Явления переноса Средняя длина свободного пробега

Явления переноса
Средняя длина свободного
пробега
λi
Считаем, что все
молекулы, кроме одной,
неподвижны.
Взаимодействие молекул
происходит в результате
удара. Следовательно,
центр «подвижной»
молекулы будет
двигаться по ломаной
линии.
От удара до удара будет прямая линия, длина
которой называется длина свободного пробега λi.



i
z
 средняя длина свободного пробега,
z – число столкновений.
λi
σ
Молекула на своём пути
будет сталкиваться со
всеми молекулами,
расстояние между
центрами которых и
центром движущейся
молекулы ≤ d,
d= R
d = r1 + r2= R ;
r1 – радиус движущейся
молекулы,
r2 – радиус покоящейся
молекулы.
r1
r2
Если r1 = r2, то 2r = d – диаметр
молекулы, т.е. столкновения между
двумя молекулами будут происходить,
если центры неподвижных молекул
окажутся внутри объёма с площадью
2
сечения S    d
,
длиной l = λi и радиуса d.
σ – полное поперечное сечение
рассеяния.
Выпрямим ломаную траекторию движения
молекулы в прямую. В этом случае z равно
числу молекул в объёме с длиной l, равной
пути, пройденному движущейся молекулой за
время t, например, за единицу времени (в 1сек).
z  N  nV  n  v t  nd v t ,(1)
2
1сек
n – концентрация молекул.
i  vi ti ;



z
 i  v
t .
1сек
i
v
t
1
1

  2  .(2)
2
nd v t d n n
Более точный расчёт даёт формулу:
1

.(3)
2
2d n
p
p  nkT  n 
.(4)
kT
kT
kT


.
2
2d p
2p
При T = const
1
~ .
p
Газ при нормальных условиях:
Т = 300 К, р ≈ 106 дин/см2, 1 дин = г∙см/с2,
d ~ 2∙10-8 см, σ ~ 12∙10-16 см2
   2  10 м, l  d ,
5
газ достаточно разряжен.
Общие сведения о явлениях переноса
1. Диффузия.
2. Внутреннее трение.
3. Теплопроводность.
Диффузия – явление проникновения двух или
нескольких соприкасающихся веществ друг в
друга.
При этом переносится масса (концентрация).
Внутреннее трение – свойство, благодаря
которому выравниваются скорости
направленного движения двух
соприкасающихся слоёв.
Переносится импульс (вязкость).
Теплопроводность – перенос энергии от более
нагретых областей к менее нагретым.
Перенос энергии.
Внутренний механизм всех явлений
переноса один и тот же. В результате
столкновений молекул происходит
выравнивание характеристик.
Единый механизм явлений переноса
приводит к тому, что все явления
описываются аналогичными законами.
n
Диффузия – закон Фика: J   D
,
x
J – удельный поток концентрации,
D – коэффициент диффузии,
n
 градиент концентрации.
x
Градиент функции характеризует
скорость изменения функции и всегда
направлен в сторону возрастания
функции. Перенос происходит в сторону
уменьшения функции. Следовательно, в
формуле присутствует знак минус.
Внутреннее трение – уравнение Ньютона:
v
g p   ,
x
gp – удельный поток импульса,
η – динамическая вязкость, вязкость газа,
v
 градиент скорости.
x
Теплопроводность – уравнение Фурье:
T
g  
,
x
g– удельный поток тепла,
γ – удельная теплопроводность вещества,
Т
 градиент температуры.
x
Диффузия газа
∆S – площадка.
n
1
N   n1v St (1) 
6
n2
∆S
n1
∆N
0
∆N
+
x–λ
x
∆ x= 2λ
x+ λ
x
–
число молекул,
прошедших через
площадку ∆S за время
∆t в положительном
направлении.
1
N   n2 v St . (2)
6
1
N  N   N   n1  n2 v St.(3)
6
n
n2
Диффузия газа
∆S
 2
1 
N  n1  n2 v
St ;( 4 ) n2  n1 .
6    2
 n 
На расстоянии x  2 концентрация меняется на
n1
∆N
0
∆N
+
x–λ
x
x+ λ
∆ x= 2λ
n  n2  n1 :
n n

.(5)
2 x
Удельный поток молекул – число молекул,
прошедших через единичную площадку,
расположенную перпендикулярно
N
направлению оси x, за единицу t: J 
1
J   2 .
мс
St
.(6)
x
–
(4), (5),(6)
1
n
J   v
.(7)
3
x

D
2

1
м 
м
Коэффициент диффузии: D  v  ,   м 
.

