Задачи на смеси, сплавы и растворы.

Решение текстовых задач:
подготовка к ЕНТ
Задача 1:В четверг акции компании подорожали на некоторое
количество процентов, а пятницу подешевели на то же самое
количество процентов. В результате они стали стоить на 36 %
дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько
процентов подорожали акции компании в четверг?
Решение:
Четверг – подорожали на х %
1 + 0,01х
Пятница – на столько же подешевели 1 + 0,01х – (1+0,01х)0,01х
1 + 0,01х – (1+0,01х)0,01х = 1 – 0,36
1 + 0,01х – 0,01х+0,0001х2 = 0,64
0,0001х2 = 0,36
х2 = 3600
х1 = 60
х2 =  60 не удов. условию задачи
Ответ: 60 %.
Задача 2:Яблоки подешевели на 20 %. Сколько яблок можно
теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали
2,8 кг яблок?
Решение:
100 %  2,8 кг
80 %  х кг
х = 3,5 кг
Ответ: 3,5
кг
Задача 3: При смешивании первого раствора соли , концентрация
которого 40 % ,и второго раствора этой же соли, концентрация
которого 48 %, получился раствор с концентрацией 42 %. В каком
отношении взяты первый и второй растворы?
=
+
40 %
48 %
I – 40 % , х масса I ,
II 48 %, y масса II,
0,40х + 0,48 y = 0,42 (x + y)
0,40х + 0,42х = 0,42y + 0,48y
 0,02х =  0,06y
х/y = 3/1
Ответ: 3 : 1.
42 %
0,40 х соли в I растворе
0,48y соли во II растворе
Задача 4: Влажность свежескошенной травы 60%, сена – 20%.
Сколько сена получится из 1 т свежескошенной травы?
Решение:
Пусть х воды испаряется из травы, получим
1 – х конечная масса, в ней влажность 20 %
0,2(1 – х) воды в сене
0,6 – х вода минус испарившаяся вода
0,2(1 – х) = 0,6 – х
0,2 – 0,2 х = 0,6 – х
0,8х = 0,4
х = 0,5 т
Ответ: 500 кг.
Задача 5: На аукционе одна картина была продана с прибылью 20%, а
другая – с прибылью 50%. Общая прибыль от продажи двух картин
составила 30%. У какой картины первоначальная стоимость была выше и
во сколько раз?
Решение: пусть x стоимость первой картины, y – второй
картины.
Прибыль от продажи первой 0,20х , второй – 0,50y.
Общая прибыль 0,30 (x + y)
0,20 х + 0,50y = 0,30 (x + y)
0,20x  0,30x = 0,30 y  0,50y
0,10x = 0,20y
x 0,20 2


y 0,10 1
Ответ: первоначальная стоимость первой картины была выше в 2 раза.
Задача 6: Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки,
отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер.
Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А
до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость
катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
катер
А
В
1
4
1 3

5 4
4Vп – собственная скорость катера
4Vп – Vп = 3 Vп – скорость катера против течения
4V п+ V п= 5Vп – скорость катера по течению
Путь катера против течения в 3 раза больше пути плота по течению,
по течению путь тот же, таким образом плот пройдёт в пять раз
меньше. Т.к. Vкат = 5Vп
1 1 3 2
Ответ: 2/5
  
4 5 4 5
Задача 7:На заводе изготовили сплав алюминия, меди и
свинца в пропорции 5,7,8 соответственно и общей массой m.
В него добавили ещё алюминия в количестве 25 % от
имеющегося свинца, после чего половину сплава отлили, а к
оставшейся добавили медь в количестве, в 2 раза большем,
чем в первоначальном сплаве. Какова концентрация меди в
получившемся сплаве.
Решение:
алюминий
медь
свинец
Добавили алюминий 25% от свинца – 1/4
Отлили половину сплава
Добавили медь в 2 раза больше, чем было первоначально
А:М:С = 3,5:17,5 : 4
Всего 25 частей - 100 %  4 % - 1 часть
17,5  4 = 70 %
Ответ : 70 %.
Задача 8: Две машины выехали одновременно из одного пункта и едут в
Одном направлении. Скорость первой машины 40 км/ч, второй 60 км/ч. Через
час из этого же пункта вслед за ними выехала третья машина , которая догнала
вторую на 2 часа позже , чем первую. Найдите скорость третьей машины.
t1 - время движения I машины, 40t1 – путь первой машины
t1 – 1 -время движения III машины до того момента, пока она не догнала I
машину
x(t1 – 1) - путь III машины
1) 40t1 = x(t1 – 1)
t2 - время II машины, 60t2 – путь II машины; х(t2 – 1) – путь III машины, пока
она не догнала II
2) 60t2 = x(t2 – 1)
40t1  x(t1  1),

