Нелинейные краевые задачи

Фадеев С.И.
Лекции по спец. курсу
Нелинейные краевые задачи
для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений на
конечном отрезке.
1
ВВЕДЕНИЕ
Нелинейные эффекты,
моделируемые нелинейными
краевыми задачами
2
ТЕМА 1.
Формулировки нелинейных
краевых задач. О проблемах их
численного анализа
3
Формулировка нелинейной краевой
задачи для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
4
Формулировка нелинейной краевой
задачи для дифференциального уравнения
высокого порядка
5
Исследование нелинейной краевой задачи
как вычислительный эксперимент
6
О численных методах исследования
краевых задач
7
Геометрическая интерпретация решения
краевой задачи в зависимости от параметра



Формулировка
краевой задачи с
параметром q.
Система уравнений:
0<=x<=1,
dy/dx = u,
du/dx = - q/(1-y)^2.
Краевые условия:
u(o) = y(1) = 0.
При 0< q < .35 краевая
задача имеет два
решения. При q > .35
решений нет.
График гладкой поверхности S в пространстве (x, y, q),
состоящей из графиков решений краевой задачи.
8
Исследование предельных циклов
как краевая задача
9
ТЕМА 2.
Иллюстрации
нелинейных эффектов
на примерах, имеющих
точное решение.
10
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОКОЕ РЕЛЕ
Простейшая модель
Уравнение движения:
Обозначения:
11
Уравнение движения
12
Множественность стационарных
решений
13
Устойчивость стационарных решений
14
Параметры гистерезиса
15
Диаграмма стационарных решений
При q < qMAX – два решения: асимптотически устойчивое (yS < 1/3), и неустойчивое
(уC>1/3).
При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = 1/3). При q > qMAX
стационарные решения не существуют.
16
2. МОДЕЛЬ ПЛЕНОЧНОГО
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО РЕЛЕ
17
Формулы точного решения
краевой задачи
18
Графики решений краевой задачи
в зависимости от параметра
Соответствие графика функции y(x) и соответствующего
значения параметра q осуществляется по значению y(0).
19
Диаграмма стационарных решений.
График зависимости q = q(y0), y0 = y(0).
При q < qMAX – два решения: асимптотически устойчивое (yS < .3883), и неустойчивое
(уC>.3883). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = .3883). При q > qMAX
стационарные решения не существуют.
20
Устойчивость стационарных решений.
Физическая интерпретация диаграммы.
21
3. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА
Плоский сосуд
22
Графики решений краевой задачи
в зависимости от параметра
Соответствие графика функции y(x) и соответствующего
значения параметра q осуществляется по значению y(0).
23
Диаграмма стационарных решений
Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.
24
Физическая интерпретация диаграммы
стационарных решений
25
4. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА
Цилиндрический сосуд
26
Графики решений краевой задачи
в зависимости от параметра
Соответствие графика функции y(x) и соответствующего
значения параметра q осуществляется по значению y(0).
27
Диаграмма стационарных решений
Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.
28
5. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА
Модифицированная постановка задачи
29
Диаграмма стационарных решений
Множественность
стационарных решений
в областях изменения
параметра q, границы
которых определяются
значениями q в точках
поворота, где q = .877
и q = 1.162 :
при 0 < q < .877 - 1 решение;
при .877 < q < 1.162 - 3 решения;
при q > 1.162 – 1 решение.
Три стационарных решения
при q=1. На рисунке y0 = y(0).
30
Гистерезис и устойчивость
Устойчивость стационарных
решений при движении с
ростом y0 по диаграмме:
0 < q < 1.162 , 0 < y0 < 2.354 1.162 > q > .877, 2.354 < y0 < 15.41 асимптотичекая устойчивость;
неустойчивость;
q > .877, y0 > 15.41 асимптотическая устойчивость.
Значения q в точках поворота
являются параметрами гистерезиса.
31
Описание параметров
гистерезиса.
32
РАЗДЕЛ 1
Линейные
краевые задачи
33
ТЕМА 1.
Существование и единственность
решения линейной краевой задачи.
Интегральное представление
решения.
34
Существование и единственность
решения.
35
Интегральное представление
решения
*)Заметим, что разрешимость краевой задачи не зависит от выбора Ф.М.Р.
36
Матричные функции Грина
37
Матричные функции Грина
(продолжение)
38
ТЕМА 2.
Частные случаи задания
краевых условий
39
1.Задача Коши как частный
случай краевой задачи.
