Неравенства и системы неравенств за курс средней

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №37
с углубленным изучением отдельных предметов г. Чебоксары
Методическая разработка
«Неравенства и системы неравенств
за курс средней школы»
автор: Алексеева Галина Николаевна
учитель математики МОУ СОШ №37
Чебоксары - 2008
Содержание
Введение.
1. Неравенства и системы неравенств за курс средней школы.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Неравенства с одной переменной и их решения;
Линейные неравенства с одной переменной;
Квадратичные неравенства;
Системы линейных неравенств с одной переменной;
Решение двойных неравенств. Дробные неравенства;
Иррациональные неравенства;
Неравенства с модулем;
Решение рациональных неравенств методом интервалов;
Показательные неравенства;
Логарифмические неравенства;
Метод интервалов (обобщенный);
Графический способ решения неравенств с одной переменной;
Тригонометрические неравенства;
Неравенства с двумя переменными;
Графический способ решения неравенств с двумя переменными.
2. Приложения.
1. Тест №1 (из 6 заданий);
2. Тест №2 (из 5 заданий);
3. Тест №3 (в двух вариантах из 10 заданий);
4. Конспект четырехурочного цикла по теме: «Решение неравенств с одной
переменной». 8 класс;
5. Ожидаемый результат;
6. Заключение;
7. Список использованной литературы.
Введение.
Цель современного образования – обучение и всестороннее развитие
личности, способной к творчеству. Для достижения этой цели существует
много программ, множество технологий обучения.
В условиях современного развития и расширения доступности открытых
информационных систем, передача «готовых знаний» перестает быть
главной задачей учебного процесса, снижается функциональная значимость и
привлекательность традиционной организации обучения. Основная задача
обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное
овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни дисциплин и продолжения образования.
Хотелось бы сказать, что хорошее математическое образование и развитие
математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии
займется научными исследованиями в области математики, но и тому, кто
станет экономистом, организатором производства и так далее.
Неравенства встречаются на протяжении всего курса математики. С
точки зрения математической логики неравенство является высказыванием.
С помощью неравенства задаются основные числовые множества,
формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной
последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. На
языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих
приложениях математики. Во многих разделах математики, особенно в
математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются
значительно чаще, чем равенства. Но бывает, что для доказательства
неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или
аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание
основных дебютов, так и математику полезно знать некоторое часто
встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них –
красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным
образом. Методы математического анализа, в свою очередь, удобное
средство доказательства неравенств для функций от одной переменной.
В ходе своей методической работы я стараюсь добиваться того, чтобы
при умелом руководстве учителя, ученик, в ходе своей практической
деятельности, с умением использовал свои приобретенные навыки и
осознанно умел исправлять допущенные им ошибки и дальше закреплял свой
опыт за счет усвоенных устных и письменных форм работы. Конечную цель
в обучении я вижу в том, чтобы современный молодой человек был
востребованным со своими умениями и навыками в современном и очень
сложном мире; чувствовал себя уверенно и сумел стать настоящим
профессионалом в своем деле, коим он станет именно благодаря своим
знаниям в области математики.
1.Неравенства и системы неравенств с одной переменной
1.1 Неравенства с одной переменной и их решения
Неравенством с одной переменной (неизвестным) называются два
выражения с переменной( неизвестным), соединенные знаком
неравенства:>(больше), <(меньше),≥(больше или равно; не меньше),≤
(меньше или равно; не больше).
Решением неравенства называется значение переменной ( неизвестного),
при котором неравенство превращается в правильное числовое неравенство.
Например, число 5 является решением неравенства x2-6х<0,
поскольку 52-6∙5<0
Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что их
нет.
Решениями неравенства является некоторое подмножество действительных
чисел.
Некоторые подмножества действительных чисел, их обозначение,
изображение на координатной прямой и запись в виде неравенства.
Название
Обозначение
Числовая прямая
(−∞;+∞),R
Изображение
Запись в виде
неравенства
−∞ <х< +∞
Закрытый
[a;b]
промежуток(
отрезок)
Открытый
(a;b)
промежуток(интервал)
Полуоткрытый
[a;b)
промежуток
(a;b]
а≤х≤b
Бесконечный
промежуток(луч)
(−∞;а]
х≤а
(−∞;а)
х<а
(а;+∞)
х>а
[а;+∞)
х≥а
а<х<b
а≤х<b
а<х≤b
1.2. Линейные неравенства с одной переменной
Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида
ах+b>0, ах+b<0, ax+b≥0, ax+b≤0.
Схемы решения линейного неравенства
1.3 Квадратичные неравенства
Квадратичными неравенствами называются неравенства вида ax2+bx+c>0 , ax2+bx+c<0 ,
ax2+bx+c≥0 , ax2+bx+c≤0 , (a≠0).
