L_16

Группы вращений молекул
c
a
d
Равносторонняя трехгранная призма
b
Операции вращения
С2a, С2b, С2c – вращение на p радиан вокруг осей a, b и c
С3d – вращение на 2p/3 по часовой стрелке вокруг оси d
C3d2 - вращение на 4p/3 по часовой стрелке вокруг оси d
a, b и c – оси вращения второго порядка
d – ось вращения третьего порядка
Группы вращений молекул
Группа вращения призмы
2
D3 = { E, С2a, С2b, С2c, С3d, C3d
}
E – операция тождественного преобразования
Таблица умножения элементов группы D3
E
С2a
С2b
С2с
С3d
E
E
С2a
С2b
С3d
С2a
С2a
С3d
С2b
С2с
С2b
С2b
E
C3d2
С2с
C3d2
C3d2
C3d2
С3d
С2с
С2a
С2с
С2с
С3d
E
C3d2
E
С2b
С3d
C3d2
С3d
C3d2
С2с
С2a
С2b
С2a
C3d2
С2b
С2с
С2a
E
С3d
E
Умножение двух элементов группы – последовательное их
применение к объекту
Группы вращений молекул
Пример реализации операции произведения элементов группы вращения
2
C3d
 C 2a  C 2b
1
c
a
2
b
+d
3
a
1
a
-d
2
C2a
3
b
2
C3d
-d
1
c
c
C 2b
2
3
b
Группы вращений молекул
Классификация групп вращений
Сn – одна n-кратная ось вращения (пирамида с квадратным основанием)
Dn – одна n-кратная ось вращения и n осей вращения второго порядка,
перпендикулярных к n-кратной оси вращения
Т - группа вращений правильного тэтраэдра
О - группа вращений куба
I – группа вращений икосаэдра
Группа трехмерных чистых вращений – группа, имеющая бесконечное
число осей вращения, проходящих церез центр массы объекта
(непрерывная группа)
Группы вращений молекул
Для определения операции вращения вокруг определенной оси для групп
трехмерных чистых вращений необходимо задать направление вращения
относительно неподвижной лабораторной системы координат
Группы трехмерных чистых вращений
K  - группа вращений сферы
C  - группа вращений конуса
D - группа вращений цилиндра
Классификация молекулярных групп вращений
K - классификация состояний молекул типа сферического волчка
D- классификация состояний молекул типа симметричного волчка
D 2 - классификация состояний всех остальных молекул
Точечные группы
d
d – ось вращения третьего порядка
ab, bd и cd – плоскости отражения
Операции отражения - отражение пирамиды
в плоскостях, оставляющих пирамиду в
эквивалентном пространственном положении
b
c
a
Точка, соответствующая центру масс, является
общей точкой как для осей вращения, так и для
плоскостей отражения
Точечная группа состоит из всех операций вращения, отражения объекта,
всех возможных произведений этих операций и операции тождественного
преобразования
2
Точечная группа пирамиды C3v = { E, С3d, C3d , sad, sbd, scd}
Точечные группы
Классификация точечных групп
Cn – одна ось вращения n-го порядка
Cnv – одна ось вращения n-го порядка и n плоскостей отражения,
которые содержат эту ось
Cnh – одна ось вращения n-го порядка и одна плоскость отражения,
перпендикулярная этой оси
Dn – одна ось вращения n-го порядка и n осей второго порядка,
которые перпендикулярны к ней
Dnd – то же, что и Dn, плюс n плоскостей отражения, которые содержат
оси вращения n-го порядка и проходят через биссектрисы углов между
n осями второго порядка
Dnh – то же, что и Dn, плюс плоскость отражения, перпендикулярная оси
вращения n-го порядка
Точечные группы
Классификация точечных групп
Sn – одна зеркально-поворотная ось симметрии n-го порядка
Зеркально-поворотной осью называется ось, после поворота вокруг
которой на угол 2p/n радиан производится операция отражения в
плоскости, перпендикулярной этой оси
Для правильного тетраэдра, куба, икосаэдра и сферы вводятся
соответственного точечные группы Td, Oh, Ih и Kh.
H
H
C
C
H
H
Молекула этилена
Три оси вращения второго порядка:
- ось z вдоль связи C-C
- ось y, которая перпендикулярна оси z
и лежит в плоскости молекулы
-ось x, перпендикулярная рсям z и y.
Плоскости xy, yz и xz являются
плоскостями отражения.
Вследствие этого молекуля этилена
принадлежит к точечной группе
D2h = {E, C2x, C2y, C2z, sxy, sxz, syz}.
Точечные группы
Молекула CH3F
F
H1
Ядра H1, C и F лежат в плоскости рисунка
Ядро H2 расположено выше плоскости рисунка
C
H3
Ядро H3 – за плоскостью рисунка
H2
Ось вдоль связи С - F является осью вращения
третьего порядка, три плоскости, в которых
расположены связи H-C-F, являются плоскостями
отражения. Поэтому точечной группой для данной
молекулы является группа C3v.
Cs – молекула HDO
C2h – молекула транс- С(HF)C(HF)
D2d – молекула CH2CCH2
D3d – молекула CH3CH3
D6h – молекула C6H6
Td – молекула CH4
Ih – молекула C60
C2v – молекула H2O
C∞v – молекула HCN
D2h – молекула CH2CH2
D3h – молекула BF3
D∞h – молекула CO2
Oh – молекула SF6
Точечные группы
Примеры точечных групп молекул
C2v – молекула H2O
C2h – молекула транс- С(HF)C(HF)
b
H
F
b
a
C
O
+c
H
a
H
F
+c
C
H
Точечные группы
Примеры точечных групп молекул
D6h – молекула C6H6
D3h – молекула BF3
H
F
C
H
C
a
F
B
b
+c
H
a
+c
C
b
F
H
C
C
C
H
H
Точечные группы
Примеры точечных групп молекул
Td – молекула CH4
Oh – молекула SF6
H
F
F
S
F
С
F
H
F
H
H
F