Линейные неравенства и системы линейных - Licey

Интернет-курс “ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”
(Латышев В.В.)
Урок 22
Линейные неравенства и системы линейных неравенств
Цель урока: напомнить основные методы решения линейных неравенств и
систем линейных неравенств, разобраться в различии между системой и
совокупностью неравенств. Показать, как решаются неравенства с модулями,
содержащими переменную.
1. Свойства неравенств
Напомним, что запись, в которой числа или выражения, содержащие
переменные, соединенные знаками , , ,  , называются неравенствами.
Неравенства, соединенные первыми двумя знаками называются строгими,
последними – нестрогими, поскольку допускают равенство выражений.
Два неравенства вида a  b и c  d называются неравенствами
одинакового смысла, в которых знаки «больше» или «меньше» направлены в одну
сторону, а неравенства a  b и c  d - неравенствами противоположного смысла.
Вместо двух неравенств x  a, a  y часто употребляется запись
x  a  y . Такое неравенство называется двойным.
Решить неравенство, содержащее переменную, - значит найти множество
значений переменной, при которых это нераевнство является верным.
Два неравенства называются равносильными, если множества решений этих
неравенств совпадают.
Как и уравнения, неравенства приходится преобразовывать для получения
решения, при этом необходимо придерживаться определенных правил, чтобы в
результате преобразования получалось неравенство, равносильное заданному.
Напомним основные правила.
1. Если к обеим частям неравенства f1 x   f 2 x  прибавить (или вычесть)
одну и ту же функцию  x  , область определения которой принадлежит
области определения данного неравенства, то получится неравенство,
равносильное данному. Здесь и далее под областью определения
неравенства будем понимать пересечение множеств, на которых
определена каждая из функций f1 x , f 2 x  . Кроме того, хотя здесь
использован знак  , сказанное справедливо и для всех остальных знаков
неравенств.
2. Любое слагаемое, определенное для всех значений переменной, можно
переносить из одной части неравенства в другую с противоположным
знаком.
3. Если обе части неравенства f1 x   f 2 x  умножить (или разделить) на
одну и ту же функцию  x  , определенную для всех значений
переменной x из области определения данного неравенства,
сохраняющую знак и отличную от нуля, то при  x   0 получится
неравенство, равносильное данному, а при  x   0 равносильным
данному является неравенство противоположного смысла. Фактически
это означает, что при умножении на  x   0 направление неравенства
необходимо поменять.
2. Решение линейных неравенств
Указанные правила справедливы для любых неравенств, но в этом уроке
мы будем подразумевать, что рассматриваемые неравенства с функциями
f1 x , f 2 x  являются линейными. Область определения линейного неравенства
представляет собой все множество действительных чисел  ; . В простейшем
случае линейное неравенство имеет вид
ax  b  0 .
Если a  0 , то данному неравенству равносильно неравенство x  
если a  0 , то x  
b
,
a
b
.
a
Пример 1. Решить неравенство 14  3x  0 .
Решение. Перенесем число 14 в правую часть неравенства с
противоположным знаком:  3x  14 . Теперь разделим обе части неравенства на
отрицательное число –3, не забыв изменить направление неравенства: x 


Таким образом, решением неравенства будет промежуток   ;


Ответ:   ;
14
.
3
14 
.
3 
14 
.
3 
Иногда заданное неравенство внешне имеет более сложный вид по
сравнению с линейным, однако после использования простейших алгебраических
преобразований оно приводится к линейному.
Пример 2. Решить неравенство x  7  2 x  1  5x 2 .
Решение. На первый взгляд имеем дело с квадратным неравенством.
Раскроем скобки:
x 2  14 x  49  4 x 2  4 x  1  5x 2 .
2
2
После переноса 5x 2 с противоположным знаком в левую часть
неравенства, свободных членов - в правую и приведения подобных членов
получаем линейное неравенство 18x  50 . Теперь разделим обе части
неравенства на сомножитель при неизвестной и получаем x  


образом, решением неравенства будет промежуток   ;


Ответ:   ;
25
. Таким
9
25 
.
9 
25 
.
9 
При решении двойных неравенств необходимо помнить, что умножать или
делить на число или выражение следует все части неравенства. Слагаемые с
потивоположным знаком переносятся из одной части неравенства в две другие.
Пример 3. Решить неравенство  1  2  3x  2 .
Решение. Неизвестное находться в средней части неравенства. Чтобы
избавиться от свободного члена в этой части, вычтем из всех частей число 2:
 3  3x  0 .
Заметим, что такое вычитание равносильно переносу числа 2 с противоположным
знаком одновременно в левую и правую части неравенства. Разделим теперь все
части неравенства на –3:
1 x  0.
Направление неравенства изменилось на противоположное в связи с делением на
отрицательное число. Более естественно переписать неравенство в виде 0  x  1 .
Итак, решением неравенства будет промежуток 0; 1 .
Ответ: 0; 1 .
3. Системы и совокупности неравенств
Если ставится задача найти множество общих решений двух или большего
числа неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Значение
переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное
числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Множество
решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее
неравенств. Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.
Систему, состоящую из двух неравенств, иногда можно так же записать в виде
двойного неравенства. Например, следующие записи эквивалентны:
2 x  1  3,

2 x  1  5
или
3  2x  1  5 .
Решением первого неравенства является промежуток 2; , решением
второго – промежуток  ;3. Пересечением является множество точек из
промежутка 2;3, что и является решением системы. Этот же результат получается
из решения двойного неравенства.
Если ставится задача найти множество всех таких значений переменной,
каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то
говорят, что надо решить совокупность неравенств. Множество решений
совокупности неравенств есть объединение множеств решений входящих в нее
неравенств. Неравенства, образующие совокупность, объединяются квадратными
скобками. Например, запись
3x  5  1,
2 x  3  7,

означает, что задана совокупность неравенств.
Решением первого неравенства является промежуток  ; 2  , решением
второго – промежуток 5; . Решением системы является их объединение
 ; 2  5;  .
3x  6  0,

Пример 4. Решить систему неравенств 18  5 x  0,
.
1,7 x  13,6  0.

