h(n)

Digital Signal Processing
Лекция 2
DSP
Дискретные сигналы и системы
•
•
•
•
•
•
DSP
Классификация сигналов и систем
Дискретные сигналы (последовательности)
Дискретные линейные системы с постоянными параметрами
Устойчивость и физическая реализуемость ДЛС
Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами
Представление дискретных сигналов и систем в частотной области
Дискретные сигналы и системы
y ( n) 

 x(k )h(n  k )  x(n) * h(n).
k  
(n)
ЛПП
система
DSP
h(n)
(1.7)
Дискретные сигналы и системы
Примеры свертки:
DSP
Дискретные сигналы и системы
Устойчивость и физическая реализуемость
• Устойчивой назовем систему, в которой каждый
ограниченный входной сигнал создает ограниченный
выходной сигнал. Линейная система с постоянными
параметрами устойчива тогда и только тогда, когда

(1.9)
S
h(k )  .

k  
• Достаточность. Если x(n) – ограничена, то есть |x(n)|<M и
(1.9) справедливо, тогда
y ( n) 



k  
k  
k  
 h(k ) x(n  k )   h(k ) x(n  k )  M  h(k )  .
Следовательно, y(n) ограниченная.
• Необходимость. Если S=, то для ограниченного входного
сигнала
 1, при h(n)  0;
x ( n)  
 1, при h(n)  0;
DSP
Дискретные сигналы и системы
• Необходимость (продолжение)
выходной сигнал при n=0 равен
y (0) 


k  
k  
 x ( k ) h(  k )  
h(  k ) 

 h(m) S .
m  
то есть y(0) – не ограничено.
• Физически реализуемая система – это система, у которой
изменения на выходе не опережают изменения на входе.
Поэтому отклик y(n0) зависит только от x(n) для nn0 Это
требует, чтобы h( n)  0,при n<0. Такую систему называют
еще каузальной (causal - причинный). Для нее
y ( n) 
n
 x(k )h(n  k ),
k  
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример.
Пусть ЛПП – система имеет импульсную характеристику
h(n)  a nu (n).
Поскольку h(n)  0, при n<0, система физически
реализуема.
Вычислим


S   | h ( k ) |   | a |k .
k  
k 0
Если | a | 1, бесконечная геометрическая прогрессия
имеет сумму
S
1
,
1 | a |
но, если | a | 1, ряд расходится. Следовательно, система
устойчива только при | a | 1.
h(n)
DSP
|a|<1 – система устойчивая
h(n)
|a|>1 – система неустойчивая
Дискретные сигналы и системы
Линейные разностные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Важную роль играет подкласс ЛПП – систем, для которых
вход x(n) и выход y(n) удовлетворяют линейному
разностному уравнению N-го порядка с постоянными
коэффициентами вида
N
M
 a ( k ) y ( n  k )   b( k ) x ( n  k )
k 0
(1.10)
k 0
Общепринято предполагать, что такое разностное
уравнение (1.10) характеризует физически реализуемую
систему, и мы будем придерживаться этого положения, хотя
в общем случае это не так.
Например, разностному уравнению 1-го порядка
y (n)  ay (n  1)  x(n)
при x(n)   (n) удовлетворяют как y(n)  a u (n),
n
так и y(n)  a u (n  1).
n
DSP
(1.11)
Дискретные сигналы и системы
Первое решение соответствует физически реализуемой
системе, второе нет.
Без добавочной информации разностное уравнение (1.10)
неоднозначно определяет соотношение между входом и
выходом.
Например, если уравнению (1.11) удовлетворяет y1(n) при
х(n) =х1(n), то ему также удовлетворяет решение вида
у(n)
= у1(n) +k an, где k - произвольная постоянная.
В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить
составляющую, удовлетворяющую однородному
разностному уравнению (с нулевой правой частью), и эта
сумма также будет удовлетворять (1.10).
Решение однородного уравнения
N
 a(k ) y(n  k )  0,
k 0
имеет вид y ( n) 
N
n
A
z
 k k , если zk – совокупность простых
k 1
корней характеристического уравнения
DSP
N
 a(k ) z
k 0
N k
 0.
Дискретные сигналы и системы
Константы Ak определяются начальными условиями. Для
кратных корней решение записывается иначе.
Для физически реализуемой системы разностное
уравнение можно переписать в виде
N
M
k 1
k 0
y (n)   (a(k ) / a(0)) y (n  k )   (b(k ) / a (0)) x(n  k ).
Таким образом, n-е значение выхода можно вычислить,
зная n-е значение входа и соответственно N и М прошлых
значений выхода и входа.
Как и в случае свертки, разностное уравнение не только
дает теоретическое описание системы, но может быть
основой для реализации системы.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример.
y (n)  ay (n  1)  x(n).
Положим х(n)=(n) при нулевых начальных условиях y(-1)=0.
Тогда решение y(n)=h(n) будет импульсной характеристикой:
h(n)  0; n  0;
h(0)  ah( 1)  1  1;
h(1)  ah(0)  a;
.
.
Таким образом
DSP
h(n)  ah( n  1)  a n .
h(n)  a nu (n).
Дискретные сигналы и системы
Пример получения разностного уравнения и его
решения из области денежных платежей.
Банк предоставил ссуду в размере 50000 долларов, которая
должна быть возвращена через 30 лет равными
ежемесячными взносами размером p долларов.
Выплачиваемый процент установлен на уровне 15% в год от
невозвращенной суммы. Каковы должны быть ежемесячные
платежи и общая возвращенная банку сумма денег?
Пусть Р(n) - неоплаченная часть ссуды, оставшаяся после
выплаты n-го ежемесячного взноса. Тогда будет иметь
место следующее соотношение (разностное уравнение):
P(n) = (1+r)P(n -1) – p, для n = 1, 2, 3, …, 360,
где r = 0,15/12 = 0,0125 – ежемесячная норма процента.
Первоначально Р(0) = 50000 и мы хотим найти значение p ,
при котором Р(360) = 0.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример (продолжение).
Запишем последовательные решения:
P(1)  (1  r ) P(0)  p;
P(2)  (1  r ) P(1)  p  (1  r ) 2 P(0)  p[1  (1  r )];
P(3)  (1  r ) 3 P(0)  p[1  (1  r )  (1  r ) 2 ];

