МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3 Основные темы • • Тестирование гипотез об однородности выборок

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3
•Основные темы
• Тестирование гипотез об однородности выборок
• Элементы теории корреляции
• Однофакторный дисперсионный анализ
Критерии однородности выборок
Критерий Бартлетта
Пример
Элементы теории корреляции
Зависимость величины Y от X называется функциональной, если каждому значению величины X соответствует единственное значение величины Y.
Зависимость величины Y от X называется статистической (вероятностной, стохастической),
если каждому значению величины X соответствует не
одно, а множество значений величины Y, причём
сказать заранее, какое именно значение примет
величина Y невозможно.
Среднее значение, которое принимает величина Y при
X= x, называется математическим ожиданием случайной величины Y, вычисленным при условии, что X= x,
или условным математическим ожиданием:
М(Y|X=x)
Если при изменении x условные математические
ожидания М(Y|X=x) изменяются, то говорят, что имеет
место корреляционная зависимость величины Y от X.
При этом функцию f (x)=М(Y|X=x) называют функцией
регрессии.
f (x)=М(Y|X=x) – ?
f (x)=М(Y|X=x) – ?
Условным средним y x называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих
X=x.
Условное среднее является оценкой условного математического ожидания: М(Y|X=x)  y x
Каждому x соответствует своё значение y x , следовательно, y x – есть функция от x:
y x  f * ( x)
это уравнение называется выборочным уравнением
регрессии, а функция f*(x) – выборочной функцией
регрессии.
f ( x)  f * ( x)
f (x)=М(Y|X=x) – ?
Если функция регрессии – линейная:
f (x) = М(Y|X=x) = ax+b,
то выборочное уравнение регрессии имеет вид:
 n xy xy  nx y
Y
x, y
– выборочy x  y  rв
( x  x ) , где rв 
X
n X  Y
ный коэффициент корреляции
x, y – выборочные средние
 X , Y – выборочные средние квадратические отклонения
nxy – частота пары вариант (x, y)
Корреляционная таблица
X
10
20
30
40
nY
0.4
5
–
7
14
26
0.6
–
2
6
4
12
0.8
3
19
–
–
22
nX
8
21
13
18
n=60
Y
Критерий Спирмена
Критерий Спирмена
Однофакторный дисперсионный анализ (ДА)
Пример: выявить зависимость объёма выполненных
на стройке работ за смену от работающей бригады.
Номер бригады
Номер наблюдения
1
2
3
4
5
6
Средний объём
1
2
3
4
20
25
22
24
30
23
24
27
31
22
32
18
19
29
26
28
28
24
23
23
21
20
26
25
23
X – случайная величина
F – фактор, воздействующий на случайную величину X
F1, F2, …, Fp – уровни фактора
a1, a2, …, ap – математические ожидания на уровнях
F1, F2, …, Fp соответственно
H0: a1 = a2 = … = ap
Дисперсионным анализом называется статистический
метод, предназначенный для выявления влияния
отдельных факторов на результат эксперимента, а
также для последующего планирования эксперимента.
Критерий Бартлетта в приложении к ДА
H0: D1(X) = D2(X) = … = Dp(X)
гипотеза о равенстве дисперсий на каждом уровне
q1, q2, …, qp – количество наблюдений на уровнях
F1, F2, …, Fp соответственно
s12, s22, …, sp2 – исправленные выборочные дисперсии
на уровнях F1, F2, …, Fp соответственно
p
s02 

( qi  1) si2
i 1
p
 ( qi  1)
i 1
,




p



1
1
1


Q  1 
 p




 3( p  1)  i 1 qi  1


(
q

1
)

i




i 1



1
Критерий:
2

s
  Q    ( qi  1)  ln 02 
si 
i 1 
p
Если q1, q2, …, qp > 3, то критерий имеет распределение,
близкое к распределению Пирсона с (p-1) степенями
свободы.
Критическая область – правосторонняя.
p ( W )  p(   кр )   
F ( кр )  1  
p(   кр )  1  
p(   кр )  F ( кр )
  кр  F 1 (1   ) ,
где F(x) – функция распределения
Пирсона с (p–1) степенями свободы.
Уровень фактора F
Номер наблюдения
1
F1
F2
…
Fp
x11
x12
…
x1p
2
x21
x22
…
x2p
…
Число наблюдений
q1
q2
…
qp
Среднее значение
y1
y2
…
yp
H0: a1 = a2 = … = ap
Объём выборки: n = q1+ q2+…+ qp
Уровень фактора F
Номер наблюдения
1
F1
F2
…
Fp
x11
x12
…
x1p
2
x21
x22
…
x2p
…
Число наблюдений
q1
q2
…
qp
Среднее значение
y1
y2
…
yp
1-ая группа – уровень F1: x11, x21, … , xq11
2-ая группа – уровень F2: x21, x22, … , xq 2
2
…
p-ая группа – уровень Fp: x1p, x2p, … , xq p p
Dв= Dмежгр+Dвнгр
1-ая группа – уровень F1: x11, x21, … , xq11
2-ая группа – уровень F2: x21, x22, … , xq 2
2
…
p-ая группа – уровень Fp: x1p, x2p, … , xq p p
p
1.
Dмежгр=
2
q
(
y

x
)
i i в
i 1
n
Факторная сумма:
p
Sфакт =
2
q
(
y

x
)
i i в
i 1
p
2.
Dвнгр=
 qi Di г р
i 1
n
, где Diгр – дисперсия i–той группы
i-тая группа: x1i, x2i, … , x qii , групповая средняя: yi
qi
2
(
x

y
)
 ji i
Diгр=
qi
 qi

 ( x  y )2 / q 
q
 i   ji i i 
i 1  j 1
 

n
p
p
Dвнгр=
j 1
 qi Di г р
i 1
n
p qi
p qi
2
(
x

y
)
 ji i
i 1 j 1
Остаточная сумма: Sост =  ( x ji  yi ) 2
i 1 j 1
n
Факторная дисперсия:
Остаточная дисперсия:
2
sфакт
2
sост

Sфакт
p 1
Sост

n p
2
D( x )  sост
– всегда
2
D( x )  sфакт
– если несущественно влияние фактора
H0: a1 = a2 = … = ap
2
2
H 0 : Sост
 S факт
2
2
H 0 : Sост
 S факт
Критерий: F 
2
sфакт
2
sост
имеет распределение Фишера с
(p–1) и (n–p) степенями свободы
2
2
H1 : S факт
 Sост
Критическая область W – правосторонняя:
0
fпр,кр
Из требования 1 для критической области:
p( F W )    p( F  f пр ,кр )  

f пр ,кр  F 1 (1   )
F(x) – функция распределения Фишера с (p–1) и (n –p)
степенями свободы