Теория вероятности: математическая статистика

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Теория вероятности: математическая статистика
Б2. В. ОД 3.
СОГ УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по научно – методической
работе__________________М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
«__»___ 201_ г.
(под
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой математических
и естественнонаучных дисциплин
___________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «__»___ 201_ г.
Направление подготовки 080200.62 менеджмент
Профиль подготовки: управление малым бизнесом
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Форма обучения: очная
Курск – 201_
1
Рабочая программа курса «Теория вероятности: математическая статистика»
предназначена для студентов очной формы обучения, обучающихся по направлению
бакалавриата 080200 «Менеджмент». Дисциплина «Теория вероятности:
математическая статистика» входит в базовую часть математического и
естественнонаучного цикла (Б2. В. ОД 3.).
Рабочая программа составлена на основании Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по
направлению 080200 «Менеджмент» (квалификация (степень) «бакалавр»),
утвержденного приказом Министерства образования и науки РФ от 20 мая 2010 г.
№544.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических и
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «__»___ 201_ г.
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
5
6
24
25
36
37
37
38
38
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
В результате освоения дисциплины
следующими знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
компетенций
ООП
по ФГОС
ОК-15
владеть
методами
количественного анализа и
моделирования, теоретического
и
экспериментального
исследования
ОК-16
пониманием роли и значения
информации
и
информационных технологий в
развитии
современного
общества и экономических
знаний
ОК-17
владеть основными методами,
способами
и
средствами
получения,
хранения,
переработки
информации,
навыками
работы
с
компьютером как средством
управления информацией
4
обучающийся
должен
овладеть
Перечень планируемых
результатов обучения по
дисциплине
Знать: основные понятия и
инструменты теории вероятностей,
математической и социальноэкономической статистики.
Уметь:
решать
типовые
математические
задачи,
используемые
при
принятии
управленческих
решений;
использовать
математический
язык и математическую символику
при построении организационноуправленческих
моделей;
обрабатывать эмпирические и
экспериментальные данные.
Владеть:
математическими,
статистическими
и
количественными
методами
решения типовых организационноуправленческих задач.
Знать:
методологические
принципы построения системы
показателей
отражающих
инвестиционную деятельность на
уровне хозяйствующего субъекта;
Уметь:
формулировать
обоснованные
выводы
по
результатам математической
обработки
экспериментальных
данных.
Владеть: навыками сбора и
обработки необходимых данных
Знать:
общие
принципы
комплексного
экономикостатистического
анализа
деятельности
хозяйствующих
субъектов
Уметь: работать с текстовым
процессором Word, работать с
электронными таблицами Excel,
работать
с
программой
по
созданию
презентаций
Power
Point.
Владеть:
методами
математического
анализа
и
линейной
алгебры,
их
применением
к
решению
прикладных задач, программными
продуктами, используемыми для
работы с текстовой и числовой
информацией (Microsoft Office
Word, Microsoft Office Excel).
ОК-18
способностью
работать
с
информацией в глобальных
компьютерных
сетях
и
корпоративных
информационных системах
Знать: иметь представления о
передаче информации, канале
передачи информации, количестве
информации;
способы
представления информации
Уметь:
обрабатывать
эмпирические
и
экспериментальные данные;
применять
информационные
технологии
для
решения
управленческих задач.
Владеть: владеть основными
методами, способами и средствами
получения, хранения, переработки
информации, навыками работы с
компьютером
как
средством
управления информацией
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к вариативной части учебного цикла – Б2
Математический и естественнонаучный цикл.
В ходе изучения дисциплины используются материалы курсов:
- математика;
- статистика: теория статистики;
- информатика.
Вместе с тем знания, умения, навыки, приобретенные при изучении данной
дисциплины, используются в дисциплинах:
- финансовый менеджмент;
- бизнес планирование;
- статистика: социально – экономическая статистика.
3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием
количества академических часов, выделенных на контактную работу
5
обучающихся с преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную
работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы (144 часа).
Вид работы
Трудоемкость, часов
1 семестр
Всего
144
144
54
54
20
20
34
34
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа:
Подготовка к экзамену, экзамен
Вид итогового контроля
54
36
экзамен
54
36
экзамен
4 Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам
(разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и
видов учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) для очной формы обучения
Количество часов
№
раздела
Наименование разделов
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
Аудиторная
работа
Внеауд.
