F ``( p )

IV. Интегрирование оригинала
t
F ( p)
Если f(t) ≓ F(p), то f    d ≓
p

(1.3)
0
Операции интегрирования в пространстве оригиналов соответствует
операция деления в пространстве изображений.
V. Дифференцирование изображения
f(t) ≓ F(p),
F '( p ) ≓ (– t) f( t ), F ''( p ) ≓ (– t)2 f( t ), … , F (n)(p ) ≓ (– t) n f(t(1.4)
)
Если
то
Дифференцированию в пространстве изображений соответствует
операция умножения оригинала на аргумент с отрицательным
знаком в пространстве оригиналов.
VI. Интегрирование изображения
Если
f(t) ≓ F(p),
f t 
t

– оригинал, а интеграл
f t   F z  dz
≓ 
p
t
 F ( z )dz
сходится, то
p
(1.5)
операции деления на аргумент в пространстве оригиналов соответствует
операция интегрирования в пределах от
изображений.
p
до
∞
в пространстве
Следствие


0
f (t )
dt ≓
t

 F z  dz
0
(1.5*)
VII. Смещение в аргументе изображения
Если
f(t) ≓ F(p), и a – комплексное число, то
e – a t f(t ) ≓ F( p + a )
(1.6)
VIII. Смещение в аргументе оригинала (запаздывание)
Если
f(t) ≓ F(p), и f(t – a ) = 0
при значениях
t < a,
то для всякого a
f(t – a ) ≓ e – pa F( p )
(1.8)
если процесс в простр. оригинала опаздывает на время
с первоначальным
t
>0
a
по сравнению
то изображение умножается на функцию
e–pa
Опр. 3. Ступенчатые функции – это кусочно-непрерывные функции, которые
на каждом участке непрерывности имеют постоянные значения.
Пример некоторых ступенчатых функций
f(t)
f1(t)
f2(t)
1
1
1
0
0
0
T
t
T
t
T
t
Пример. Оригинал f ( t ) задан
графически. Найти его изображение.
f(t)
2
2
f1(t)
2
2
4
t
4
f2(t)
t
IX. Изображение периодического оригинала
Если
то
f( t ) ≓ F( p ), и f( t ) – периодическая функция с периодом T > 0,
T
1
pt
(1.9)
F  p 
f
t

e
dt

 pT 
1 e
0
Х. Свёртка функций. Теорема умножения
Пусть f ( t ) и j ( t ) непрерывны для значений
Свёрткой этих функций называется интеграл
t >0.
t

f * j  f ( )  j (t   ) d
Теорема 1.2.
(1.10)
0
f( t ) ≓ F( p ), j( t ) ≓ F ( p ), то произведение изображений
F( p ) .F ( p ) является изображением свёртки оригиналов:
F( p ) .F ( p ) ≓ f ( t ) * j ( t )
(1.11)
Если
умножение изображений
изображений
равносильно
свёртыванию
оригиналов
этих
XI. Интеграл Дюамеля
Если
f( t ) ≓ F( p ), j( t ) ≓ F ( p ), то
t
p .F( p ) .F ( p ) ≓ f (0)j (t )   j ( ) f (t   )d
(1.12)
0
Замечание
В силу симметричности операции свертки
t

f( t ) * j( t ) = j ( t ) * f ( t )
t

f (0)j (t )  j ( ) f (t   )d  f (0)j (t )  j (t   ) f ( )d
0
0