Лекция №6 Силовой анализ рычажных механизмов с учётом трения в кинематических парах Наличие трения в кинематических парах изменяет величину и направление действующих сил. При наличии трения скольжения сила взаимодействия двух соприкасающихся тел отклоняется от общей нормали к их поверхностям на угол трения. Тангенс угла трения равен коэффициенту трения скольжения tgT f T (2.80) В поступательной паре сила F12, приложенная к звену 1 от звена 2, отклоняется от нормали n-n и составляет с ней угол T . Как видно из рис. 2.16, а касательная составляющая - сила трения – направлена против относительной скорости звеньев 1 и 2 12 ; в этом проявляется тормозящее действие трения. Касательная и нормальная составляющие силы F12 связаны друг с другом соотношением FT12 f T F12n sign 12 (2.81) 1 2 n n ; F12 модуль силы F12 . где sign 12 1 2 Результирующая сила F равна n 12 12 (2.82) F12 F FT12 Модуль силы F12 и координата h 12 точки ее приложения неизвестны и определяются в ходе силового расчета. Все сказанное относится и к силе F21 , т.к. F21 F12 (сила F21 на рисунке не показана). Учет трения во вращательной кинестатической паре Во вращательной паре (рис. 2.16, б) силы взаимодействияF12 F21 (сила F21 на рисунке не показана) также отклоняются от нормали n-n, а потому проходят не через центр шарнира О, а по касательной к окружности (в точке Т), центр которой совпадает с центром шарнира. Круг, ограниченный этой окружностью, называется кругом трения, его радиус равен T rц sin T , где rц - радиус цапфы. Так как угол трения T обычно не превышает 6-7°, то sin T tgT f T . Поэтому с некоторым допущением можно принять T rцf T (2.83) Модуль силы F12 и направление линии действия этой силы неизвестны и определяются силовым расчетом. Действие силы F12 (рис. 2.16, б) можно заменить совместным действием силы F12 , равной F12 и приложенной в центре шарнира, и пары сил F12 , F12 . Направление действия этой пары сил противоположно угловой скорости 12 , с которой звено 1 вращается относительно звена 2. В этом проявляется тормозящее действие трения в шарнире. Пару сил F12 , F12 , приложенную к звену 1 от звена 2, называют моментом трения в шарнире, величина которого равна (2.85) MT12 rцfT F12 sign 12 , где sign 12 1 2 ; F12 1 2 -модуль силы F12 Порядок проведения силового расчёта с учётом трения в парах В кинематических парах может иметь место постоянная составляющая силы и момента сил сухого трения, не зависящая от сил в кинематических парах. Это «прилипание» хорошо обработанных металлических поверхностей или трение в уплотнениях кинематических пар, зависящее от натяга уплотнительных колец. Тогда общие выражения для силы трения и момента сил трения в кинематических парах будут n (2.86) FT12 (FT12 f T F12 )sign 12 ; (2.87) MT12 (MT12 rцf T F12 )sign 12 , где FT12 и M T12 - постоянные составляющие силы трения и момента сил трения в парах. Основные положения силового расчета с учетом трения в кинематических парах такие же, как и расчета без учета трения, поскольку наличие трения не изменяет числа неизвестных в кинематических парах. Силовой расчет рычажных механизмов с учетом трения проводят методом итераций (последовательных приближений). В первой итерации определяются неизвестные силы в кинематических парах при условии равенства нулю сил и моментов сил трения, зависящих от сил в парах. Во второй итерации определяются силы и моменты сил трения в зависимости от сил, действующих во всех кинематических прах, и кинетостатический расчет проводится в том же порядке, но с учетом дополнительно приложенных сил и моментов сил трения, определенных по формулам (2.86) и (2.87). Следующие итерации аналогичны второй. Опыт показывает, что уже второе приближение дает хорошие результаты. Силовой анализ кривошипно-ползунного механизма с учётом трения в парах Расчётная схема механизма На рис. 2.17 показана расчетная схема кривошипно-ползунного механизма, на которой показаны силы в кинематических парах, полученные в первой итерации, и дополнительные силы и моменты трения, необходимые для второй итерации. Остальные силы на этом рисунке не показаны. Алгоритм силового анализа кривошипно-ползунного механизма Выражения для сил и моментов трения, полученные при равенстве нулю постоянных составляющих моментов трения, имеют вид