ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ-2
3. Задачи, сводящиеся к решению
ДУ I порядка с разделяющимися
переменными.
Задача 1.
Найти уравнение линии, проходящей через
точку (1;3) и имеющей касательную,
угловой коэффициент которой равен 2х-3.
y
y  x 2  3x  5
(1;3)
0
x
Общее решение:
Частное решение:
y  x 2  3x  C
y  x 2  3x  5
Задача 2.
Материальная точка движется так, что
скорость её движения пропорциональна
пройденному пути. В начальный момент
точка находилась от начала отсчета на
расстоянии 1 м, а через 2 сек- на расстоянии
е м. Найти закон движения материальной
точки.
Задача 3.
Скорость размножения некоторых бактерий
пропорциональна
их
количеству
в
рассматриваемый момент времени t.
Количество бактерий утроилось в течение 5
часов. Найти зависимость количества
бактерий от времени.
Задача 4.
Скорость распада радия пропорциональна
его количеству в данный момент времени.
Найти закон радиоактивного распада, если
известно, что через 1600 лет останется
половина первоначального
количества
радия.
m
m  m0 e 0,00043t
m0
0
t
Задача 5.
Согласно закону Ньютона, скорость
охлаждения
тела
в
воздухе
пропорциональна
разности
между
температурой тела Т и температурой
воздуха Т0. Определить закон изменения
температуры тела в зависимости от
времени, если опыт проводится при
Т0=200С, причем тело за 20 мин охладилось
от 1000 до 600С.
Некоторые задачи
• Закон изменения массы радия в зависимости от
времени («радиоактивный распад») описывается
ДУ:
dm
 k  m
dt
где k>0 – коэффициент пропорциональности,
m(t) – масса радия в момент t.
• «закон охлаждения тел», то есть закон изменения
температуры тела в зависимости от времени,
описывается уравнением:
dT
 k  T  T0 
dt
где k>0 – коэффициент пропорциональности,
T(t) – температура тела в момент времени t,
T0- температура воздуха (среды охлаждения).
• «закон размножения бактерий» (зависимость
массы m бактерий от времени t) описывается
уравнением:
dm
dt
 k m
где k>0 – коэффициент пропорциональности.
• Зависимость массы x вещества, вступившего в
химическую реакцию, от времени t во многих
случаях описывается уравнением:
dx
 kx
dt
где k>0 – коэффициент пропорциональности.
• Закон изменения давления воздуха в зависимости
от высоты над уровнем моря описывается
уравнением:
dp
 k  p
dh
где k>0 – коэффициент пропорциональности,
p(h)- атмосферное давление воздуха на высоте h.