Системы автоматического управления

Системы
автоматического
управления
Основные понятия теории
автоматического
управления
Структурная схема САУ
Функциональная схема САУ
САУ температурой печи
Принцип компенсации
Принцип обратной связи
Статические характеристики САУ



y = F(u,f)
K = y/u
K = Δy/Δu ≠ const.
Динамические характеристики
Колебательный процесс
Уравнение динамики



y(t) = F(u, f, t)
Поэтому основным методом исследования
САУ в динамических режимах является
метод решения дифференциальных
уравнений.
Уравнение динамики в общем виде можно
записать так:
F(y, y’, y”,..., y(n), u, u’, u”,..., u(m), f, f ’, f ”,..., f(k)) = 0
Передаточная функция




Дифференциальный оператор p = d/dt так, что, dy/dt
= py, а pn = dn/dt.
Операция интегрирования записывается как 1/p.
a0pny + a1pn-1y + ... + any = (a0pn + a1pn-1 + ... + an)y
Не надо путать эту форму записи с операционным
исчислением - здесь используются непосредственно
функции времени y(t), u(t) (оригиналы), а не их
изображения Y(p), U(p), получаемые из оригиналов
по формуле преобразования Лапласа.
Уравнение динамики
K = bm/an
Частотные характеристики
u ( t )  U m e jt  U m (cos t  jsin t )
y( t )  Ym e
pu  pU m e
j( t  )
jt
 Ym e
 U m je
jt j
jt
e
 ju
p n u  p n U m e jt  U m ( j) n e jt  ( j) n u
y
b 0 ( j) m  b1 ( j) m 1  ...  b m
a 0 ( j)  a1 ( j)
n
n 1
 ...  a n
u  W( j)u
W ( j)  A()e
A() 
j( )
Um
 P 2 ()  Q 2 ()
Ym
P()
()  arctg
Q()
 P()  jQ()
Логарифмические частотные
характеристики
ln[ W ( j )]  ln[ A( )e j ( ) ] 
 ln[ A( )]  ln[[ e j ( ) ] 
 ln[ A( )]   ( )
L(ω) = 20lgA(ω)
Временные характеристики
1, при t  0;
1(t )  
0 при t  0.
K (0) n K (p k )  e p k t
h(t) 
 
D(0) k 1 p k D(p k )
Элементарные звенья САУ
Wэ (p) 
b 0 p 2  b1p  b 2
a 0 p 2  a1p  a 2
Пропорциональное звено
 Его
уравнение: y(t) = ku(t).
 Передаточная функция: W(p) = k.
 Переходная характеристика: h(t) = k1(t).
 АФЧХ: W(jω) = k.
 ВЧХ: P(ω) = k.
 МЧХ: Q(ω) = 0.
 АЧХ: A(ω) = k.
 ФЧХ: φ(ω) = 0.
 ЛАЧХ: L(ω) = 20lgk.
Интегрирующее звено







Передаточная функция: W(p) = k/p.
При k = 1 звено представляет собой
“чистый” интегратор с передаточной
функцией W(p) = 1/p.
АФЧХ: ВЧХ: P(ω) = 0.
МЧХ: Q(ω) = – 1/ω.
АЧХ: A(ω) = 1/ω.
ФЧХ: φ(ω) = – π/2.
ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(1/ω) = – 20lg(ω).
t
y( t )  k  u ( t )dt
0
t
h ( t )  k 1( t )dt  k  t
0
Апериодическое звено
dy
yT
 ku
dt
W( j) 
P() 
1
1  jT

jT  1 1  (T) 2
1
1  (T) 2
A() 
k
W ( p) 
Tp  1
Q()  
T
1  (T) 2
1
1  ( T ) 2
()  arctg(T)
L()  20 lg( A())  20 lg( 1  (T) 2 )
Колебательное звено
W ( p) 
W ( p) 
k
T12 p 2  T2 p  1
k
T 2 p 2  2Tp  1

T2
2T1
Дифференцирующее звено
du
y( t )  k
dt
W(p) = kp
kTp
W ( p) 
Tp  1
АФЧХ: W(j ω )=jk ω;
ВЧХ: P(ω) = 0;
МЧХ: Q(ω) = jkω;
АЧХ: А(ω) = kω;
ФЧХ: φ(ω) = π/2;
ЛАЧХ: L(ω) = 20lgk+20lgω.
Структурные схемы. Правила
преобразования



Структурной схемой САУ называют графическое
изображение ее математической модели.
Структурная схема САУ в простейшем случае
строится из комбинации элементарных динамических
звеньев, соединенных между собой определенным
образом.
Но несколько элементарных звеньев могут быть
заменены одним звеном со сложной передаточной
функцией.
Последовательное
соединение
n
Wэкв   Wi
i 1
Параллельное соединение
n
Wэкв   Wi
i 1
Соединение с обратной
связью
Wп
Wэкв
1  Wп Wос
Wэкв
Wп

1  Wос
Устойчивость
Условие устойчивости
Необходимое условие
устойчивости






D(p) = aopn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = ao(pp1)(p-p2)...(p-pn) = 0,
где p1, p2, ..., pn - корни этого уравнения.
ai = -|ai| < 0.
a0 (p + |a1|) (p + |a2| - jω2) (p + |a2| + jω2) ... = 0.
a0 (p + |a1|) ((p + |a2|)2 + (ω2)2) ... = 0
a0 pn + a1 pn-1 + a2 pn-2 + ... + an = 0.
Критерий Гурвица
ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
D(p) = a0 (p - p1) (p - p2) ... (p - pn) = 0
 pi = αi + jαi = |pi|ejarg(pi)
 где arg(pi) = arctg(ωi/ai) + kπ

pi   i 2  i 2
Принцип аргумента




D(jω) = |D(jω)|ejarg(D(jω)),
где |D(jω)| = a0 |jω - p1| |jω - p2|...|jω - pn|,
arg(D(jω)) = arg(jω - p1) + arg(jω - p2) + .. + arg(jω - pn).
D(jω) при изменении ω от -∞ до +∞
n
 arg( D( j))   arg( j  p i )  (n  m)    m  
i 1

при изменении ω от 0 до +∞ получаем

 arg( D( j))  (n  2m) 
2
Критерий устойчивости
Михайлова
D( j)  a 0 ( j)  a1( j)
n
n 1
 ...  a n
D( j)  X  jY
X  a n  2 a n  2  4 a n  4 
Y  (a n 1  2a n 3  4a n 5 
Критерий Михайлова

 arg( D( j))  n 
2
Критерий Найквиста
W ( p)
Wз (p) 
1  W ( p)
Wз ( p ) 
R( p)
Q( p )  R( p )
R ( p)
W (p)  W1  W2 
Q( p )
Q( p)  R ( p)
S(p)  1  W (p) 
Q( p)
Критерий Найквиста
S( j)  1  W ( j)  1  W ( j)  e jArgS ( j) 
Q( j)  R ( j)  e j1 ( j)
Q( j)  e
j 2 ( j)
Q( j)  R ( j) jArgS ( j)

e
Q( j)
ArgS ( j)  1 ( j)  2 ( j)
n
1 ( j) 
2

Критерий Найквиста

 2 ( j)  (n  2m) 
2
n
 m
ArgS ( j) 
 ( n  2m)    2
2
2 2