Всего
работа
Л/интер.ф ПЗ/интер.ф. ЛР
СР
3
4
5
6
7
Введение.
Основные понятия теории
вероятностей
Случайные величины и их
законы распределения
Многомерные случайные
величины
Числовые характеристики
случайных величин
Предельные теоремы теории
вероятностей
Статистическое оценивание:
точечные и интервальные
оценки
Статистические гипотезы,
проверка статистических
гипотез
7
2/2
-
13
2
7
2
13
2/2
6/2
13
2
6
7
2
6/4
-
2/2
5
5
5
5
2
6
5
5
7
11
5
4/2
5
-
9
Дисперсионный анализ
13
2
10
Корреляционный анализ
6
1/1
11
Регрессионный анализ
11
1/1
экзамен
36
Всего
144
20
-
5
-
5
6
-
4
34
-
54
6/2
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
№
ра
зд
ел
а
1
1
2
3
Наименовани
е
раздела
2
Введение
Основные
понятия и
теоремы
теории
вероятносте
й
Случайные
величины и
их законы
распределен
ия
Содержание раздела
Форма
текущего
контроля,
самостоятель
ной работы
3
4
Предмет
и содержание курса «Теория Опрос
вероятностей и математическая статистика». Реферат/учеб
Задачи
теории
вероятностей.
Задачи ный проект
математической статистики, в том числе в
области
социально-экономических
исследований.
Пространство
элементарных
исходов. Выполнение
Достоверные,
невозможные,
случайные домашнего
события. Алгебра событий.  - алгебра событий. задания.
Аксиоматическое определение вероятностей. Опрос.
Вероятностное
пространство:
дискретное Тестировани
вероятностное
пространство
(примеры), е
непрерывное
вероятностное
пространство Реферат/учеб
(примеры). Условные вероятности. Зависимые и ный проект
независимые события. Теоремы умножения
вероятностей для независимых и зависимых
событий. Полная группа событий. Формула
полной
вероятности.
Формула
Байеса.
Повторные независимые испытания. Формула
Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и
интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Случайная величина. Типы случайных величин. Выполнение
Дискретная
случайная
величина.
Ряд домашнего
распределения дискретной случайной величины. задания.
Функция распределения случайной величины и Опрос.
ее свойства. Непрерывная случайная величина: Тестировани
плотность распределения и ее свойства. е
Некоторые законы распределения дискретных Реферат/учеб
случайных
величин:
геометрическое ный проект
распределение, биноминальное распределение,
распределение Пуассона. Некоторые законы
распределения
непрерывных
случайных
величин:
равномерное
распределение,
7
№
ра
зд
ел
а
4
5
6
7
Наименовани
е
раздела
Содержание раздела
нормальное, логнормальное, экспоненциальное
распределение. Функции от случайных величин
и их распределения.
Двумерные случайные величины (случайный
вектор). Дискретные и непрерывные случайные
векторы. Функция распределения многомерного
Многомерн случайного вектора, её свойства. Плотность
распределения
многомерного
случайного
ые
случайные вектора и ее свойства. Двумерный нормальный
закон распределения случайного вектора.
величины
Зависимость и независимость компонент
случайного вектора. Условные распределения.
Функции от случайных векторов
и их
распределения.
Мода, медиана, квантили.
Моменты случайных величин различных
порядков: начальные, центральные моменты.
Математическое ожидание и дисперсия, их
Числовые
свойства, среднее квадратическое отклонение.
характерист
Асимметрия, эксцесс.
ики
Ковариация, коэффициент корреляции и их
случайных
свойства. Многомерный нормальный закон
величин
распределения.
Ковариационная
и
корреляционная матрицы случайного вектора.
Условное математическое ожидание, функция
регрессии.
Закон больших чисел: Неравенство Маркова.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Бернулли,
теорема
Пуассона.
Предельные Теорема
Центральная предельная теорема и следствие из
теоремы
нее.
теории
вероятносте
й
Генеральная и выборочная совокупности.
Вариационные
ряды:
дискретные
и
Статистичес интервальные.
Оценка функции распределения и плотности
кое
эмпирическая
функция
оценивание: распределения:
гистограмма,
полигон,
точечные и распределения,
интервальн кумулятивная кривая.
ые оценки Выборочные оценки параметров распределения.