40
2. Разделенные краевые условия
41
Краевые условия периодичности
42
Краевые условия периодичности
(продолжение 1)
43
Краевые условия периодичности
(продолжение 2)
44
ТЕМА 3.
Краевая задача для линейного
дифференциального уравнения
высокого порядка
45
Эквивалентные формулировки
краевой задачи
46
Эквивалентные формулировки
краевой задачи
(продолжение)
47
Условия, определяющие
функции Грина.
48
Условия, определяющие
функции Грина.
(продолжение 1)
49
Условия, определяющие
функции Грина.
(продолжение 2)
Замечание. Рассмотрение частных случаев задания краевых условий (14)
по аналогии с Темой 2 предоставляется читателю.
50
ТЕМА 4.
Функция Грина и примеры
представления нелинейной краевой
задачи в виде нелинейного
интегрального уравнения.
51
Формулировка
нелинейного интегрального уравнения.
52
Пример1. Нелинейное интегральное уравнение
модели пленочного электростатического реле
53
Пример 2. Нелинейное интегральное уравнение
модели теплового взрыва.
54
Пример 3. Нелинейное интегральное уравнение
модели пленочного электростатического реле
с учетом жесткости подвижного электрода.
55
ТЕМА 5.
Непрерывная зависимость
решения краевой задачи
56
Теорема 1.
О разрешимости возмущенной краевой задачи.
57
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 1).
Непрерывная зависимость решения
краевой задачи.Доказательство Теоремы
1(продолжение 1)
58
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 2).
59
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 3).
60
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 4).
61
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 5).
62
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 6).
63
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 7).
64
Доказательство Теоремы 1 (продолжение 8).
65
Теорема 2
О непрерывной зависимости решения краевой задачи
66
Доказательство Теоремы 2
(завершение)
67
РАЗДЕЛ 2
Численные методы
решения краевых задач
68
ТЕМА 1.
О численном решении
линейных краевых задач.
69
Метод «стрельбы».
70
Метод «стрельбы» (продолжение).
71
Метод «стрельбы». Пример «сплющивания»
базисных решений.
72
Метод «стрельбы». Пример «сплющивания»
базисных решений (продолжение).
73
Метод «множественной стрельбы»
(метод ортогональных прогонок).
74
Метод «множественной стрельбы»
Прямой ход прогонки
75
Метод «множественной стрельбы»
Обратный ход прогонки
76
ТЕМА 2.
О численном решении
нелинейных краевых
задач.
77
Метод Ньютона (метод квазилинеаризации).
Хорошая обусловленность нелинейной краевой задачи.
78
Хорошая обусловленность нелинейной
краевой задачи(продолжение)
79
Понятие ОМЕГА-окрестности решения.
80
Теорема о сходимости метода Ньютона
81
Доказательство Теоремы о сходимости
82
Доказательство Теоремы о сходимости
(продолжение 1)
83
Доказательство Теоремы о сходимости
(продолжение 2)
84
Доказательство Теоремы о сходимости
(продолжение 3)
85
Доказательство Теоремы о сходимости
(продолжение 4)
86
ТЕМА 3.
Метод множественной стрельбы
для численного решения
нелинейной краевой задачи.
87
Метод стрельбы
88
Метод множественной стрельбы
89
Метод множественной стрельбы
(продолжение 1)
90
Метод множественной стрельбы
(продолжение 2)
91
ТЕМА 4.
Метод Ньютона
для численного решения систем
нелинейных уравнений
92
Теорема о сходимости метода Ньютона
для численного решения систем
нелинейных уравнений
93
Доказательство леммы
94
Доказательство теоремы
Изложение метода Ньютона для решениия систем нелинейных уравнений замыкает
описание метода множественной стрельбы для решения нелинейной краевой залачи
95
Замечание к методу Ньютона
96
РАЗДЕЛ 3
Численное исследование
систем нелинейных уравнений
Метод продолжения решения
по параметру
97
Общее положение
98
ТЕМА 1.
Метод продолжения по параметру,
основанный на параметризации.