Решения квадратичных неравенств
Схема
Квадратичное неравенство
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
a>0,
(-∞; x1) U
U(x2;+∞)
(x1 ; x2)
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c≤0
(-∞; x1] U
U[x2;+∞)
[x1 ; x2]
D>0
(-∞; x0) U
U(x0;+∞)
a>0, D=0
Ǿ
(-∞;+∞)
x0
(-∞;+∞)
(-∞;+∞)
Ǿ
Ǿ
a>0,
D<0
(x1 ; x2)
(-∞; x1) U
U(x2;+∞)
[x1 ; x2]
(-∞; x1] U
U[x2;+∞)
a<0, D>0
x0
(-∞;+∞)
Ǿ
(-∞; x0) U
U(x0;+∞)
Ǿ
(-∞;+∞)
Ǿ
(-∞;+∞)
a<0,
D=0
a>0,
D<0
1.4 Системы линейных неравенств с одной переменной
Системы вида :
a1x>b1
a2x>b2
a1x>b1
a2x<b2
a1x<b1
a2x<b2
a1x<b1
a2x>b2
называются системами двух линейных уравнений с одной переменной. (Вместо знаков>,<
могут быть знаки ≥,≤.)
Чтобы решить систему неравенств, надо каждое неравенство системы решить отдельно, а
потом найти решение системы как пересечение множеств решений неравенств.
Возможные случаи решения систем линейных неравенств
Системы
Решение и его геометрическая
Пример
линейных
иллюстрация
неравенств (a>b)
x>a,
x>b
x€(a;+∞)
x€(3;+∞)
x<a,
x<b
x€(-∞;b)
x€(-∞;2)
x<a,
x>b
x>a,
x<b
x€(b;a)
x€(1;4)
Решений нет
Решений нет
Неравенства вида f(x)g(x)>0 и f(x)g(x)<0
Неравенство f(x)g(x)>0 равносильно двум системам:
f(x)>0,
f(x)<0,
g(x)>0 или
g(x)<0 .
Неравенство f(x)g(x)<0 равносильно двум системам:
f(x)<0,
f(x)>0,
g(x)>0 или g(x)<0 .
1.5 Решение двойных неравенств
Двойное неравенство f(x)<g(x)<h(x) равносильно системе неравенств
f(x)<g(x)
2x-1>-3,
2x>-2
x>-1
g(x)<h(x).
2x-1≤3;
2x≤4
x≤2
Пример решения: -3<2x-1≤3
Ответ. (-1;2]
Тогда x€(-1;2]
Дробные неравенства
Неравенство
>0 равносильно двум системам неравенств:
f(x) > 0,
g(x) > 0 или
f(x) <0,
g(x) < 0.
Неравенство
<0 равносильно двум системам неравенств:
f(x) > 0,
g(x) < 0 или
f(x) <0,
g(x) >0.
Неравенство
f(x)≥ 0,
≥0 равносильно двум системам неравенств:
f(x)≤ 0,
g(x) >0 или
Неравенство
g(x) <0.
≤0 равносильно двум системам неравенств:
f(x)≥ 0,
f(x)≤ 0,
g(x) <0 или g(x) >0.
1.
Примеры решения:
x – 2> 0,
x>2
x – 7 > 0;
x<7 Тогда x€ (7;+∞).
>0. 1)
x – 2 < 0,
x – 7 < 0;
2)
x<2
x<7 Тогда x€ (-∞;2).
Ответ: (-∞;2) U(7;+∞).
1.
>0. 1)
2x – 1≤0,
3 – x > 0;
2x≤1,
x<3;
x≤0,5
x<3
Тогда x€ (-∞;0,5].
2x – 1≥0,
2) 3 – x <0;
2x≥1,
x>3;
x≥0,5,
x>3.
Тогда x€ (3;+∞).
Ответ. (-∞;0,5] U[3;+∞).
1.6 Иррациональные неравенства
Простейшие иррациональные неравенства
<a, n є N
a>0
0≤x<a2n
a=0
Решений нет
ненет
<a, n є N
x<a2n+1
>a, n є N
a<0
Решений нет
a>0
a=0
a<0
x>a2n
x>0
ненет
x≥0
>a, n є N
x>a2n+1
Неравенства
(x) и f(x)<g2n+1(x).
<g(x) , n є N, равносильны неравенствам f(x)>g2n+1
>g(x) и
Пример решения:
3
+x2-5x+6 <x, x3+x2_5x+6<x3, x2-5x+6<0, (x-2)(x-3)<0
Тогда x є (2;3).
Ответ.(2;3).
Неравенство
< g(x), n
Пример решения:
2
є Nравносильно системе
4-x>0,
4x-x2< (4-x)2,
4x-x2≥0;
<4-x,
g(x)>0,
f(x)<g2n(x),
f(x)≥0.
x<4,
4x-x2<16-8x+x2 ,
x(4-x)≥0;
x<4,
2x2-12x+16>0,
x(4-x)≥0;
x є (-∞;4),
x<4,
(x-2)(x-4)>0,
X(4-x)≥0;
є (-∞;2)U(4; -∞). Тогда x є [0;2).
x є (0;4)
x
Ответ.[0;2)
Неравенство
> g(x), n
g(x)≥0,
f(x)>g2n(x) или
Пример решения:
1)
Тогда x
є N равносильно объединению систем
g(x)<0,
f(x) ≥0.
>2x-8.
2x-8≥0,
X2-5x+4>(2x-8)2;
x≥4,
3x2-27x+60<0;
x≥4,
x2-9x+20<0;
є (4;5) .