Требования
к
точечным
оценкам:
состоятельность,
несмещенность,
8
Форма
текущего
контроля,
самостоятель
ной работы
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
№
ра
зд
ел
а
8
9
10
Наименовани
е
раздела
Проверка
статистичес
ких гипотез
Дисперсион
ный анализ
Корреляцио
нный
анализ
Содержание раздела
эффективность выборочных оценок. Методы
нахождения
выборочных
оценок:
метод
аналогий, метод моментов, метод наименьших
квадратов.
Проверка
непараметрических
гипотез: критерии
2–Пирсона,
2
Колмогорова-Смирнова, Мизеса (ω ).
Проверка гипотезы о нормальном характере
распределения генеральной совокупности на
основе асимметрии и эксцесса.
Интервальные
оценки
параметров
распределения, доверительная вероятность.
Интервальные оценки числовых характеристик,
в
случае
нормально
распределенной
генеральной совокупности и выборки большого
объема.
Статистическая
гипотеза,
нулевая
и
альтернативная гипотезы,
статистический
критерий, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень
значимости,
мощность
критерия,
левосторонние, правосторонние и двусторонние
критические области.
Проверка параметрических гипотез (в случае
нормального закона распределения генеральной
совокупности).
Основные понятия дисперсионного анализа.
Модели:
случайная,
детерминированная,
смешанная. Разложение дисперсии.
Однофакторный
и
двухфакторный
дисперсионный анализ.
Функциональная,
статистическая
и
корреляционная
зависимости.
Двумерный
корреляционный анализ: оценка параметров
корреляционной связи; проверка гипотез о
значимости характеристик связи, построение
доверительных интервалов.
Множественный
корреляционный
анализ:
оценка параметров корреляционной связи
(матрицы
парных
корреляций,
частных
коэффициентов корреляции, множественного
9
Форма
текущего
контроля,
самостоятель
ной работы
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
№
ра
зд
ел
а
11
Наименовани
е
раздела
Содержание раздела
коэффициента корреляции); проверка гипотез о
значимости параметров корреляционной связи и
построение доверительных интервалов для
значимых параметров связи.
Предпосылки и задачи регрессионного анализа.
Условия Гаусса-Маркова. Метод наименьших
квадратов оценки коэффициентов регрессии.
Проверка
значимости
отдельных
Регрессионн
коэффициентов модели регрессии.
ый анализ
Форма
текущего
контроля,
самостоятель
ной работы
Выполнение
домашнего
задания.
Опрос.
Тестировани
е
Реферат/учеб
ный проект
4.3 Практические занятия (семинары):
Семинар №1. Основные понятия теории вероятностей (6 часов)
Реализуемые компетенции: ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Непосредственное вычисление вероятности.
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
3.Повторные независимые испытания: формула Бернулли, Пуассона, локальная и
интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Литература:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-81990084-7.с.1—34.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория
вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007.
- 240 с. 978-5-7958-0169-8. Гл.1.
3. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.—
М.:
ЮНИТИ-ДАНА,
2010.—
352
c.—
Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС «IPRbooks. с. 8-28.
Задачи и упражнения.
1. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь
отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти
вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
2. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия
отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти
вероятности событий:
В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
3. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать.
Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными
10
вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает,
чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы
могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его
ресторане?
4. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее
время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных
ламп будет между m1 и m2. Найти наивероятнейшее число включенных ламп
среди n и
его
соответствующую
вероятность.
n=6400,m1=3120,m2=3200.
5. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти
вероятность,
что
за
смену
откажут m элементов.
р=0,024,m=6.
6. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до
110 раз.
7. В урне находится 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность
того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?
8. В урне находятся 5 шаров, из которых 3 черных и 2 белых. Из урны
последовательно извлекают два шара (первый шар возвращают в урну). Какова
вероятность, что оба шара окажутся белыми?
9. Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и помещены
в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята одна
карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется: кратным
5; кратным 3; простым или составным?
10. Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 2)
достоверными, 3) невозможными:
а) выигрыш по одному билету лотереи «Спортлото»;
б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находятся три синих и пять красных
шаров;
в) получение абитуриентом 25 баллов на вступительных экзаменах в институте при
сдаче четырех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок;
г) извлечение «дубля» из полной игры в домино;
д) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика.
