Document 4781661

-это способ представления
чисел и соответствующие
ему правила действий
над числами
Системы счисления можно разделить на:
и
По современным понятиям , развитые системы нумерации
впервые появились в Древнем Египте и Месопотамии. До
нас дошли надписи внутри пирамид, на плитах и обелисках.
Эти надписи сделаны в виде картинок - иероглифов.
Сохранилось два математических папируса, позводяющих
узнать об арифметике древних египтян.
Для записи чисел египтяне использовали иероглифы: 
один -, десять - , сто -  , тысяча, ...,

1
 2
 3


6

10

15


7



 4


50
 5
8 



100

9

десять миллионов
Все остальные числа записывались с
помощью этих иероглифов и операции сложения. Так, что в египетской записи чисел особую
роль играла десятка и ее степени:
10,100,1000 и тд.
Делили и умножали египтяне не так как мы.
Умножение и деление проводилось путем
последовательного удвоения чисел
Пусть, например, надо умножить 19 на 94. Египтяне последовательно удваивали число
94, причем в правом столбике записывали результаты удвоения,а в левом
соответствующие степени двойки. (Разумеется, записывали они это по своему, но ниже
вычисления показаны в современной записи).
Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось,что из чисел левого столбца
можно составить множитель (в нашем случае 19=1+2+16. Египтяне отмечали
соответствующие строки черточками складывали числа из правого столбика
Одним из недостатков египетской системы является
громоздкая запись чисел. Для записи числа 9 египтяне
десять раз повторяли иероглиф для единицы. Этого
недостатка лишены алфавитные системы записи чисел:
еврейская, финикийская, грузинская, армянская,
славянская.
Славянская алфавитная нумерация напоминала
современную позиционную. В ней числа закодированы
буквами, а над этими буквами ставится специальный знак -
~
~
~
1= 2=В 3=Г
титло
Одной буквой кодировались числа от 1 до 9, затем 10,20,…90 и, наконец, 100,200,…,900
Для больших чисел использовались те же самые буквы с добавленными к ним
специальными значками. Например:
~
10 000=
В римской системе счисления 7 чисел обозначаются
буквами:
Остальные числа записываются комбинациями этих букв.
Например: XVII -означает 10+10+5+1+1=27
Если же какие-то буквы нарушают порядок, то их значения
вычитаются из значения следующей буквы. Например:
XIX -означает 10+(10-1)=19
Если складывать и вычитать в такой системе можно без особого труда, то умножать очень
сложно, а деление представляет собой непосильную проблему.
Вместе с тем в римской системе счисления есть одна важная идея: вклад буквы в число
зависит не только от самой буквы, но и от порядка следования этой буквы в записи числа.
Так, например, буква I дает вклад +1 в числоVI и вклад -1 в число IV. Развитие этой
идеи приводит к современным позиционным системам счисления.
о
с
Различные системы счета и записи чисел тысячелетиямин
сосуществовали и соревновались между собой, но к концу о
«докомпьютерной» эпохи особую роль стало играть число в
десять, а самой популярной системой кодирования чисел а
н
оказалась позиционная десятичная система. В этой
и
е
системе значение цифры в числе зависит от её
места(позиции) внутри числа.
с
Десятичная система пришла из Индии, где она появилась не
и
позднее VI века нашей эры.
с
т
В десятичной системе
е
счисления десять цифр,
м
В десятичной системе счисления информацию несет не только цифра, но и место, на которомы
она стоит. Особое место в десятичной системе счисления играет число 10 и его степени: 100,
с
Основание
системы
1000, 10000 и т.д. Например
число 1995 составляют:
5счисления
единиц, 9 десятков 9 сотен
ч
Основание системы
Основание
счисления
системы счисления
и одна тысяча:
и
с
л
е
Поскольку 1000=10^3, 100=10^2, 10=10^1, 1=10^0 (^ степень числа), можно написать еще и так
н
и
я
Из сказанного раньше видно, что любое десятичное число можно записать так:
N=an*10^n+an-1*10^(n-1)+an-2*10^(n-2)+…+a1*10^1+a0*10^0
Выбор числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется скорее традицией,
а не какими- то замечательными свойствами числа 10. Можно рассмотретьи системы
счисления с другим основанием р.
Записать число в N в р-чной системе счисления - это значит записать его в виде:
N=an*p^n+an-1*p^(n-1)+an-2*p^(n-2)+…+a1*p^1+a0*p^0
Где каждый из коэффициентов цифр ai может быть 0, 1, 2, 3, р-1, причем старшая цифра
an
ненулевая .
Взяв основание равным 2, получаем систему всего с двумя цифрами 0 и 1 и простой
таблицей умножения.
0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1 =1
К сожалению в такой системе счисления даже небольшие числа записываются слишком
длинно. Например, число 199510=111110010112
(в этой записи внизу после числа указано основание системы счисления)
Вопреки распространенному заблуждению, двоичная
система
была придумана не инженерами-конструкторами
электронных вычислительных машин, а математиками философами задолго до появления компьютеров,еще в
XVII
веке. Великий немецкий ученый Лейбниц считал:
«Вычисление с помощью двоек …является для науки основным и
рождает новые открытия…При сведении чисел к простейшим
началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский
математик и инженер Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной
системы счисления при конструировании электронных схем.
Разберемся в двоичной системе на примерах.
Как узнать,чему равно девятизначное число N=1111101002 в десятичной
записи? Составим таблицу из
из первых девяти степеней двойки : 20,21,22,…28и поместим в нее цифры
нашего двоичного числа
Единицы в этой таблице показывают, какие степени двойки нужно
сложить,чтобы получить число: