применение подобия треугольников к решению задач

ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС
ТЕМА УРОКА:
Применение подобия
треугольников
к решению
практических задач
Подготовила : Погодина А.А.
Учитель математики МОУ Можаров-Майданской СОШ

1.
2.
3.
4.
5.



Защита проекта на тему « Способы
определения высоты предмета»
Историческая справка (презентация Данилова А.)
Рассказ о знаменитом математике Фалесе
(презентация Селезнёвой Е.)
Различные способы определения высоты
(презентация Лядащева В.)
Определение высоты церкви в селе М.-Майдан
(Исаев И., ПанфировА, Машарин А.)
Анализ опроса учащихся (Масляев А., Купрюшин А.)
Решение практической задачи в
классе
Тест на знание материала
Подведение итогов
Великий немецкий математик
Вильгельм Лейбниц сказал
Подготовил: Данилов Александр
Треугольник-это простейшая фигура:
три стороны и три вершины.
Математики его называют
двумерным симплексом. «Симплекс»
по-латыни означает простейший.
Трёхмерным симплексом называют
треугольную пирамиду.
Именно в силу своей простоты
треугольник явился основной многих
измерений.
Через площадь треугольника выражается
площадь любого многоугольника:
достаточно разбить этот многоугольник на
треугольники, вычислить их площади и
сложить результаты.

Правда, верную формулу для
площади треугольника удалось
найти не сразу. В одном
египетском папирусе 4000летней давности говорится, что
площадь равнобедренного
треугольника равна
произведению половины
основания на боковую сторону
(а не на высоту).
Через 2000 лет в Древней Греции
изучение свойств треугольника ведётся
очень активно.
Пифагор открывает свою теорему
 Герон Александрийский находит
формулу, выражающую площадь
треугольника через его стороны;
 становится известным, что
биссектрисы, как медианы и высоты,
пересекаются в одной точке.



Особенно активно свойства треугольника
исследовались в XV – XVI веках.
Вот одна из красивейших теорем того
времени, принадлежащая Леонарду
Эйлеру: «Середины сторон треугольника,
основания его высот и середины отрезков
высот от вершины до точки их
пересечения лежат на одной окружности».
Эта окружность
получила название
«окружности девяти
точек».

Император Франции Наполеон свободное
время посвящал занятиям математикой. Ему
приписывают такую красивую теорему:
« Если на сторонах треугольника во
внешнюю сторону построить
равносторонние треугольники, то их центры
будут вершинами равностороннего
треугольника».

