xe ) 1 xm' . ' 0 m 1 Gq ( xe ) Gq ( x0' , x1' ... xk' ), q ( xe ) q ( x0' , x1' .. xk' ), q ( xe ) q ( x0' , x1' .. xk' ). 22 Расчет термодинамических функций Расчет давления: F P Pe Pi P P , V T Pe 2 2 5/ 2 t I , 3/ 2 2 3 t F P , V T Pi T , V J zj ln G jq . V T P T x jq j 1 q 1 Расчет энергии: (F / T ) E T 2 Ee E i E E E , T V Ee 5/ 2 t VI 3/ 2 , E i 1.5T , 2 t 2 J zj q E x jq js , j 1 q 1 s 1 J zj ln G jq ( F / T ) 2 E T , E T x . jq T V j 1 q 1 T V 2 23 Расчет термодинамических функций Расчет энтропии: z VGiq M iT 3 / 2 5 J j F Si 2 x jq ln x 2 S i S , T V j 1 q 1 iq 2 3/ 2 5 F Se t V I I S e , 3/ 2 1/ 2 2 t V t t t 3 F F S i , S , e T V t V J zj ln G jq . T V S T x jq j 1 q 1 Значения и I3 / 2 t рассчитываются по I1/ 2 t с помощью специальных аппроксимаций. Таблицы рассчитываются при фиксированной температуре от 24 меньшей плотности к большей. Модели неидеальности плазмы 25 Самосогласованные модели неидеальности плазмы 1. Точное (!) соблюдение основных термодинамических соотношений для модельных поправок. 2. Согласование способа обрезания статистических сумм с поправками на неидеальность плазмы. 3. Модельные поправки строго выводится из выражения для свободной энергии. 26 Предшествующие модели неидеальности 1. Дебай в малом каноническом анасамбле (МДХ, Тиман). 2. Дебай в большом каноническом ансамбле (БДХ, Ликальтер). 3. Модель Планка-Ларкина. 4. Ячеечная модель ОЭГ (Калиткин). 5. Интерполяционная дебаевская модель (МКП, Калиткин). 6. Модель мягкой щели (Норман). 7. Микрополевая модель Волокитина-Голосного-Калиткина 8. Микрополевая модель Калиткина-Павлова 9. … 27 Микрополевые модели неидеальности 1. Статистические суммы обрезаются плазменным микрополем (первым предложил Севастьяненко, 1980). 2. В выражение для свободной энергии вставляется микрополевая поправка, согласованная со способом обрезания статистических сумм. 3. Поправки к термодинамическим функциям строго выводятся дифференцированием выражения для свободной энергии. Развитие микрополевой модели неидеальности Модель ВГК Калиткин-Павлов Модель QUIP 28 Модель неидеальности QUIP 1. Обрезание статистических сумм с помощью микрополя QUIP. 2. Поправка к энергии, которая следует из этой модели микрополя 1 z 10 z E 2 . R 9 RT 3. Поправка к свободной энергии ∆F получается интегрированием ∆E 2 h 2 h 2 z T 9 F T E / T 2 dT ln(1 ), h . 2 5 RT 4. Поправки к остальным термодинамическим функциям получаем дифференцированием ∆F. 29 Модель неидеальности QUIP 1. Поправка к давлению F E 3 T 9 P 1 V 3V 10 V 5 1 2. Поправка к энтропии S E F / T 3. Сдвиг потенциала 6 1/ 2 3 / 2 5 3/ 2 k zh k ( k 1) 1 5R 5 9Г 30 Поправки, связанные с обрезанием статистических сумм Em ' Общая часть C T xm E0 m 20 27 C 1. Поправка к давлению P 30 54 V 3 E C 2. Поправка к энергии 10 18 1 E T 10 k 3 / 2 ( k 1) 3 / 2 1 k C 3/ 2 15 27 zh 3. Поправка к энтропии S 4. Сдвиг потенциала 31 32 Диапазон значений от 0.92 до 1.08 33 34 Диапазон значений от 0.95 до 1.44 35 Основные результаты 1. Построена модель плазменного микрополя по диапазону применимости и качеству поведения превосходящая мировой уровень. Модель описывается несложными формулами и пригодна для проведения массовых расчетов. 2. Найдено точное выражение для обрезания статистических сумм атомов и ионов. 3. Построена модель неидеальности плазмы, в которой отсутствуют нефизичные эффекты, существовавшие в предшествующих моделях. 4. Построен быстрый и надежный алгоритм расчета состава и термодинамики плазмы. Создана его программная реализация. 36