99
Теорема о неявной функции
100
Равноправие аргументов
101
Решение системы нелинейных
уравнений как задача Коши
102
Решение системы нелинейных
уравнений как задача Коши
(продолжение)
103
Пример пространственной кривой S,
определяемой из системы 2-х уравнений с параметром q
Система уравнений :
3x1 – x2 - 4 = 0
4sin(x1-2)-q+10 = 0
где q – параметр,
6 <= q <= 10
Графики проекций пространственной кривой S
иллюстрируют множественность решений
104
Параметризация
105
Параметризация
(продолжение)
106
Задание
начального приближения
107
Адаптация шага
по текущему параметру
108
Завершение процесса
продолжения по параметру
109
Пример применения метода
продолжения по параметру
Графики компонент системы
Система уравнений :
3x1 – x2 - 4 = 0
4sin(x1-2)-q+10 = 0
где q – параметр,
6 <= q <= 10
110
Продолжение решения по параметру
как численный эксперимент
111
ТЕМА 2.
Продолжение решения
системы нелинейных
уравнений как задача Коши.
112
Задача Коши с использованием
параметризации
113
Метод Кубичека
114
Метод Кубичека
(продолжение)
115
Схема вычислений
по методу Кубичека
116
Замечание к использованию
задачи Коши в методе
продолжения по параметру.
117
РАЗДЕЛ 4
Численное исследование
нелинейных краевых задач.
Метод продолжения решения
по параметру
118
ТЕМА 1.
Продолжение решения
по параметру в методе
множественной cтрельбы
119
Линейная краевая задача, определяющая
производную решения по параметру.
120
Система нелинейных уравнений относительно
сеточных значений решения нелинейной
краевой задачи
121
Серия задач Коши,
необходимая для организации продолжения
решения по параметру
122
Серия задач Коши,
необходимая для организации продолжения
решения по параметру (продолжение 1).
123
Серия задач Коши,
необходимая для организации продолжения
решения по параметру (продолжение 2).
124
Серия задач Коши,
необходимая для организации продолжения
решения по параметру (продолжение 3).
125
Завершение описания алгоритма
продолжения решения по параметру
126
ТЕМА 2.
Дискретная модель
нелинейной краевой задачи,
основанная на сплайнколлокации.
127
Определение сплайна
128
Условие коллокации
129
Дискретная модель
нелинейной краевой задачи
130
Матрица производных
131
Замечания
132
ТЕМА 3.
Адаптация сетки
133
Определение узлов сетки
в задаче интерполяции сплайном с
заданной точностью.
134
Условие определения узлов сетки в
дискретной модели краевой задачи.
135
Алгоритм адаптации сетки
136
Схема определения узлов сетки при
равномерном распределении погрешности
137
Определение параметров интерполяционного
эрмитова сплайна 5-ой степени.
138
Завершение описания адаптации сетки.
139
Заключение
140
ТЕМА 3.
Дискретнные модели
нелинейных интегральных
уравнений.
141
Формулировка нелинейного
интегрального уравнения
142
Интерполяционный
кубический сплайн
143
Определение параметров
сплайна.
144
Дискретная модель
интегрального уравнения
145
Вычисление коэффициентов
дискретной модели
146
ТЕМА 4.
Примеры численного исследования
нелинейных краевых задач
1. Модель пленочного электростатического реле
2. Модель каталитического реактора
3. Осцилятор Ван дер Поля.
147
1. Модель пленочного
электростатического реле.
148
Модель пленочного
электростатического реле.
(продолжение)
Рис.1. Первое решение краевой задачи при q = 2
149
Модель пленочного
электростатического реле.
(продолжение)
Рис.2. Второе решение краевой задачи при q = 2
150
Модель пленочного
электростатического реле
(продолжение)
Рис.3. Диаграмма множественности решений. График
зависимости y1(0) от параметра q.
151
2. Модель каталитического
реактора
152
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.4. Первое решение краевой задачи при q = 200
153
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.5. Второе решение краевой задачи при q = 200
154
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.6. Третье решение краевой задачи при q = 200
155
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.7. Четвертое решение краевой задачи при q = 200
156
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.8. Пятое решение краевой задачи при q = 200
157
Модель каталитического реактора
(продолжение)
Рис.9. Диаграмма множественности решений. Грaфики
зависимостей y1(1) и y3(1) от параметра q
158
3. Осцилятор Ван дер Поля
159
Осцилятор Ван дер Поля
(продолжение)
Рис.10. Предельный цикл при q = 5
160
Осцилятор Ван дер Поля
(продолжение)
Рис.11. Предельный цикл при q=15
161
Осцилятор Ван дер Поля
(продолжение)
Рис.12. Диаграмма множественности решений. Зависимость
амплитуды колебаний и периода от параметра q
162
ЛИТЕРАТУРА
163
ЛИТЕРАТУРА
164