Этот треугольник
называется внешним
треугольником
Наполеона.
ТЕОРИЯ
 Для определения вида треугольника
можно сравнить квадрат наибольшей
стороны с суммой квадратов двух других
сторон. Пусть, например, с – наибольшая
сторона. Тогда:
А) Если с²<а²+в², то треугольник
остроугольный;
Б) Если с²=а²+в², то треугольник
прямоугольный;
В) Если с²>а²+в², то треугольник
тупоугольный.
Признаки подобия
треугольников.
Треугольник ABC подобен треугольнику
A1B1C1 (обозначение: ABC ~ A1B1C1) тогда
и только тогда, когда выполнено одно
из следующих эквивалентных условий:
1признак:
<ABC = <А1B1C1
и <BAC = < B1A1C1.
2 признак:
AB : BC = A1B1 : B1C1
и <ABC = <A1B1C1;
3 признак :
AB : BC : CA = A1B1 : B1C1 : C1A1;
т.Фалеса : Если параллельные
прямые отсекают от угла с вершиной A
треугольники AB1C1 и AB2C2, то эти
треугольники подобны
и AB1 : AB2 = AC1 : AC2 (точки B1 и B2
лежат на одной стороне угла, C1 и C2 —
на другой).
В
2
В1
А
С1
С2
ФАЛЕС
МИЛЕТСКИЙ
Подготовила:
Селезнёва ЕКАТЕРИНА
 Сведения
о его жизни довольно скудны и
противоречивы и большинство из них
носит анекдотический характер.
 Считается, что он родился в 1-й год 39
олимпиады (по некоторым данным в 35ю олимпиаду), а умер в 58-ю олимпиаду
в возрасте 78 или 76 лет лет, т.е. по
нашему летоисчислению это приходится
на годы от 624 по 548 до Р.Х.
ПРОИСХОДИЛ ОН ИЗ ДРЕВНЕГО
МИЛЕТСКОГО РОДА, НО И ЭТОТ ФАКТ
ПОДВЕРГАЕТСЯ СОМНЕНИЮ. ПО ОДНОЙ
ВЕРСИИ ЕГО РОД ИМЕЛ ФИНИКИЙСКИЕ
КОРНИ, ПО ДРУГОЙ - ОН САМ БЫЛ В
ГОРОДЕ ПРИШЕЛЬЦЕМ. НО КАК БЫ ТАМ
НИ БЫЛО, СВОЙ МИЛЕТ ФАЛЕС СУМЕЛ
ПРОСЛАВИТЬ.
Какое-то время он исполнял положенные
обязанности гражданина, но потом покинул
государственную службу и занялся изучением
природы.
 Учился Фалес в Египте у жрецов, о чем
сообщает Иероним Родосский. В Египте Фалес
поразил жрецов тем, что сумел точно вычислить
высоту пирамид. Он дождался момента, когда
длина тени человека становится равной длине
его тени, и тогда измерил длину тени пирамиды.
Вот и весь фокус. О подобии треугольников
греки тогда еще ничего не знали, хотя Плутарх и
пытался объяснить решение этой задачи
Фалесом с помощью создания подобных
треугольников из шестов.

Также Фалес занимался изучением движения
Солнца и Луны. Он первым изучал путь
Солнца среди неподвижных звезд, научился
вычислять время от солнцестояния до
солнцестояния и дни равноденствий. Фалес
первым нашел, что размер Солнца
составляет 1/720 часть от его кругового пути,
а размер Луны - такую же часть лунного пути.
Фалес первым стал утверждать, что Луна
светит отраженным светом.
 Он разбил небесную сферу, как и мы, на пять
зон, и ввел календарь, по которому год
состоял из 365 дней. Год он делил на 12
месяцев по 30 дней, а пять дней оставались
выпадающими, как и в Египте.

Геродот также восхвалял Фалеса за то, что он
точно предсказал солнечное затмение во
время войны между Лидией и Мидией 22 мая
585 г. до Р.Х. Это затмение так поразило
воюющих, что они поспешили заключить
мирный договор.
 Заниматься исключительно астрономией и
изучением природы Фалес начал в зрелом
возрасте, и он был первым известным нам
греком посвятившем весь свой досуг науке, а
не извлечению прибыли. Вначале он
встречал со стороны своих сограждан
недоуменные взгляды и насмешки.