3
с 
с
 2 1 3

n  м м
1 
J  D ,
 2 .
x  с м
м с


kT

.  Уравнение (7). 
2p
1
D~
при T  const.
p
Вакуум – состояние газа, при котором
средняя длина свободного пробега
превышает размеры сосуда.
Взаимодействие молекул и
агрегатные состояния
В модели идеального газа, используемой в
молекулярно-кинетической теории газов,
пренебрегается размерами молекул и их
взаимодействием друг с другом.
Следовательно, молекулярно-кинетическая
теория позволяет описывать поведение
разряженных реальных газов при достаточно
высоких Т и низких р.
С ростом р среднее расстояние между
молекулами уменьшается и необходимо
учитывать взаимодействие молекул.
Молекула в целом электронейтральна: q+ = q– .
Есть полярные и неполярные молекулы.
• У полярных молекул (Н2О, SO2, CO) «центры
тяжести» положительных и отрицательных
зарядов не совпадают, и образуется диполь.


  ri  qi    ri  qi 
r 
; r 
.
 qi 
 qi 
Диполь характеризуется
дипольным моментом:
l
–q
+q


p  ql .
+
–
+
F
F
пр
от
–
Между полярными
молекулами
действуют
ориентационные
силы, т.к. силы
притяжения
зависят от их
взаимной
ориентации.
• Индукционные (поляризационные) силы
действуют между полярными и
неполярными молекулами (N2, H2, O2,
CO2), а также между полярными
молекулами.
Полярная молекула своим электрическим
полем поляризует неполярную
молекулу, т.е. превращает её в диполь.
F
0
F от
F r0
Радиус молекулы ~ 10-10 м.
При сближении молекул на
расстояние меньше 10-9 м
необходимо учитывать
-9
10
силы межмолекулярного
r , м взаимодействия. Это
короткодействующие силы.
F п р При малых расстояниях электронные
оболочки отталкиваются друг от друга.
Причём силы отталкивания Fот растут быстрее,
чем силы притяжения Fпр. Следовательно,
результирующая сила F имеет вид, приведённый
на рис.
F
F
F
от
10
r0
0
r,
F
E
пр
p
0
E
-9
m in
r0
r,
На расстоянии r = r0
результирующая сила F = 0,
т.е. силы Fот и Fпр
уравновешивают друг друга
и система находится в
м состоянии устойчивого
равновесия, которому
соответствует минимум
потенциальной энергии
Ep = Emin.
Расстояние r0 соответствует
равновесному расстоянию
между молекулами, на
м котором они находились бы
в отсутствии теплового
движения.
Если расстояние между молекулами большое
r → ∞, межмолекулярные силы
взаимодействия F → 0, Ep = 0.
Расстояние r уменьшается, возникают силы
притяжения между молекулами F < 0.
Совершаемая ими работа


dA  Fdr  0, F  0, dr  0, т.к.dr  r .
Работа совершатся за счёт уменьшения
потенциальной энергии: dA  dE 
p
потенциальная энергия уменьшается, т.к. dA > 0.
Ep
0
Emin
r0
r, м
При
r  r0 E p  0.
r < r0 резко возрастает Fот и F > 0:
dA  Fdr  0 
потенциальная энергия увеличивается.
Критерием различных агрегатных
состояний вещества является
соотношение между kT и Emin.
Emin определяет работу, которую нужно
совершить против сил притяжения для
того, чтобы разделить молекулу.
kT  2E, Е – средняя энергия
хаотического движения молекул,
приходящаяся на 1 степень свободы.
kT  E min  газообразное состояние, т.к.
тепловое движение молекул
значительное и не даёт молекулам
сблизиться до r0.
kT  E min  твёрдое состояние, молекулы
притягиваются друг к другу и
колеблются около положения
равновесия при r = r0, «дальний
порядок».
kT ~ Emin  жидкое состояние, в
результате теплового движения
молекулы перемещаются в
пространстве, обмениваются местами,
но не расходятся на расстояние r > r0,
«ближний порядок».
Реальные газы
Реальные газы описываются уравнением
Ван-дер-Ваальса:
 a

 p  2   V  b   RT ,
V 

2
a, b – постоянные, для каждого газа
определяются экспериментально.