2) 2x-8≥0,
X -5x+4 ≥0;
2
x<4
x є (-∞;4);
(x-1)(x-4) ≥0;
x є (-∞;1] U [4;+∞);
Тогда x є (-∞;1]
Ответ. (-∞;1] U [4;+∞).
Неравенство
f(x)>g(x)
g(x) ≥0.
>
), n
є N равносильно
системе
x≥4
4<x<5
Пример решения:
≥
x2-x-2≥0,
x2-4≥0;
x є (-∞;-1] U [2;+∞),
(x-2)(x+1) ≥0,
(x-2)(x+2) ≥0,
,
2x2-x-6≥x 2 -4,
x2-4≥0;
x
є (-∞;-2] U [2;+∞).
Тогда x є (-∞;-2] U [2;+∞).
Ответ. (-∞;-2] U [2;+∞).
1.7 Неравенства с модулем
Простейшие неравенства с модулем
|x-b|<a
|x-b|≥a
a≤0
Решений нет
b-a<x<b+ a
x≤ b-aa>0
или
x≥b+a
a≤0
a>0
xєR
Неравенство |f(x)|< a (где a ≥ 0) равносильно двойному неравенству
-a < f(x) < a
или системе f(x) > -a,
f(x) < a.
Пример решения: |x2 + 5x| < 6, -6 < x2 + 5x < 6. x2 + 5x < 6,
x є (-6;1),
x2 + 5x > -6;
x є (-∞;-3)U(-2;+∞).
x2 + 5x – 6 < 0,
x2 + 5x – 6 > 0;
Тогда x є (-6;-3)U(-2;1).
Ответ. (-6; -3)U(-2;1).
Неравенство |f(x)| > a, где a ≥ 0, равносильно объединению неравенств
Пример решения: |3 – x| > 2,
3 - x > 2,
3 – x < - 2;
x < 1,
x > 5.
x є (-∞; 1)U(5;+∞).
Ответ. ( - ∞; 1)U(5; + ∞).
Неравенство |f(x)| > g(x) равносильно объединению неравенств
Пример решения: |3x - 2| > 2x + 1, 3x – 2 > 2x + 1,
3x – 2 < - 2x -1;
f(x) <- a
f(x) > a.
x > 3,
5x < 1;
f(x) > g(x),
f(x) < -g(x).
,
,
Ответ:
x > 3,
Х<0,2
x є (-∞; 0,2)U(3; +∞).
Неравенство |f(x)| < g(x) равносильно системе
f(x) < g(x),
f(x) > -g(x).
Пример решения: |2x – 5| ≤ x,
x ≤ 5,
3x>
2x – 5 ≤ x,
2x – 5 ≥- x;
x ≤ 5,
x≥1 .
Тогда x є[1 ;5]. Ответ. [1 ;5].
Неравенство |f(x)|>g(x)| равносильно неравенству f2(x)>g2(x) или неравенству (f(x)g(x))(f(x0+g(x))>0.
Пример решения: |3+x|≥|x|, (3+x)2 ≥x2, 9+6x+x2 ≥ x2 ,6x ≥-9, x≥- , x≥-1,5. Ответ. [-1,5;+∞)
Если неравенство содержит несколько модулей, то находят значения x , при которых
выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю. Найденные значения x разбивают
числовую прямую на интервалы, на каждом из которых выражение под модулем
сохраняет знак. А потом на каждом интервале раскрывают модули и решают полученную
систему. Объединение найденных решений составляет множество решений данного
неравенства.
Пример решения: |x-1|+|x-2|>x+3
Рассмотрим три случая.
x<1,
x<1,
1) 1-x-x+2>x+3;
2)
x<0;
x<0;
1≤x≤2
x-1-x+2>x+3 ;
x>2
3) x-1+x-2>x+3;
1≤x≤2,
x<-2;
решений нет;
x>2
x>6;
x>6.
Ответ. (-∞;0) U (6;+ ).
1.8 Решение рациональных неравенств методом интервалов
Чтобы решить неравенство f(x)>0 (f(x)<0), где
f(x )
надо:
1)Изобразить числа a1 ,a2, …, an на координатной прямой (эти числа, расположенные в
порядке возрастания, разобьют координатную прямую на n+1 промежутков, на которых
функция f(x) сохраняет свой знак, т.е. если a1 и ak - соседние точки, то для x є(a1 , ak)
функция сохраняет знак):
2) Определить знаки функции f(x) на каждом из промежутков;
3) Записать ответ.
Такой метод решения неравенств называется методом интервалов.
Пример решения:
(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)<0. Обозначим на координатной прямой нули функции (x+4)(x+2)(x1)(x-3)=0, найдем знак функции на каждом промежутке.
Из рисунка
1)(x-3)<0, если
видно, что (x+4)(x+2)(xx є (-4;-2) U( 1;3).