Но один случай резко переменил отношение
жителей Милета к Фалесу. Как-то весной
Фалес по одному ему известным признакам
предположил, что урожай маслин в этом году
будет большим. Он по низкой цене взял в
наем все свободные маслодавильни в Милете
и на Хиосе, а когда его прогноз оправдался, он
с большой выгодой перепродал все давильни.
Так он доказал, что и из научных занятий
можно извлечь практическую пользу.
Значительны достижения Фалеса и в геометрии.
Он установил:
равенство вертикальных углов;
равенство двух треугольников с равной одной
стороной и равными углами, прилегающими к
ней;
равенство углов у основания равнобедренного
треугольника;
равенство частей круга, разделенных
диаметром.
Когда же ему удалось вписать в круг
прямоугольный треугольник, Фалес принес в
жертву богам быка.
ИЗ ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ПРИПИСЫВАЕМЫХ
ФАЛЕСУ:
"МНОГОСЛОВИЕ ВОВСЕ НЕ
ЯВЛЯЕТСЯ ПОКАЗАТЕЛЕМ
РАЗУМНОГО МНЕНИЯ".
ФАЛЕС В СВОЕМ УЧЕНИИ УТВЕРЖДАЛ,
ЧТО МЕЖДУ ЖИЗНЬЮ И СМЕРТЬЮ НЕТ
ОСОБОЙ РАЗНИЦЫ. ТОГДА ЕГО
СПРОСИЛИ:
"ПОЧЕМУ ЖЕ ТЫ НЕ УМИРАЕШЬ?«
ФАЛЕС ОТВЕТИЛ: "ИМЕННО ПОЭТОМУ".
Умер Фалес в преклонном возрасте,
наблюдая за гимнастическими
состязаниями, от жары и жажды. На
его гробнице высекли следующую
надпись:
«Эта гробница мала, но слава под ней
необъятна:В ней пред тобою сокрыт
многоразумный Фалес".
Подготовил: Лядащев Владимир
Первый способ определения высоты предмета вы
узнаете, прослушав историю, которая произошла в
VI веке до нашей эры .
« Усталый чужеземец пришёл в страну Великого
Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошёл к
великолепному дворцу фараона. Он что-то сказал
слугам. По мгновению распахнули перед ним двери и
провели его в приёмную залу. И вот он стоит в
запылённом походном плаще, а перед ним на
золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят
высокомерные жрецы, хранители великих тайн
природы.
Кто ты? – спросил верховный жрец.
Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
Так это ты похвалялся, что сможешь измерить
высоту предмета, не взбираясь на неё? – Жрецы
согнулись от хохота. – Будет хорошо, насмешливо продолжал жрец, - если ты
ошибёшься не более чем на 100 локтей.
Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не
более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот
чужеземец утверждает, что может вычислить
то, чего не могут они – жрецы великого Египта.
Хорошо, - сказал фараон. – Около дворца стоит
пирамида, мы знаем её высоту. Завтра проверим
твоё искусство».
На следующий день Фалес нашёл длинную палку,
воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался
определённого момента. Провёл некоторые измерения,
сказал способ определения высоты пирамиды и назвал
её высоту. Что сказал Фалес?
Слова Фалеса: Когда тень от палки стала той же длины,
что и сама палка, то длина тени от центра основания
пирамиды до её вершины имеет ту же длину, что и
сама пирамида.
Если выбрать тот момент, когда тень от палки
будет равна длине самой палки, , то
треугольник будет равнобедренным и
прямоугольным, следовательно его катеты
равны
Преимущества:
не требуются вычисления.
Недостатки:
можно определить высоту предмета
только в короткий промежуток
времени, в солнечную погоду и
когда нет рядом предметов, тени
которых сливаются с тенью
данного предмета
Один из способов измерения высоты
предмета картинно описан у Жюля Верна
в известном романе «Таинственный
остров».
Отрывок из романа.
«-Сегодня нам надо измерить высоту
площадки Дальней скалы, - сказал
инженер.
Вам понадобится для этого инструмент?
– спросил Герберт.
Нет, не понадобится. Мы будем
действовать несколько иначе,
обратившись к не менее простому и
точному способу.
Юноша, стараясь научиться, возможно,
большему, последовал за инженером, который
спустился с гранитной стены до окраины
берега.
Взяв прямой шест, длиной 12 футов, инженер
измерил его возможно точнее, сравнивая со
своим ростом, который был хорошо ему
известен. Герберт нёс за ним отвес,
вручённый ему инженером: просто камень,
привязанный к концу верёвки. Не доходя футов
500 до гранитной стены, поднимавшейся