Звено 3 (2.88) FT 34 (FT 34 f T F34 )sign 34 (2.89) M T32 rц f T F32 sign32 Звено 2 M T 23 M T 32 M T 21 rц f T F21 sign 21 M T 2 M T 23 M T 21 (2.90) (2.91) (2.92) Звено 1 M T12 M T 21 M T14 rц f T F14 sign 14 M T1 M T12 M T14 где 34 B 32 3 2 2 F32 F322 X F322 y 21 2 1 F21 F212 X F212 y 14 1 F14 F142 X F142 y M T 2 и M T1 - суммарные моменты сил трения, действующие на звенья 2 и 1. (2.93) (2.94) (2.95) Силовой анализ механизма с гидроцилиндром с учётом трения в парах Расчётная схема механизма На рис. 2.18 представлена схема механизма с гидроцилиндром, на которой также показаны только силы в кинематических парах и дополнительные силы и моменты трения. Алгоритм силового анализа механизма с гидроцилиндром Звенья 1-2 F21 ) sign 21 FT 21 FT 21 f T ( F21 (2.96) MT14 rцfT F14 sign14 ; (2.97) MT 23 rцfT F23 sign23; M T 2 M T14 M T 23; (2.98) (2.99) Звено 3 M T32 M T 23; M T34 (MT34 rцf T F34 )sign 34 ; M T3 M T32 M T34 ; Здесь 14 1 ; 23 1 3 ; 34 3 ; (2.100) (2.101) (2.102) 2 2 F14 F14 X F14 y ; 2 2 F23 F23 X F23y ; 2 2 F34 F34 X F34 y ; M T 2 и M T3 - суммарные моменты сил трения, действующие соответственно на звенья 1-2 и 3. Как показывают расчеты, учет переменной составляющей трения в кинематических парах приводит к изменению значений силовых параметров до 20%. Графоаналитический метод силового анализа рычажных механизмов Кривошипно-ползунный механизм Схема структурной группы со всеми приложенными силами представлена на рисунке 2.19, а. Здесь главный момент сил инерции звена 2 заменен парой сил FMU2 M u 2 / 2 , приложенных в точках А и В. Для системы сил, действующих на звено 2, составим уравнение моментов относительно точки В M B 0. 2 t MB (G 2 ) MB (Fu 2 ) MB (FПГ 2 ) MB (FMU 2 ) MB (F21 ) 0, t где неизвестная составляющая силы F21 направлена произвольно – вниз от точки А. В развернутом виде уравнение перепишется как G 2 h G 2 Fu 2 h U 2 FПГ2 h Г 2 FMU2 AB F21t AB 0 Откуда неизвестная сила будет G 2h G 2 Fu 2h U 2 FПГ2 h Г 2 FMU2 AB F21t AB (2.103) Здесь через h с индексами обозначены плечи соответствующих сил относительно точки В. Как видно t из формулы для F21 , плечи сил могут быть взяты непосредственно из рисунка группы по рисунку 2.19, а, невзирая на масштаб его построения. План кривошипно-ползунного механизма n Для определения величин нормальной составляющей силы в точке А F21 и силы F34 векторное уравнение равновесия структурной группы, сгруппировав силы по звеньям: F 0. 2,3 t Или F34 (FC3 FT3 ) FПГ3 Fu3 G3 G 2 FПГ 2 Fu 2 F21 Fn21 0. составим (2.104) // AB x Решим векторное уравнение графически - путем построения многоугольника сил (рис. 2.19,б). Для этого необходимо выбрать масштабный коэффициент построения плана сил K F , используя любую известную силу, лучше максимальную – у нас (FC3 FT 3 ). (F F ) (2.105) K F C3 T 3 Z(FC3 FT 3 ) Тогда отрезки, изображающие остальные известные силы будут G F ZG 2 2 ; ZFПГ 2 ПГ2 и т.д. KF KF Пересечение в точке ''с'' линии, параллельной АВ, и первой, перпендикулярной оси Х, определяет n искомые отрезки Z F34 и ZF21 : F34 Z F34 K F ; n F21n Z F 21 K F . F21 F21n F21t Величина силы равна: F21 ZF 21 K F Алгоритм определения уравновешивающего момента и остальных неизвестных силовых факторов Для силы F34 необходимо определить точку ее приложения. Воспользуемся уравнением моментов для звена 3 относительно точки . M B 0 или M B (G 3 ) M B (FC3 FT 3 ) M B (FПГ3 ) M B (Fu 3 ) M В (F32 ) F34 h 34 0 (2.106) 3 Так как для рассматриваемого примера все остальные силы проходят через точку В, то и сила F34 также проходят через эту точку и ее плечо h 34 0 . F 0 или F34 (FC3 FT3 ) FПГ3 Fu 3 G3 F32 0 3 Неизвестный вектор силы F32 определим с помощью построенного многоугольника сил на рис. 2.19, б, соединив точки b и c: F32 ZF32 K F Рассмотрим равновесие начального звена 1 механизма (рис. 2.19, в). F12 F21 Требуется определить силу F14 в шарнире О и уравновешивающий момент M y . Из уравнения моментов для звена 1 относительно точки О определим уравновешивающий момент: M O 0 или F12 1 cos 1 M y 0 (2.108) 1 M y F12 1 cos 1. Момент M y , совпадающий по направлению с положительной угловой скоростью 1 , будет положительным, а направленный против 1 будет отрицательным. Уравнение равновесия ведущего звена имеет вид F14 F12 0 (2.110) Отсюда F14 F12 F21