(1  r ) n  1
P(n)  (1  r ) P(0)  p  (1  r )  (1  r ) P(0) 
p.
r
k 0
n 1
n
k
n
Из последнего соотношения, полагая Р(360) = 0, имеем
r (1  r ) 360
0,0125 *1,0125360
p
P(0) 
50000  632,22 долларов.
360
360
(1  r )  1
1,0125  1
Полная сумма возврата за ссуду составит величину
360*р = 227599,22 долларов.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Типы импульсных характеристик ЛПП систем.
ЛПП может иметь импульсную характеристику как конечной,
так и бесконечной длительности.
Будем называть системы с конечной импульсной
характеристикой - КИХ-системами, а системы с
бесконечной импульсной характеристикой - БИХ-системами.
Если в (1.10) положить N=0, так что
1 M
y ( n) 
b(k ) x(n  k ),

a ( 0) k  0
тогда оно совпадает со сверткой и соответствует КИХсистеме с импульсной характеристикой
 (b(n) / a(0)), n  0,1,..., M ;
h( n)  
0 - в остальных случаях.
DSP
Для БИХ-системы должно быть N>0.
Дискретные сигналы и системы
Представление дискретных сигналов и систем в
частотной области.
Особо важную роль для дискретных сигналов и систем
играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные
последовательности, поскольку в установившемся
состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал ЛППсистемы является синусоидой той же частоты с амплитудой
и фазой, определяемыми системой.
Пусть входная последовательность х(n) =ejn для -< n<.
Тогда выходной сигнал ЛПП-системы
y ( n) 

 h ( k )e
j ( n  k )
e
k  
Если ввести
H (e
j
j n

 jk
h
(
k
)
e
.

k  
)

 j k
h
(
k
)
e
,

(1.13)
k  
то
DSP
y(n)  H (e j )e jn .
(1.14)
Дискретные сигналы и системы
Частотная характеристика системы.
H(ej) называется частотной характеристикой системы, у
которой импульсная характеристика равна h(n).
e j n
ЛПП-система
e jn H (e j )
Рис. 1.12. Получение частотной характеристики системы
еjn – собственная функция ЛПП-системы.
В общем случае H(ej) - комплексная функция
H(ej) = HRe(ej)+j HIm(ej)= | H(ej) |ejarg[H(.)] .
| H(ej) |={[HRe(ej)]2+[HIm(ej)]2}1/2 – амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) системы
DSP
arg H(ej)=arctg { HIm(ej)/ HRe(ej)} - фазо-частотная
характеристика (ФЧХ) системы
Дискретные сигналы и системы
Частотная характеристика системы (продолжение).
Частотная характеристика также выражает отклик на
синусоидальный сигнал
x(n)  A cos( 0 n  )  ( A / 2)e j e j 0 n  ( A / 2)e  j e  j 0 n .
Отклик на
( A / 2)e j e j0n равен y1 (n)  H (e j )( A / 2)e j e j n .
0
Если h(n) - действительная функция, то отклик на сигнал
A
( ) e  j e  j 0 n
2
является комплексно-сопряженным с откликом y1(n):
A
y2 (n)  H (e  j 0 )( )e  j e  j 0 n .
2
Поэтому результирующий отклик
y (n)  ( A / 2)[ H (e j 0 )e j e j 0 n  H (e  j 0 )e  j e  j 0 n ] 
 ( A / 2) H (e j 0 ) [e j[ 0 n   ]  e  j[ 0 n    ] ] 
 Re{ H (e j 0 ) Ae j e j0 n }  A H (e j 0 ) cos( 0 n     ),
DSP
0
Дискретные сигналы и системы
Частотная характеристика системы (продолжение).
  arg[ H (e j )] - значение фазо-частотной характеристики
0
системы на частоте 0.
Пример расчета частотной характеристики.
Рассмотрим систему с импульсной характеристикой
1, 0  n  N  1;
h( n)  
0  в остальных случаях.
Рис. 1.13 Импульсная характеристика системы.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Пример расчета частотной характеристики
(продолжение).
Частотная характеристика равна
N 1
H (e )   e
j
n 0
 jn
1  e  jN e  jN / 2 (e jN / 2  e  jN / 2 ) sin( N / 2)  j ( N 1) / 2