Учитывая , что t2 – t1 = 2, составим систему уравнений
Ответ: 80 км/ч
60t 2  x(t2  1),
t  t  2.
2 1
Задача 9:Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего
8 % соли, чтобы получить 5 % раствор?
Решение:
Пусть х - количество воды, которое надо добавить.
Новое количество раствора  (50 + х) г.
Количество соли в исходном растворе 50  0,08 г.
Количество соли в новом растворе составляет 5 % от (50+ х) г,
т. е. 0,05(50+ х) г.
Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково
в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это
уравнение называют кратко «баланс по соли».
50  0,08 = 0,05(50+х),
508 = 5(50+х),
80 = 50 + х,
х = 30.
Ответ: 30 г.
Задача 10:
Сколько граммов 30 %-го раствора надо добавить к 80 г 12 %-го
раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-й раствор соли?
Решение.
Пусть надо добавить х г 30 % раствора соли.
Получится (80 + х) г 20 % раствора.
В 80 г 12 % раствора содержится 800,12 г соли
0,3х г соли - в х г 30 % раствора,
0,2(80 + х) г соли - в (80 + х) г 20 % раствора.
Получаем уравнение:
0,3х + 0,1280 = 0,2(80 + х) - это «баланс по соли».
0,3 х + 9,6 =16 + 0,2х,
0,3 х  0,2 х = 16 – 9,6,
0,1 х = 6,4,
х = 64.
О т в е т: 64 г.
Задача 11: Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной
концентрации , то получим 12 % раствор кислоты. При смешивании двух
одинаковых масс тех же растворов получим 15 % раствор. Определите
первоначальную концентрацию каждого раствора.
Решение: x % – концентрация в первом растворе,
y %  концентрация во втором растворе
0,08 x  0,02 y  10  0,12,
0,08(30  y )  0,02 y  1,2,


 x  y  30;
 x  30  y;
 0,08 y  0,02 y  1,2  2,4,
 0,06 y  1,2,


 x  30  y;
 x  30  y;
 x  10%,

 y  20%.
Ответ: 10 % и 20 %.
Задача 12: Имеются смеси апельсинового и ананасового соков. Первая
смесь содержит 40 % апельсинового сока, а вторая – 80 %. Сливаются
вместе p л первой смеси и q л второй смеси, а в результате получается
20 л смеси, содержащей 70 % апельсинового сока. Определите p и q.
 p  q  20,


0,40 p  0,80q  20  0,7;
40 %
80 %
p
q
20 л
Ответ: 5 и 15.
 p  5,

q  15.
70 %
Задача 13: Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды, когда он
немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит
арбуз?
Решение:
20  0,99 = 19,8 кг воды в арбузе
20 – 19,8 = 0,2 кг сухого вещества
После усыхания 100  98 = 2% - это 0,2 кг
0,2 : 0,02 = 10 кг
Ответ: 10 кг.
Задача 14: Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а
другой 65% , сплавляют и получают слиток массой 30 г,
содержащий 47 % серебра. Какова масса каждого из этих слитков.
Решение: Пусть х г масса первого слитка, а y г – второго слитка.
35 %
65 %
x г.
y г.
47 %
30 г
0,35 x  0,65 y  0,47  30,
0,35(30  y )  0,65 y  14,1,



 x  y  30;
 x  30  y;
 x  18,

 y  12.
Ответ: 18 и 12.
Литература
1.Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова Математика Повторение курса в формате ЕГЭ
Рабочая программа 11 класс Ростов-на-Дону: Легион, 2011
2. Д. А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева Математика. Всё для ЕГЭ 2011.
Часть I, Ростов-на-Дону: Мальцев Д.А., М.:НИИ школьных технологий, 2010
3.Е.Г. Коннова, А.Г. Дрёмов, Математика. Базовый уровень ЕГЭ 2011. В1 – В6 .
Пособие для «чайников», Ростов- на – Дону:Легион, 2010
4. Ф.Ф. Лысенко Математика тематические тесты. Геометрия. Тестовые задачи.
Подготовка к ЕГЭ-2010, 10-11 классы.Ростов-на-Дону: Легион – М, 2009.
5. Единый государственный экзамен математика 2007, Сергиев Посад: Фолио,
2007.
6. Анимация http://animashky.ru/index/0-6
http://animo2.ucoz.ru/;
http://svetlanal.narod.ru/anim.html
7. Картинки и фото http://selbo.ru/list/Корм_для_животных-20/Нижний_Новгород2143/ ;
http://www.uzdaily.com/ru/sections.php?page=7&mid=5 ;
http://www.lenagold.ru/fon/clipart/alf.html
8. Картины http://www.ogoniok.ru/archive/1996/4475/44-32-33/
http://qrok.net/2126-raboty-xudozhnikov-eleny-i-mixail-ivanenko.html
9.Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main
10.Диагностические и тренировочные работы ГИА и ЕГЭ. Сайт А. А. Ларина
http://alexlarin.net/ege.html