О нелинейных ленгмюровских волнах (НЛВ)  

О нелинейных ленгмюровских
волнах (НЛВ)
Уравнения Ахиезера-Половина
dE/dx = 4 e(n0 – n)
 n / t + d(nv)/dx=0.
 pe / t + v dpe /dx= – e E
pe= m ve
e = (1– v2/c2)-1/2
Уравнение для энергии электронов
 γe / t + v dγe /dx= – e Ev
     
x = (x – ut) wp /c, y = ej /(mc2), ℰ = dψ/dx,
где
wp = (4πn0 e2/m)1/2 .
              ,
       при n = n0 E=E0 , v =y = 0, e = 1.
Законы сохранения
E2 + 8πn0 mc2 (e –1) = E02
γe – 1 = ββeγe + ψ
Вводя обозначения
β = u/c, βe= v /c ,
γ = (1– β2)-1/2,  = ℰ02/2 = (dψ/dx)02/2.
из законов сохранения имеем
V(ψ, γ ) =  – ℰ 2/2 =
= γ 2(1+ ψ ) – 1 – β γ
 2 (1 y ) 2  1
Функция V(ψ, γ ) определена при y_*<y < ∞,
y_* – (– 1 )/  y_* – (– 1 )/
             m= –1.
  ℰ = dψ/dx,    
y+ =  + b
 2  2
y– =  – b
 2  2
График функции V(ψ)
 = E0 2/( 8πnomc2) = θ (  1)
θ = /m = (E0/Em)2  1, m =  – 1
dy/dx =
2 [ε  V(y ,  )]
Из этой формулы можно найти профиль НЛВ и w
w = w () = wp πb ∕J(,)
y
J(,) =

y

dy
  V (y,  )
w = wp (1 +  – 2  2 )1/2 (π/2) /E(k)
E(k) – полный эллиптический интеграл второго
рода. Его величина изменяется в пределах от 1 до
π/2. k = [1 – (1+  – 2  2 )2]1/2
 >> 1 ( >> 1, релятивистские волны)
w = wp (π/2)/(2)1/2 , l=4u(2)1/2/wp
При  << 1 (δ → 0 , волна бесконечно малой
амплитуды)
w = wp , l=2πu/wp
При
Выводы из теории, в которой ионы
неподвижны.
1.
2.
3.
4.
Решения в виде периодических НЛВ в
принятых приближениях существуют только
при амплитудах электрического поля меньше
предельной величины Em = [8πnomc2(  1)]1/2.
Фазовая скорость НЛВ не превышает скорости
света в вакууме. В этом отличие точного
решения для НЛВ бесконечно малой
амплитуды от решений, полученных в
линейном приближении для ленгмюровских
волн в холодной плазме.
Потенциал НЛВ представляет собой
периодическую структуру, причем амплитуда
положительной части потенциала y+ при
 > 1 существенно больше амплитуды
отрицательной части |y– | (y+ /|y–_| ≈ 2.
Профиль положительной части имеет
преимущественно или косинусоидальную, или
параболическую зависимость от координаты.
Отрицательная часть потенциала имеет либо
форму пилы ( > 10), либо форму косинуса
(d < 0,1,  < 10–3 ), либо форму кривых,
лежащих между графиками косинуса и пилы.
Получена простая формула для частоты
нелинейной ленгмюровской волны
w ≈ wp [1 +  – ( 2+ 2 )1/2]1/2,
где  = θ (  1). Частота зависит от двух
параметров задачи: θ (амплитуда волны) и 
(скорость волны).
НЛВ с учетом динамики ионов
             μ = M /m >> 1 .
w (, m ) ≈ wp π (μ + 2 )/ [μ(2)1/2],
 = θ (  1), μ = M/m.
   << μ               
1/()1/2.   >> μ     
        1/2 . wmin= 2π wp / μ1/2 при
min = μ/2 .
где
w  wp при  = μ2/(2 π)2.
                   μ =
1.
w () ≈ wp π()1/2/2,        
                1/2 .
Выводы из теории НЛВ, в
которой учтена динамика ионов
1. Остаются в силе выводы об
ограничении скорости НЛВ: u ≤ c и о
предельном поле волны, величина
которого
Em  {1+1/[2m( +1)]} Em0  Em0 ,
где Em0 = [8πnomc2(  1)]1/2 .
2. При учете движения ионов по мере
увеличения скорости волны частота её,
как и в теории с неподвижными ионами,
уменьшается, но только до некоторого
минимального значения. Затем, при
дальнейшем росте скорости, частота
начинает увеличиваться, при некоторой
скорости волны снова становится
равной плазменной и для
ультрарелятивистских волн в холодной
плазме частота неограниченно растет
при стремлении скорости волны к
скорости света.
3. Профили положительной части
потенциала с учетом движения ионов
при 1 < ε < 100 тоже параболы, далее,
при увеличении ε они слегка начинают
отличаться от параболы, принимая
форму, близкую к косинусу при
ε = 1000, а затем наблюдается более
сильное отличие формы волны от
параболы (или косинуса) и
существенное отличие профилей имеет
место при ε > 104. Согласно расчетам,
при ε > 104 профиль приобретает
пилообразную форму. Профиль
отрицательной части потенциала волн
имеет пилообразную форму при ε > 10
как в приближении, где принято, что
μ → ∞ , так и в теории, в которой
параметр μ считается конечным.
1. А.И.Ахиезер, Г.Я.Любарский. //ДАН.
1951.Т.80.№2. С.193.
2. А.И.Ахиезер, Р.В.Половин. //ДАН.
1955.Т.102. №5. С.919.
3. А.И.Ахиезер, Р.В.Половин. //ЖЭТФ.
1956.Т. 30. С.915.
4. A.Cavalier. //Nuovo Cimento.1962.V.23. P.440.
w = wp (π/2)(1 – k2 )1/2 /[2E(k) – (1 – k2 )K(k)] =
wp (π/2)(1 + γm )1/2 /{21/2[(1 + γm )E(k) – K(k)]}
k = {[1 – (1 – Vm2 )1/2] /[1 + (1 – Vm2 )1/2]}1/2=
[(γm – 1)/(γm + 1)]1/2 .
V m = vm /c
e E = 21/2 mwpc [1/(1 – Vm2 )– 1/2 –1/(1 – V 2 )– 1/2]1/2
при V = 0
vm = u
E = E m = 21/2 mwpc (γm – 1)1/2 /e
при
  m=  – 1