  j / 2 j / 2

e
.
 j
 j / 2
sin(  / 2)
1 e
e
(e
e
)
Рис. 1.14 АЧХ и ФЧХ системы.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Свойства частотной характеристики
1. Частотная характеристика H(ej) является функцией
непрерывной частоты , и это периодическая функция
частоты  с периодом 2. Это свойство следует
непосредственно из определения, так как ej(k = ejk.
Поэтому для полного описания H(ej) достаточно задать ее
на интервале - (02)
2. Для действительных h(n) АЧХ системы - H(ej)  - четная
функция , а ФЧХ – argH(ej) – нечетная функция  на
интервале -. В этом случае интервал задания H(ej)
сокращают до 0.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье.
Поскольку H(ej) - периодическая функция частоты, она может
быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и
представляет H(ej) в виде ряда Фурье, в котором
коэффициентами Фурье являются значения импульсной
характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть
определены через H(ej) как коэффициенты Фурье периодической
функции т. е.

h(n)  (1 / 2 ) H (e j )e jn d ,

(1.17)
где
j
H (e ) 

 j n
h
(
n
)
e
.

n  
DSP
(1.18)
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье (продолжение).

h(n)  (1 / 2 ) H (e j )e jn d ,

где
j
H (e ) 
(1.17)

 j n
h
(
n
)
e
.

(1.18)
n  
Эти равенства можно также трактовать как представление
последовательности h(n) в виде суперпозиции (интеграла)
экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды
которых определяются выражением (1.18). Таким образом,
(1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для
последовательности h(n), где (1.18) играет роль прямого, а
(1.17) обратного преобразования Фурье.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье (продолжение).
Представление последовательности преобразованием (1.18)
будет справедливо для любой последовательности. Поэтому
для произвольной последовательности х(n) определим
прямое преобразование Фурье дискретного времени (ДВПФ)
соотношением

X ( e j ) 
 x ( n )e
 j n
,
(1.19)
n  
а обратное преобразование Фурье - соотношением

x(n)  (1 / 2 ) X (e j )e jn d ,

(1.20)
X(ej) = | X(ej) |ejarg[X(e )] – спектральная характеристика
последовательности x(n). | X(ej) | - амплитудно-частотный
спектр, arg[X(ej)] – фазо-частотный спектр.
j

Если
DSP
 x ( n )  ,
n  
то спектральная характеристика X(ej) последовательности
х(n) существует.
Дискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье (продолжение).
Возможность представления последовательности как
суперпозиции комплексных экспонент является очень
важным качеством при анализе линейных систем с
постоянными параметрами.
Так как отклик на каждую комплексную экспоненту
получается умножением на H(ej), то




y (n)  T [ x(n)]  T [(1 / 2 )  X (e j )e jn d ]  (1 / 2 )  X (e j )T [e jn ]d . 




 (1 / 2 )  H (e j ) X (e j )e jn d  (1 / 2 )  Y (e j )e jn d .
Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно
Y (e j )  H (e j ) X (e j ).
(1.21)
Этот результат может быть получен путем применения
преобразования Фурье к свертке
y ( n) 
DSP

 x(k )h(n  k ).
k  
Дискретные сигналы и системы
Пример.
Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем
имеет частотную характеристику
 1,    ср ;
H (e )  
0,  ср     .
j
Так как H(ej) является периодической функцией, то это
соотношение определяет частотную характеристику для всех
. Такая система удаляет из входного сигнала все
компоненты в диапазоне частот ср     .
DSP
Рис. 1.15 Частотная характеристика идеального дискретного
фильтра нижних частот.
Дискретные сигналы и системы
Пример (продолжение).
Импульсная характеристика h(n) определяется по (1.17):
 ср
h(n)  (1 / 2 )
e jn d  (sin  ср n / n)
 ср
Рис. 1.16 Импульсная характеристика идеального фильтра
нижних частот с частотой среза ср.=/2.
Это физически нереализуемый и неустойчивый фильтр.
DSP
Дискретные сигналы и системы
Последовательность
ДВПФ
x(n)
X(ej)
x(n-m)
X(ej)e-jm
x(n)ejn
X(ej(-))
 x ( k ) h( n  k )
X(ej) H(ej)

k  
x(n)y(n)
1
2

 X (e
j
)Y (e j (  ) )d

Таблица 1.1. Некоторые важные свойства ДВПФ.
DSP