1.9 Показательные неравенства
Простейшие показательные неравенства
ax>b, a>0, a
ax<b, a>0, a
≠1
≠1
b≤
0
b≤
0
b<
0
b>
0
xєR
Решений
нет
x<logab
v
x>logab
x>logab
v
x<logab
0<a<
1
a>1
0<a<
1
a>1
af(x)>b, a>0, a
≠1
af(x)<b, a>0, a
≠1
b≤
0
b≤
0
b>
0
b>
0
xєR
Решений
нет
a>1
a>1
f(x)<loga
b
0<a<
1
f(x)>loga
b
v
f(x)>loga
b
0<a<
1
f(x)<loga
b
v
Неравенство af(x)>ag(x) (af(x)>ag(x))), если f>1, равносильно неравенству f(x)>g(x)
(f(x)>g(x)).
Примеры решений:
1. 78- x2≤72x; 8-x2≤2x; -x2-2x+8≤0; x2+2x-8≥0; (x+4)(x-2) ≥0.
Отсюда xє (-∞;-4)U[2;+∞). Ответ. (-∞;-4)U[2;+∞).
x2-2
2.
≥
x
; x2-2≤x; x2-x-2≤0; (x-2)(x+1) ≤0.
Отсюда xє [-1;2] Ответ. [-1;2]
Логарифмические неравенства
2.1.Простейшие логарифмические неравенства
Неравенство loga f(x)<loga g(x) равносильно:
1)системе
f(x)<g(x),
f(x)>0 , если a>1;
2) системе f(x)>g(x),
g(x)>0, если 0<a<1.
Пример решения:
Log8 (5x-8)<log8 (2x+7);
5x-8<2x+7,
5x-8>0;
3x<15,
5x>8;
x<5,
x>1,6.
Тогда x€ (1,6;5). Ответ. (1,6;5).
Неравенство logh(x)f(x)<logh(x)g(x)
Равносильно объединению систем неравенств
h(x)>1,
f(x)<g(x), и
f(x)>0
h(x)>0
h(x)<1
f(x)>g(x)
g(x)>0.
Пример решения: logx+1 (x+3)>1, logx+1 (x+3)> logx+1 (x+1).
x+1>1 ,
1)
x+3>x+1,
x+1>1,
x>0 ,
x+1>0
0x>-2
0x> -2
x>0; x€ (0;+∞).
2)
x+1>0,
x+1<1,
x+3<x+1,
x+3>0.
x>-1,
x<0,
0x<-2,
X>-3. Нет решений, поскольку неравенство 0 х<-2 не имеет решений.
Ответ. (0;+∞).
2.2. Метод интервалов (обобщенный)
Используется при решении неравенств
f(x)>0;
f(x)<0;
f(x)≥0;
f(x)≤0. Метод основан на том, что непрерывная на
промежутке функция может изменять знак только в
тех точках, где ее значение равно нулю(но может и не
изменять)
Решая неравенство методом интервалов, надо:
1)найти область определения функции y=f(x);
2)найти значение x, при которых функция равна нулю (найти нули функции):f(x)=0;
3) разбить область определения на промежутки, каждый из концов которого является
корнем уравнения f(x)=0 или конечной точкой промежутка определения функции
y=f(x);
4) определить знак f(x) на каждом из образовавшихся промежутков;
5) объединить промежутки, на которых функция f(x) удовлетворяет неравенству, во
множество решений.
Пример решения:
(3х-6)log0,5 x>0.
Пусть y=(3x-6)log0,5x. D(y)=(0;+∞).
Найдем нули функции:
(3x-6)log0,5 x=0;
Log0,5x=0;
3x-6=0,
x=1.
x=2,
х=1
Разобьем область определения функции на промежутки точками 2 и 1 и найдем знаки
функции на каждом промежутке.
0
1
2
Итак, x€ (1;2). Ответ.(1;2).
2.3.Графический способ решения неравенств с одной
переменной
Для графического решения неравенства f(x)>g(x) нужно построить графики функций
y=f(x) и y=g(x) и выбрать те промежутки оси абсцисс , на которых график функции y-g(x)
расположен выше графика функции y=g(x).
Пример решения: loga x≤ 4-x.
Построим графики функции y=loga x и y=4-x в одной
системе координат. Графики пересекаются в точке А с
абсциссой x=3. Из рисунка видно, что множеством
решений данного неравенства является промежуток
(0;3].
Ответ. (0;3].
2.4. Тригонометрические неравенства
Решение неравенств sint >a, sint<a
НераЗначение
венство a< -1
-1≤a<1
arcsin a +2∏n<t<∏sint>a
t€R
arcsin a+2∏n,
n€ Z
Неравенство a≤ -1
Решений
Sint<a
нет
Значение
-1≤a<1
-∏-arcsin a +2∏n<t<
arcsin a+2∏n,
n€ Z
Решение неравенств cost>b, cost<b
НераЗначение
венство b< -1
-1≤b<1
t€R
-arccosb +2∏<t<∏cost>b
arcosb+2∏n,
n€ Z
Неравенство b≤ -1
Решений
Cost<b
нет
Значение
-1≤b<1
arccosb +2∏<t<2∏arcosb+2∏n,
n€ Z
a≥1
Решений
нет
a>1
t€R
b≥1
Решений
нет
b>1
t€R
Решение неравенств tgt>a, tgt<a
a€R
Неравенство
tgt>a
arctg a+∏n<t< + ∏n, n€Z
Tgt<a
- +∏n<t<arctg a+∏n, n€Z
Решение неравенств ctgt>a,ctgt<a
a€R
Неравенство
ctgt>a
∏n<t<arcctg a+ ∏n, n€Z
Ctgt<a
Arcctg a+∏n<t< ∏+∏n, n€Z
2.5.Неравенства с двумя переменными
Решение и график неравенства
Решением неравенства f(x,y)>0
f(x, y)<0 , f(x, y) ≥0, f(x, y) ≤0) называется
упорядоченная пара чисел, которая превращает его в правильное числовое неравенство.
Графиком неравенства с двумя переменными x и y называется множество всех точек
координатной плоскости с координатами (x;y), где каждая пара (x;y) является решением
данного неравенства.
Графики некоторых неравенств
2.6. Графический способ решения систем неравенств с двумя
переменными
Чтобы построить на координатной плоскости решение системы неравенств, надо:
1) выполнить равносильные преобразования системы так, чтобы удобно было строить
графики всех неравенств, которые входят в систему;
2) построить эти графики и найти пересечение областей.
Пересечение областей представляет собой решение системы
неравенств.
Система
y≥f(x)
y≤f(x),
имеет решение, а именно – множество точек, принадлежащих
заштрихованной области
пример решений:
Множеством решений первого неравенства является круг с радиусом 2 и центром в
начале координат. Множеством решений второго неравенства является полуплоскость.
Множеством решений системы является пересечение этих множеств, т.е. полукруг.
Тест №1
При выполнении заданий выберите иллюстрацию,
соответствующую промежутку или решению неравенства или
системе неравенств.
1)
а)
б)
в)
г)
б)
в)
г)
2)
а)
3)
а)
б)
в)
б)
в)
г)
4)
а)
г)
5)
а)
б)
в)
г)
6)
а)
б)
в)
г)
Тест №2
1) Решаем неравенства
а) [-1;∞)
>-1 является
б) (- ∞;∞)
в) [0;∞)
2) Решением неравенства
а) (-∞;-1)
б) [1; ∞)
<-
г) (-2;2)
является
б) (-∞;-3)U(2; ∞)
в) (2; ∞ )
4) Решением неравенства
а) (-∞;-1)U(5; ∞)
б)(-1;5)
б) (-∞;1)
г) (- ∞;-3)
является
в) (-1;2)U(2;5)
5) Решением неравенства
а) (1; ∞)
является
в) ø
3) Решением неравенства
а) (-3;2)
г) (-∞;-1)
г) (-∞;2)
является
в) ( ;1)
г) ( ;∞)
Неравенства и их
Тест №3
свойства
Вариант I
1. Если-2m < , то какие из перечисленных неравенств
верны?
(А) m> -n ;
а) A ;
(B) m<-
;
б) Bи D ;
(С) m>-
;
в) B;
(D)8m> -2n.
г) С.
2. Если -6a>2b+12, то какие из перечисленных
неравенств верны?
(А) a< -2;
(С) a-1> -3;
(В) a> -2;
(D) a+3< +1.
а)А ;
б) A и D ;
в) B и C ;
г) В.
3. Если a>b, 0<b, c<b, 0>c, то расположите в порядке
возрастания числа a, b, c и 0
а)c,b,0,a;
в)c,0,b,a;
б)a,b,0,c;
г)0,c,b,a.
4. Даны выражения
M=6aКакое из высказываний верно?
и N=(2a-3)(2a+3)
Неравенства и их свойства
Тест № 3
Вариант II
1. Если-6a < , то какие из перечисленных неравенств верны?
(А) b> -12a ;
а) В и С ;
(B) a<-
;
б) А и D ;
(С) 24a <-2b;
в) А,D и С ;
(D)a> -
;
г) А,В и С
2. Если -10<2n – 6, то какие из перечисленных неравенств
верны?
(А) m<- 0,2n + 0,6;
(С) –m < 0,2n – 0,6 ;
(В) m>- 0,2n + 0,6;
(D) m - 1 > -0,2 – 0,4.
а)А и С
б) В и С
в) А и D
г) В,С и D
3. Если n <k, 0>n, m<n, k>0, то расположите числа m, n, k и 0 в
порядке убывания:
а)k,0,n,m;
в)k,n,m,0;
б)m,n,0,k;
г)0,k,m,n.
4. Даны выражения
A=(4-3a)(4+3a) и B=8a+
Какое из высказываний верно?
а) A≥B;
б)A>B;
в) А < B ;
5. Сравните выражения M и N, если
M=
a) M≥N;
б) M≤N;
г) A≤B.
и N=4ab.
в) M<N;
г) M>N.
Ожидаемый результат
В процессе изучения «Неравенств и систем неравенств с одной переменной»
формируются следующие знания и умения:
1.Составляется та база, на которой основано решение линейных неравенств
с одной переменной. В связи с решением неравенств с одной переменной
формируется понятие о числовых промежутках и их соответствующих
обозначениях.
2.Умение решать линейные неравенства является опорным для решения
систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких,
которые записаны в виде двойного неравенства.
3.Умение решать неравенства и их системы является основой для решения
квадратных, показательных, логарифмических неравенств.
4.В результате повторения свойств квадратичной функции (нахождение
координат вершины и определение направления ветвей параболы) учащиеся овладевают методом решения квадратных неравенств с помощью
графика квадратичной функции.
5Затронутая тема решения неравенств с одной переменной систематизирует
сведения учащихся об изученных видах неравенств, систем неравенств и
методах их решений.
6.При изучении простейших показательных, логарифмических,
тригонометрических неравенств учащиеся могли бы воспользоваться
теми же методическими приемами, что и при решении простейших
неравенств.
7.Освоить приемы решений как простых, так и повышенной сложности
неравенств и систем неравенств, использовать для описания математических ситуаций графический и аналитический языки; применять
геометрические представления для решения и исследования неравенств и
систем неравенств.
Четырехурочный цикл по теме:
"Решение неравенств с одной
переменной"
Учебник Ю. Н. Макарычев, Н. Г.
Миндюк и др. “Алгебра. 8 класс”
Первый урок. Урок изучения нового материала
I. Контроль знаний по предыдущему циклу. Математический
диктант.
Проводится “под копирку”, листы раздаются заранее. Учитель
использует для диктанта карточки двух цветов – синий для 1 варианта
и красный для 2 варианта. Второй вариант выделен квадратными
скобками.
1. Дана аналитическая модель: неравенство Х 5; [Х >3]. Записать
числовой промежуток, соответствующий данному неравенству и
изобразить геометрическую модель данного неравенства.
2. Дана аналитическая модель неравенства 2 < Х < 5; [ 3 Х < 4 ] .
Записать числовой промежуток, соответствующий данному
неравенству и изобразить геометрическую модель данного
неравенства.
3. Какие неравенства (аналитические модели) соответствуют
промежутку
а) [0; + ); [ (- ; 7] ]
б) (- ; 5); [ (5; + ) ]
4. Верны ли следующие утверждения:
а) 5
[ 3; 7]; [ 12
б) - 17
[ 12; + ) ]
(-17; + ) ;
[
14,9
[13; 15 ] ]
5. Продолжите фразы:
а) Если a > b, то b ……. a. ;
[ Если a > b и b > m, то a …….. m. ]
б) Если m > n и c > 0, то mc ……. nc.;
c. ]
[ Если m > n, то m + c …. n +
Сдаются первые экземпляры. Учитель проверяет их позже, но на
“крыле” доски записаны ответы, тем же цветом, какой был у каждого
варианта.
1 вариант
2 вариант
1. [ 5 ; + )
1. ( 3 ; + )
2. (2;5)
2. [3;4)
3. а) х 0; б) х< 5
3. а) х 7; б) х > 5
4. а) да; б) нет
4. а) да; б) да
5. а) b < a; б) mc > nc
5. а) a > m; б) m+c > n+c
По этой записи, пользуясь копиями, ученики проверяют свою работу:
учитель напоминает задания, а ученики объясняют полученные
ответы. Правильные ответы отмечаются плюсами, неправильные –
минусами.
II. Объяснение нового материала с обязательным
структурированием материала в виде плана, схемы, конспекта.
1) Задание: “Рассмотрим неравенство с одним неизвестным 5х-11> 3.
При каких значениях х неравенство обращается в верное числовое
неравенство, а при каких – нет?”. В ходе обсуждения, дается
определение решения неравенства. Проверяется, являются ли
решением неравенства 7х > 32 числа 7 и –6 ?
2) Формулируется определение равносильных неравенств и их
свойств.
3) Примеры сведения неравенств к простейшему виду:
18 + 6х > 0 16х > 13х + 45 15х - 23 ( х + 1) > 2х + 11
6х > - 18
16х – 13х > 45 15х – 23х – 23 > 2х + 11
х > -18 : 6
х > 45 : 3
-10х > 34
х> -3
х > 15
х < - 3,4
4) Составление схемы ориентировочной основы действия. <
Приложение 1>
III. Репродуктивное (первоначальное) закрепление.
1) Решение типовых заданий. Учебник “Алгебра 8”, автор Ю. Н.
Макарычев и др.
№ 782 – устно (Отвечают несколько человек, остальные показывают
свое согласие или несогласие с полученным ответом поднятием руки.
Метод “Да – Нет”. )
№ 783 – самостоятельно (Решение записано на боковой доске); № 784
(1 столбик) – решение у доски с комментированием; № 788 (1 столбик)
– решение у доски с комментированием.
2) Домашнее задание: § 12, п. 31, вопросы 2,3, стр. 173-174. № 781,
785 (а-д), 789 (а-г)
Второй урок цикла. Урок-практикум
I. Организация работы в парах.
1) Фронтальный разбор задач с применением метода “Да – Нет”.


Являются ли решениями неравенства 2х-1< 4 числа 3 и 0,3?
Решите неравенства и сформулируйте алгоритм выполнения
задания:
а) 2х+1> 5
б)
2) Необходимо создать работу в парах для равноправного общения.
Пары гомогенные, т. е. уровень подготовки одинаковый. Исключение
составляют те дети, которые заведомо нуждаются в очень серьезной
помощи, их лучше посадить со среднеуспевающими, отзывчивыми,
готовыми прийти на помощь.
