Моделирование наномасштабных материалов
advertisement
Моделирование наномасштабных материалов Лекция 16: Методы описания электронной структуры наноматериалов: метод псевдопотенциалов и метод присоединенных плоских волн Авторы: Руденко Александр Николаевич Мазуренко Владимир Владимирович Мазуренко Владимир Гаврилович Цель лекции Ознакомиться с основными подходами к описанию электронной структуры в наноматериалах: методом псевдопотенциалов и методом проекционных присоединенных волн. Компетенции способность применять на практике базовые общепрофессиональные знания теории и методов математических и физических исследований, направленных на решение инновационных инженерных, технических, экономических, экологических, информационных, технологических задач знание и понимание теории и методов применения математики и информатики для построения качественных и количественных моделей в науке, технике и технологиях Содержание лекции Подходы к описанию электронной структуры наноматериалов Метод псевдопотенциалов Построение гамильтониана в методе псевдопотенциалов Метод присоединенных плоских волн (PAW) Теория преобразования в PAW методе Физический смысл и основные соотношения PAW метода Приближения и преимущества PAW метода Подходы к описанию электронной структуры на основе ТФП Проблема при решении уравнений Кона-Шэма: выбор базисного набора для разложения волновых функций 1. Атомный подход. Базисные функции выбираются близкими к атомным орбиталям. Минимальный базисный набор, медленная сходимость. 2. Подход присоединенных волн (APW). Базисные функции выбираются различными для двух областей пространства – внутри и вне атомных сфер. Произвол в выборе атомных сфер. 3. Метод псевдопотенциалов. Валентные волновые функции разлагаются в большой набор плоских волн, невалентная область не учитывается. 4. Метод проекционных плоских волн (PAW). Комбинация метода APW и метода псевдопотенциалов. Основная идея – получить полные волновые функции из валентных. Математически сложный метод. Метод псевдопотенциалов Основные предпосылки: плоские волны очень удобны для использования в качестве базиса волновых функций волновые функции электронов вблизи ядер сильно осциллируют, что требует огромных наборов плоских волн для разложения волновых функций физические свойства твердых тел зависят, главным образом, от валентных электронов Основная идея метода: учитывать только валентные волновые функции, являющиеся гладкими и требующие относительно небольших наборов плоских волн для их разложения Метод псевдопотенциалов Схематическое представление потенциала (красные линии) и волновых функций (синие линии). Тонкие линии соответствуют истинным потенциалам, а толстые – псевдопотенциалам (волновым функциям) Метод псевдопотенциалов Пример построения гамильтониана Метод присоединенных плоских волн Основная идея метода: поиск такого линейного оператора преобразования τ, что «Истинная» волновая функция (полноэлектронная) Вспомогательная волновая функция (гладкая псевдоволновая функция) Линейное преобразование Определяя вокруг атомов R неперекрывающиеся сферы некоторого радиуса, оператор преобразования можно представить как Для каждой сферы R можно построить набор парциальных волн , являющихся решением уравнения Шредингера для изолированного атома Для каждой парциальной волны выбирается вспомогательная «гладкая» парциальная волна , совпадающая с исходной на границе сферы Учитывая что Линейное преобразование Если базисный набор парциальных волн полный, то для каждой сферы Линейность преобразования τ подразумевает что также линейно Определим проекционный оператор так, чтобы он являлся дуальным по отношению к вспомогательной парциальной волне Получаем при этом: Окончательно, Физические смысл и основные соотношения Приближения и преимущества PAW метода Приближения Приближение замороженной невалентной области Базис парциальных волн должен быть усечен Базис плоских волн должен быть усечен Преимущества “Истинная” электронная плотность => нет проблем переносимости Малый размер плосковолнового базиса PAW метод – точный полноэлектронный метод Метод псевдопотенциалов является приближением PAW метода! Литература Основные источники Восновский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела // М.: Наука, -1983, -336 c. Blochl P.E. Projector augmented-wave method // Phys. Rev. B 1994. -V. 50, N24, -P. 17953-17979. Дополнительные источники R. Dreizler, E. Gross, Density Functional Theory. (Plenum Press, New York, 1995)