Решение. Заменим каждое неравенство данной системы равносильным ему
неравенством, получим систему
3x  6
x  2


 5 x  18,   x  3,6,
1,7 x  13,6;
 x  8.


Для нахождения ответа полезно использовать
графическое представление решений каждого из
неравенств системы. Используем для каждого из
них свою координатную ось. Граничные значения
строгих неравенств изображаются выколотыми
точками, нестрогого – сплошными. Цветом
показаны множества, являющиеся решениями
соответствующих множеств. Из рис.1 видно, что
пересечением является множество 3,6; 8 .
Ответ: 3,6; 8 .
4. Линейные неравенства с двумя переменными
Решением неравенства f  x, y   0 с двумя неизвестными x и y называется
упорядоченная пара чисел  x 0 ; y 0  , обращающая данное неравенство в верное
числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти множество всех его
решений. Геометрически такое решение можно представить как совокупность всех
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию заданного
неравенства. Например, геометрическим изображением множества решений
линейного неравенства ax  by  c  0 является полуплоскость, расположенная
над прямой ax  by  c  0 , и сама эта прямая.
Пример 5. На плоскости показать множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству y  2 x  1.
Решение. Поведем на плоскости прямую,
соответствующую равенству y  2 x  1 (см.
рис.2). Пусть на этой прямой расположена точка А и
с той же абсциссой но выше ее имеется точка В.
Ордината точки А определяется выражением
 2 x  1 . Значение ординаты точки В больше, чем
значение ординаты точки А, следовательно, можно
сделать вывод, что координаты точек, лежащих на
прямой y  2 x  1 и выше, удовлетворяют заданному
неравенству. Другими словами, множество точек,
расположенных на прямой y  2 x  1 и выше,
является решением неравенства. На рис.3 это
множество выделено цветом.
5. Системы неравенств с двумя переменными
Если задана система неравенств с двумя переменными
 f 1  x, y   0,

 f 2  x, y   0,
то решением системы называется упорядоченная пара чисел,
удовлетворяющая каждому из неравенств этой системы. Множество
решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее
неравенств.
Пример 6. На плоскости показать множество точек, координаты которых
удовлетворяют системе линейных неравенств
 y  2 x  1,
2 y  x  2.
.
Решение. Перепишем систему так,
разрешенными относительно неизвестной y :
чтобы
неравенства
оказались
 y  2 x  1,


1
y

x  1.

2
Множеством решений первого неравенства
является множество точек на полуплоскости, выше
прямой y  2 x  1. Множество решений второго
неравенства – множество точек, ниже прямой
y
1
x  1 . Пересечение этих множеств на рис.3
2
выделено цветом.
6. Неравенства с переменной под знаком модуля
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля,
необходимо использовать определение модуля:
 f x  при f x   0,
f x   
 f x  при f x   0.
Пример 7. Решить неравенство x  1  2 .
Решение. Используя определение модуля, получаем, что исходное
неравенство можно записать в виде совокупности двух систем неравенств:
 x  1  0,

 x  1  2,
 x  1  0,

 ( x  1)  2.
Решение первой системы можно записать в виде двойного неравенства 1  x  3 .
Вторая система после раскрытия скобок примет вид
 x  1,

 x  1,
или в виде двойного неравенства  1  x  1. Объединяя оба решения, получаем
окончательно  1  x  3 .
Ответ:  1; 3 .
Заметим, что этот пример можно решить проще, если воспользоваться
геометрической интерпретацией модуля числа, согласно которой x дает нам
расстояние от точки x числовой прямой до начала отсчета, а x  a или a  x
означает расстояние между точками x и a . Тогда множество точек,
удовлетворяющих неравенству x  1  2 - это точки, удаленные от точки 1 на
расстояние, меньшее 2. Легко сообразить, что такие точки лежат в промежутке
 1; 3 , который и является ответом предыдущего примера. Однако,
геометрическая интерпретация не всегда помогает найти быстрое решение, в
частности, в следующем примере, где неизвестна находится не только внутри
модуля, но и за его пределами.
Пример 8. Решить неравенство x  1  3  x .
Решение. Используя определение модуля, переходим к совокупности двух
систем:
 x  1  0,

  x  1  3  x,
 x  1  0,

 ( x  1)  3  x.
Преобразуя первую систему, имеем
 x  1,

 x  1.
Ее решение – промежуток  1; 1 .
После преобразований вторая система примет вид:
 x  1,

 1  3.
Решение – это промежуток  ;  1 . Объединяя оба промежутка, получаем
окончательно  ; 1 .
Ответ:  ; 1 .
7. Итоги урока
В этом уроке мы вспомнили методы решения линейных неравенств. Это
простейший тип неравенств. Как и в случае уравнений, они сводится к упрощению
записи и разделению слагаемых с неизвестным и свободных членов по разные
стороны знака неравенства. К этому уроку отнесены также неравенства с
модулями, содержащими неизвестную в первой степени. При раскрытии знака
модуля фактически приходится решать совокупность линейных неравенств и
объединять их решения.
8. Домашнее задание