11.Какие из следующих пар событий являются несовместными:
а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10;
делится на 11;
б) нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолета;
в) попадание; промах при одном выстреле;
г) выигрыш; проигрыш в шахматной партии;
д) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным;
кратным трем?
12. Событие А означает появление шести очков на верхней грани игрального кубика.
Что означает событие A?
13. Событие А состоит в том, что хотя бы одна из имеющихся 15 электрических
лампочек нестандартная. Что означает событие A ?
14. Какие из следующих пар событий противоположны:
а) экзамен студентом сдан на «отлично»; сдан на «неудовлетворительно»;
б) хотя бы одна пуля при двух выстрелах попадает в цель; ни одна из двух пуль при
двух выстрелах не попадает в цель;
11
в) вынутая наугад кость из полного набора домино – «дубль»; вытянутая кость не
«дубль»?
15. Какие из, следующих случайных событий являются несовместными, а какие –
совместными:
а) опыт – бросание монеты; события: А1 – появление герба; А2 – появление цифры;
б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – появление двух гербов; В2 – появление
двух цифр;
в) опыт – два выстрела по мишени; события: А0 – ни одного попадания; А1 –одно
попадание; А2 – два попадания;
г) опыт – два выстрела по мишени; события: С1 – хотя бы одно попадание;
С2 – хотя бы один промах;
д) опыт – вынимание карты из колоды; события: D1 – появление карты червонной
масти; D2 – появление карты бубновой масти; D3 – появление карты трефовой
масти?
16. Выбирается один человек из студенческой группы. Какие из следующих событий
несовместны, а какие – совместны:
a) А – выбран юноша, В – выбрана девушка;
б) А – выбран юноша, В – выбран староста группы;
в) А – выбрана девушка, В – выбран мастер спорта по футболу?
17. Из 30 экзаменационных билетов, занумерованных натуральными числами от 1 до
30, наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета
кратен пяти?
18. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово МЯЧИК. Ребенок, не умеющий
читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найдите
вероятность того, что у него снова получилось слово МЯЧИК.
19. Куб, все грани, которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового
размера, которые затем тщательно перемешаны. Найдитевероятность того, что
наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.
20. Для проверки в отдел технического контроля поступила партия предохранителей,
содержащая 20 исправных предохранителей и 5 с дефектом. Какова вероятность
того, что выбранный наугад предохранитель окажется исправным?
Семинар №2. Многомерные случайные величины (6 часов)
Реализуемые компетенции: ОК-15, ОК-18.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Дискретная случайная величина: способы задания, основные числовые
характеристики.
2.Непрерывная случайная величина: способы задания, основные числовые
характеристики.
Литература:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-81990084-7.с.55—70.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория
вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007.
- 240 с. 978-5-7958-0169-8. Гл.4.
3. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.—
М.:
ЮНИТИ-ДАНА,
2010.—
352
c.—
Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС «IPRbooks. с. 42-80.
Задачи и упражнения.
12
1. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения
числа неточных приборов среди взятых наудачу четырех приборов. Найти
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
2. Какие из перечисленных ниже случайных величин являются дискретными:
а) число попаданий в мишень при десяти независимых выстрелах;
б) отклонение размера обрабатываемой детали от стандарта;
в) число нестандартных изделий, оказавшихся в партии из 100 изделий;
г) число очков, выпавших на верхней грани при одном подбрасывании
игральногокубика?
3. Определите закон распределения вероятностей случайная величина, равной числу
появления «герба» при пяти подбрасываниях монеты?
4. В отделе технического контроля прошла проверку партия предохранителей. Из
семи предохранителей четыре оказались исправными. Наудачу извлекаются три
предохранителя. Определите закон распределения вероятностей случайной
величины, равной числу исправных предохранителей.
5. Монета подбрасывается четыре раза. Для случайного числа появления «герба»
составьте таблицу вероятностей.
6. По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полет три
самолета. Каждый самолет с вероятностью 0,7 может произвести посадку по
расписанию. Для случайного числа самолетов, отклонившихся от расписания,
составьте таблицу распределения вероятностей.
7. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе шесть
патронов, ведет огонь по мишени до первого попадания или до полного
израсходования всех патронов. Составьте таблицу распределения вероятностей
случайного числа израсходованных патронов.
8. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа изделий,
выдержавших испытание, если испытываются 600 деталей, а вероятность того, что
изделие выдержит испытание, равна 0,005.
9. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 40 студентов.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих
студентов, оказавшихся в выбранной группе.
10. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей,
если проверяется партия из 10 000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется
бракованной, равна 0,005.
Семинар №3. Числовые характеристики случайных величин (6 часов)
Реализуемые компетенции: ОК-17, ОК-18.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Многомерный нормальный закон распределения.
2. Ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора.
3.Условное математическое ожидание, функция регрессии.
Литература:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-81990084-7.с.77—90.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория
вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007.
- 240 с. 978-5-7958-0169-8. Гл.5.
3. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.—
13
М.:
ЮНИТИ-ДАНА,
2010.—
352
c.—
Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС «IPRbooks. с. 84-100.
Задачи и упражнения.
1. Дайте определение случайной величины.
2. В чем различие непрерывной и дискретной случайных величин?
3. Что называется законом распределения вероятностей дискретной случайной
величины?
4. Какими способами можно задать дискретную случайную величину?
5. Перечислите числовые характеристики дискретной случайной величины.
6. Перечислите свойства математического ожидания дискретной случайной
величины.
7. Запишите формулу для определения математического ожидания дискретной
случайной величины.
8. Чему равно математическое ожидание числа появления событий в независимых
испытаниях?
9. Перечислите свойства дисперсии дискретной случайной величины.
10. Запишите формулу для определения дисперсии дискретной случайной величины.
11. Как определить дисперсию числа появления событий в независимых испытаниях?
12. Что потребовало введения понятия «среднее квадратическое отклонение»?
13. Запишите общую формулу для определения начальных теоретических моментов.
14. Запишите общую формулу для определения центральных теоретических
моментов.
15. Какая числовая характеристика случайной величины является ее начальным
моментом первого порядка?
16. Чему равен центральный момент первого порядка случайной величины?
17. Чему равен центральный момент второго порядка случайной величины?
Задача 1. Дана функция
При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения
некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
Задача 2. Случайная величина Х распределена по «закону прямоугольного
треугольника» в интервале
(рис.).
1. Написать выражение плотности распределения.
14
2. Найти функцию распределения F(Х).
3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от
4. Найти характеристики величины Х: М(Х), D(Х),
,
до А.
.
Задача 3. Дана функция
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.
Задача 4. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:
Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.
Задача 5. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание функции
распределения
(не находя предварительно плотности
).
Задача 6. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
Семинар №4. Статистические гипотезы, проверка статистических гипотез (4
часа)
Реализуемые компетенции: ОК-15, ОК-16,ОК-17, ОК-18.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Статистическая гипотеза, нулевая и альтернативная гипотезы, статистический
критерий, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень значимости, мощность критерия,
левосторонние, правосторонние и двусторонние критические области.
2.Проверка параметрических гипотез (в случае нормального закона распределения
генеральной совокупности).
Литература:
15
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-81990084-7.с.124—141.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория
вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007.
- 240 с. 978-5-7958-0169-8. Гл.8.
3.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.—
М.:
ЮНИТИ-ДАНА,
2010.—
352
c.—
Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС «IPRbooks. с. 124-138.
Задачи и упражнения.
1. Утверждается, что шарики для подшипников, изготовленные автоматическим
станком, имеют средний диаметр 10 мм. Используя односторонний критерий с
α=0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из n шариков средний диаметр
оказался равным 10,3 мм, а дисперсия известна и равна 1 мм.
2. Из 200 задач первого раздела курса математики, предложенных для решения,
абитуриенты решили 130, а из 300 задач второго раздела абитуриенты решили 120.
Можно ли при α=0,01 утверждать, что первый раздел школьного курса абитуриенты
усвоили лучше, чем второй.
3. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X
по
результатам
выборки:
X
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
N 7 9 28 27 30 26 21 25 22 9 5.
4. Отдел технического контроля проверил n партий однотипных изделий и
установил, что число нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое
распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество
xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество ni партий,
содержащих xi нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости α0,05
проверить гипотезу о том, что случайная величина X (число нестандартных изделий
в одной партии) распределена по закону Пуассона.
5. Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной
совокупности вычислены теоретические частоты ni’. При условии значимости a
требуется проверить нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной
совокупности.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы
примем случайную
величину, где ni –эмпирические частоты, ni’- теоретические частоты.