II. Практикум. Задание записано на доске:
№ 788 (д-з) – решите неравенство;
2) № 792 (а, б, г, е) – решите неравенство;
3) № 794 (а) – решите неравенство и покажите на координатной
прямой множество его решений;
4) № 797 (а, в, д) – решите неравенство.
Учитель дает инструкцию о порядке выполнения работы. Одно и то же
задание всем. Можно выполнить все задания, советуясь с соседом.
Цель – дотягивать “2” до “3”, “3” до “4”. Не забудьте предупредить, что
работа рассчитана не на весь урок, а на 25-30 минут. За 10-15 минут
до конца урока начнется проверка. Те пары, которые закончат раньше,
будут первыми опрошены учителем и станут его помощниками.
На первых уроках полезно вывесить плакат с инструкцией о порядке
работы:
1. Задачу нужно стараться решить самостоятельно. Если не
получается – можно обратиться к соседу за помощью.
2. Объясняя решение, надо ссылаться на соответствующее место в
краткой схематической записи.
3. Если задача не выходит у обоих, попробуйте вместе разобраться в
кратких схематических записях и вспомнить соответствующее
правило. В случае неудачи, обращайтесь к учителю или начните
решать следующую задачу.
4. Ученик, справившийся с задачей, должен проверить, правильно ли
ее решил сосед.
5. По очереди рассказывайте друг другу правила, которыми пришлось
пользоваться при решении задач, и показывайте друг другу, как вы
ими пользовались. Обычно соседям по партам ставят одинаковые
отметки: оценивается ответ пары учеников. Это стимул думать и о
соседе. Исключение составляют пары, в которой один ученик
помогает другому: при удовлетворительном ответе “подшефного”
хороший ученик получает свою “4” или “5”.
Итак, первая пара опрашивается учителем и становится
ассистентами, помогает опрашивать других. Те ученики, которые
выполнили задание, делают домашнюю работу.
Домашняя работа: № 789 (д-з) № 793 (а,в,д) № 796 (г)
Третий урок цикла. Урок общения
Дети сидят парами (пары гомогенные), как на уроке решения задач,
повторяют теоретический материал по учебнику, по опорному
конспекту. На доске написаны вопросы, на которые они должны
ответить. Сначала пара учеников проверяет друг друга по учебнику и
по конспекту, а затем отвечает учителю, который готовит их
опрашивать других и дает инструктаж: на что обратить внимание при
опросе. Так пара, готовая ответить, отвечает учителю или
ассистентам. Урок имеет воспитательное значение. Обычно на таком
уроке стоит рабочий шум. Надо научить говорить в четверть голоса,
“тушить” голос. Заранее на доске записаны вопросы и домашнее
задание.
I. Организация работы в парах.
II. Практикум.
1) На доске вопросы:






Что значит решить неравенство?
Сформулируйте алгоритм решения неравенств первой степени с
одной переменной.
Какие тождественные и равносильные преобразования
необходимо выполнять в процессе решения неравенств?
Какие свойства равносильных неравенств вы знаете?
На примере решения неравенства (2х-5)2-0,5х< (2х-1) (2х+1)-15
объясните, какие тождественные преобразования необходимо
выполнить в процессе решения и на какие свойства неравенств
вы опирались. Какие формулы необходимо применить?
Аналогично объясняя свои действия как в п. 5, решите
неравенства:
или
а)
?
б)
в) 3у2-2у-3у(у-6) -2
3х+8 0
3(2+х)< 4-х
г)
д) 2а-1< 7-1,2а
3
Домашнее задание: п. 31, № 798 (а, в, д), 803 (а)
III. Ответы учащихся.
Учитель проверяет работы первых двух пар, которые становятся
консультантами. Консультанты оценивают работы других учащихся
(по указанию учителя).
Четвертый урок цикла. Урок самостоятельной работы
I. Решение задач, аналогичных первым трем –четырем задачам
самостоятельной работы – обязательный минимум, усвоение не ниже
“удовлетворительно”.
-1
б) 15х 0
в) 1,7-3 * (1-m) - (m-1,9)
г)
Учитель предлагает всем решить примеры (из учебника, написанные
на доске, через графопроектор). Указывается время, через которое
начнется проверка – 2-3 мин. на номер. Один из учащихся называет
свой ответ, дети сигнализируют методом “Да – Нет”.
II. Проверка знаний, умений и навыков учащихся по данной теме.
1) Самостоятельная работа.
Решите неравенства:
1 вариант
2 вариант
а) –0,2х 2
а) 4х < 0,8
б) 2х > 0
б) –0,5х -5
в) 0,3( 8-3у) 3,2-0,8( у-7) в) 7-16х -2( 7х-1) + 5
г)
д)
г)
0
1
д)
2) Самооценка работы учащимися.
Самостоятельная работа заканчивается за 5 минут до конца урока.
Ученики в заранее согласованном месте, например, в рабочей
тетради, записывают ответы ко всем заданиям. Как только работы
собраны, открываются верные ответы. Причем рядом с ответом
указывается номер того задания, которые надо решить, чтобы
ликвидировать пробел в знаниях. Ученик отмечает либо “+ ”, либо
номер задания.