отвесно, инженер воткнул шест фута на два в
песок и, прочно укрепив его, поставил
вертикально с помощью отвеса. Затем он
отошёл от шеста на такое расстояние,
чтобы лёжа на песке, можно было на одной
прямой линии видеть и конец шеста, и край
гребня. Эту точку он тщательно отметил
колышком.
Оба расстояния были измерены. Расстояние
от колышка до палки равнялось 15 футам, а от
палки до скалы 485 футам.
«-Тебе знакомы зачатки геометрии? – спросил
он Герберта, поднимаясь с земли.
-Да.
-Помнишь свойства подобных треугольников?
-Их сходственные стороны пропорциональны.
-Правильно. Так вот: сейчас я построю 2
подобных прямоугольных треугольника. У
меньшего одним катетом, будет отвесный
шест, другим – расстояние от колышка до
основания шеста; гипотенуза же – мой луч
зрения. У другого треугольника катетами
будут: отвесная стена, высоту которой мы
хотим определить, и расстояние от колышка
до основания этой стены; гипотенуза же – мой
луч зрения, совпадающий с направлением
гипотенузы первого треугольника.
-Понял!- воскликнул юноша.- Расстояние от
колышка до шеста так относится к
расстоянию к расстоянию от колышка до
основания стены, как высота шеста к высоте
стены.
Да, и следовательно, если мы измерим два
расстояния, то зная высоту шеста, сможем
H-?
вычислить четвёртый неизвестный член
пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся,
таким образом, без непосредственного
измерения этой высоты.
По окончании измерений
h=10ф
инженер составил следующую запись:
a=5ф
10:Н=15:500
485ф
15Н=5000
Н=5000:15
B=500 ф.
Н=
333,33
Значит, высота гранитной стены равнялась
приблизительно 333 футам».
Высота вычисляется по формуле
hb
H=
a
Преимущества:
-можно производить измерения в
любую погоду;
-простота формулы.
Недостатки:
-нельзя измерить высоту предмета
не испачкавшись, так как приходится
ложиться на землю.
Другое решение:
Нужно запастись шестом выше роста
человека. На некотором расстоянии от
предмета воткнуть его вертикально в
землю. Отойти от шеста назад до того
места, с которого, глядя на предмет, его
вершина была бы видна верхняя точка.
E
Н-высота предмета
h-длина шеста
b-расстояние от человека до предмета
c- рост человека
a-расстояние от человека до шеста
a (h  c)
H
c
b
H-?
D
h
C
B
a
с
B1
A1
b
C1
Преимущества:
-можно производить измерения в
любую погоду;
-одежда будет чистой.
Недостатки:
-условная сложность формулы.
Третий способ
Например, случайно, у вас кармане оказалось зеркало. Как вы сможете
измерить высоту предмета?
C
Решение задачи:
H-?
hD
B
E
a
A
b
1). Зеркало нужно положить на некотором расстоянии от предмета, на ровной
земле и отойти от него назад в такую точку, стоя в которой наблюдатель
увидит в зеркале вершину предмета.
2) Так как угол падения равен углу отражения, то DAE  CAB .
3) Так как DAE  CAB и DEA  CBA , то  DAE подобен  CAB  DE  AE ,
CB
т.е
h
a
bh
 H 
H
b
a
AB
Преимущества:
•можно производить измерения в
любую погоду;
•одежда будет чистой;
•простота формулы;
Недостатки:
- нужно специальное приспособление:
зеркало.
Определение высоты церкви
в селе Можаров-Майдан
Решение:
Х/1=19,2/1,6
Х=12 м
Ответ:
Высота церкви 12 м
1м
1,6 м
19,2 м
Опрос учащихся
ЗАДАЧА
Определение высоты стены
в классе

1 вариант : с помощью шеста
 2 вариант : с помощью зеркала

ТЕСТ НА УСТАНОВЛЕНИЕ ИСТИННОСТИ ИЛИ ЛОЖНОСТИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ (ОТВЕЧАТЬ “ДА” ИЛИ “НЕТ”).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные
стороны пропорциональны.
Два равносторонних треугольника всегда подобны.
Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого
треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?
Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Если два угла одного треугольника равны 60 и 50, а два угла другого
треугольника равны 50 и 70, то такие треугольники подобны.
Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому
углу.
Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны
пропорциональны.
Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из
вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см.
Ключ к тесту:
1. да; 2. да; 3. да; 4. нет;
5. да; 6. да; 7. да; 8. нет; 9. да