6. По утверждению руководства фирмы, средний размер дебиторского учета равен
187,5 тыс. руб. Ревизор составляет случайную выборку из 10 счетов и обнаруживает,
что средняя арифметическая выборка равна 175 тыс. руб. при среднем квадратичном
отклонении 35 тыс. руб. Может ли оказаться в действительности правильным
объявленный размер дебиторского счета? Доверительная вероятность ỳ= 95 %.
7. Исследование длительности оборотных средств двух групп предприятий (по 13
предприятий в каждой) дало следующие результаты:
дня,
дней,
дня,
дней.
Можно ли считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств групп
предприятий одинаковы для уровня значимости 0,1?
16
8. Школьникам давались обычные арифметические задачи, а потом одной случайно
выбранной половине студентов сообщалось, что они не выдержали испытания, а
остальным - обратное. Затем у каждого из них спрашивали, сколько секунд ему
потребуется для решения новой задачи. Экспериментатор, вычисляя разность между
определенным временем решения задачи, которое называл школьник, и результатами
ранее выполненного задания, получил следующие данные:
группа 1
сообщалось
результате)
(учащиеся, которым
о
положительном
группа 2 (учащиеся,
сообщалось о неудаче)
которым
Проверьте на уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что дисперсия совокупности
детских оценок, имеющих отношение к оценке их возможностей, не зависит от того,
что сообщалось детям о плохих результатах испытаний или об удачном решении
первой задачи.
9. По двум независимым выборкам, объемы которых
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей
исправленные
выборочные
значимости
дисперсии
и
проверьте нулевую гипотезу
нулевую
гипотезу
.
При
уровне
о
равенстве
,
При
,
найдены
уровне
о равенстве
10. По двум независимым выборкам, объем которых
из нормальных генеральных совокупностей
и
и
и
.
генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе
дисперсии
и
.
,
и
, извлеченным
найдены выборочные
значимости
генеральных
проверьте
дисперсий
при
конкурирующей гипотезе
.
11. Проведено исследование розничного товарооборота продовольственных
магазинов в двух районах Ярославской области (по 20 магазинов в каждом). Априори
известны средние значения розничного товарооборота - 78,8 и 78,56 тыс. руб.
Полученные в результате оценки средних квадратичных отклонений в первом и
втором районах соответственно равны 7,2 и 7,8 тыс. руб. Можно ли считать, что
разброс розничного товарооборота магазинов в районах неодинаков при уровне
значимости
? Можно ли сделать вывод о разной покупательной способности
населения районов?
Семинар №5. Дисперсионный анализ (6 часов)
Реализуемые компетенции: ОК-15, ОК-16,ОК-17, ОК-18.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Модели: случайная, детерминированная, смешанная.
2.Разложение дисперсии.
3.Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.
Литература:
17
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-81990084-7.с.144—156.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория
вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007.
- 240 с. 978-5-7958-0169-8. Гл.10.
3.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.—
М.:
ЮНИТИ-ДАНА,
2010.—
352
c.—
Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС «IPRbooks. с. 141-164.
Задачи и упражнения.
Задача 1. Методы дисперсионного анализа используются для оценки достоверности
различий между несколькими группами наблюдений. Задача дисперсионного анализа
заключается в исследовании воздействия на изменяемую случайную величину
одного или нескольких независимых факторов, имеющих несколько градаций. В MS
Excel для проведения однофакторного дисперсионного анализа применяется
инструмент Однофакторный дисперсионный анализ. Кроме этого инструмента в MS
Excel есть инструменты Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями и
Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений.
Для выполнения дисперсионного анализа необходимо выполнить следующую
последовательность операций:
1. Сформировать таблицу данных таким образом, чтобы в каждом столбце были
представлены данные, соответствующие одному значению исследуемого фактора,
при этом столбцы должны располагаться в порядке возрастания (убывания)
исследуемого фактора;
2. Выполнить команду меню Сервис - Анализ данных;
3. В диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать
инструмент Однофакторный дисперсионный анализ , щелкнуть на кнопке ОК;
4. В раскрывшемся окне диалога поле Входной интервал ввести ссылку на диапазон
исследуемых данных, в группе Группировка установить переключатель По столбцам
. Ввести ссылку на выходной диапазон, в который будут выведены результаты
анализа, щелкнуть на кнопке ОК.