1 вариант
2 вариант
№
№
а) х -10
784 ж а) х< 2
б) х > 0,2
784 з
б) х 10 784 в
в) у 64
792 а
в) х 0
792 а
г) х < 1,8
798 в
г) х 2
797 г
803 г
д) х
784 а
803 г
д) х
Четырехурочный цикл занятий по данной теме позволил убедиться в том, что
учащиеся успешно овладели умениями и навыками, приобретенными за
данный промежуток времени и можно ожидать от учащихся неплохих
результатов.
Заключение.
Содержание методической разработки по теме: «Неравенства за
курс средней школы» соответствует программам средних
общеобразовательных школ.
Требования к математической подготовке учащихся средней школы
построены по содержательно-методическим линиям,традиционным
для курса математики. Содержание каждой из линий затрагивает
все ступени средней школы. Ученик обязан знать формулы решения основных типов простейших трансцендентных неравенств и
применять их на практике;
применять простейшие тождественные преобразования для
приведения неравенств к стандартному виду.
Данная тема выбрана мной, исходя из актуальности и сложности
изучения решения неравенств. Неравенства применяются как при
решении алгебраических, так и геометрических задач. Для успешного усвоения этой важной темы применяется алгоритм решения
неравенств.
Знания, умения, навыки решения неравенств необходимы при
Подготовке к ЕГЭ. При решении показательных, логарифмических,
тригонометрических неравенств с параметрами используется
алгоритм решения неравенств
Применяемая мной система подготовки выпускников к итоговой
аттестации дает хорошие результаты, о чем свидетельствуют ниже
приведенные данные.
Результаты ЕГЭ за 2003-2004 учебный год
« 5»- 37.9 %
«4»- 51.7 %
«3»- 10,4 %
«2»- нет
Результаты ЕГЭ за 2006-2007 учебный год
«5»- 8,2%
«4»- 64%
«3»27,8 %
«2»нет
Список использованной литературы.
1.Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику
Мордковича А. Г.
(автор-составитель Е.А.Ким.- Волгоград: Учитель, 2006.)
2Алгебра: открытые уроки ( обобщающее повторение в 7, 9,
10 классах)
( автор- составитель С. Н. Зеленская. Волгоград: Учитель,
2007.)
3.Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: в двух частях, часть
1:Учебник для
общеобразовательных учреждений ,- 5-е издание.М:Мнемозина,2003.
4.Мочалов В.В. Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства
с параметрами:
Учебное пособие.- Чебоксары: Издательство Чувашия.
Университета, 1997.
3. Нестандартные уроки алгебры. 8 класс.(составитель
Ким Е.А.- Волгоград:
И.Т.Д. «Корифей»,2006.
6.Алгебра и геометрия в таблицах и схемах. Издательство
«Феникс» 2007.
7.Тесты. Математика. 5-11 кл./составитель М.А.
Максимовская и др.,- М:
О.О.О.»Агентство «КРПА»Олимп»: ООО»Издательство
АСТ», 2003.
8.Задания из ЕГЭ.
9.Факультативный курс по математике. Решение задач.
И.Ф.Шарыгин.
10.Алгебра и начала анализа. Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов,
В.К.Смирнова.
Москва. Издательство дом « Дрофа»,1997.
11.Пособие по математике для подготовительных курсов.
Часть 1.
Пикалова М.С., А. А.Прокофьев.
12.Дидактические материалы по математике 8-11 классы.
13.Методический анализ школьных математических
задач./Математика в школе-методический журнал
Рецензия
На методическую разработку «Решение неравенств в курсе средней
школы» учителя математики Алексеевой Галины Николаевны,
МОУ СОШ с углубленным изучением отдельных предметов №37
Г. Чебоксары.
Представленная работа относится к предметной области
«Математика», предназначена для учащихся 7-11классов и вклю
чает новые для старшеклассников знания, не содержащиеся в
базовых программах.
Разработка содержит знания, вызывающие познавательный интерес
учащихся и представляющие ценность при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, при сдаче учениками ЕГЭ по
математике. Здесь также содержатся все знания, необходимые для
достижения запланированных в ней целей подготовки, включенный
в нее материал для различных категорий школьников.
Новизна авторского подхода заключается в том, что изучение
математики с применением современных технологий не просто
выделяется в самостоятельный курс, а углубляет и систематизирует
знания, способствуя тем самым формированию у учащихся совершенствования математических знаний с помощью закрепления
пройденных тем, тесного сотрудничества теории и практики.
Умение решать и доказывать неравенства- это искусство. Как и во
всяком искусстве, здесь есть свои технические приемы, которыми
учащиеся стараются овладеть. Ожидаемым результатом разработки
является то, что необходимо научить человека думать, так как
математика наиболее конкретная наука.
Актуальность разработки данной темы заключается в том, что
задача обучения математике в общеобразовательной средней
школе- обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися
математическими знаниями и навыками, нужными в повседневной
работе при изучении других наук, для успешного продолжения
образования после школы. Целью данной разработки является
овладение учащимися теоретического курса и решаемости
предлагаемых в нем задач, усвоении всех способов решения
неравенств.
Учитель математики высшей
категории МОУ СОШ №36
Уткина Алевтина
Ивановна