Выходной диапазона содержит следующие результаты: средние, дисперсии,
критерии Фишера и др.
Влияние исследуемого фактора определяется по величине значимости критерия
Фишера, находящегося в таблице Дисперсионный анализ на пересечении строки
Между группами и столбца Р-значение
Пример 18 . Необходимо выявить, влияет ли расстояние от центра города на степень
заполняемости гостиниц. Пусть расстояние от центра разбито на 3 уровня: 1) до 3 км,
2) от 3 до 5 км, 3) более 5 км.
18
Решение
1. Подготовьте на рабочем листе исходные данные для расчетов (см рис.).
2. Включите инструмент Однофакторный дисперсионный анализ.
3. В диалоговом окне Однофакторный дисперсионный анализ установите параметры,
как показано на рисунке
После щелчка на кнопке ОК на рабочий лист в указанный выходной интервал будет
выведена таблица с результатами расчетов
2. Задача. Корреляционный анализ
Исследовано функционирование некоторого предприятия торговли в течение n
месяцев. Необходимо проанализировать наличие предполагаемой зависимости
между: расходами предприятия на рекламу и продвижение товаров на рынок
19
,
Yi,
(в тыс. руб); расходами на обучение и повышение квалификации персонала
(в тыс. руб.); объемом товарооборота предприятия торговли Ui,
млн. руб.); прибылью предприятия Zi,
(в
(в руб.).
X Y UZ
82 1014834
1001065224
85 66 5136
85 80 4733
10271 4923
10280 5424
85 1194635
88 66 4930
90 84 5030
84 94 4633
83 73 4732
87 59 4731
10279 5224
80 1164436
80 1034833
96 76 5227
95 89 5227
81 66 4534
Провести предварительный анализ (описательную статистику) исследуемых
компонентов многомерной случайной величины
Для всех пар случайных величин построить диаграммы рассеивания
(корреляционные поля).
Рассчитать матрицу выборочных парных коэффициентов корреляции. Сделать
выводы о степени тесноты и тенденции связи между парами компонентов
исследуемого многомерного признака в терминах решаемой прикладной задачи.
Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи между двумя
компонентами случайной величины (X,Z).
Построить доверительные интервалы для двух парных коэффициентов
корреляции при р=0.95 (X,Z;Y,Z).
Исключив из рассмотрения случайную величину, не зависящую от других, для
оставшихся случайных величин рассчитать матрицу частных коэффициентов
корреляции.
Рассчитать парные ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла для
двух компонентов многомерной случайной величины (U,Y).
Рассчитать корреляционные отношения между случайными величинами, для которых
можно предположить наличие нелинейной связи.
Рассчитать коэффициент конкордации для трех случайных величин, между которыми
на основе проведенного анализа можно предположить наличие статистической связи.
Проверить
гипотезу
о
статистической
значимости
исследуемой
множественной связи.
В терминах решаемой прикладной задачи дать содержательную
интерпретацию результатов для каждого из пунктов.
20
Задача 3. Однофакторный дисперсионный анализ
При уровне значимости a=0.05 определите статистическую достоверность влияния
фактора А на динамику величины Х.
№ испытанияA1A2A3A4
1
2 2 6 7
2
0 13 8 11
3
14 13 10 2
4
11 5 9 5
5
1 12 4 6
6
7 4
8
Задача 4. Двухфакторный дисперсионный анализ
При уровне значимости a=0.05 определите статистическую достоверность
влияния фактора А и фактора В на динамику величины Х.
B1B2B3B4
A13 3 12 20
A27 10 18 7
A37 15 6 17
A45 18 0 18
A58 10 8 9
Задача 5. Регрессионный анализ
Построить регрессионную модель и провести полный регрессионный анализ.
X 5.4 2.7 3.1 8.1 5.3
Y 0.0 -1.3 -1.1 1.4 -0.6
Задача 6. Предприятия мясной промышленности сгруппированы по числу видов
производимой колбасной продукции. По данным табл. 1(за отчётный год)
определить: а) модальное, медианное и среднее значение числа видов производимой
продукции; б) среднюю в целом по совокупности предприятий энергоёмкость
продукции; в) среднюю себестоимость 1 т колбасных изделий по совокупности
предприятий.
Таблица 1
Суммарный
Средняя
Средняя
объём выпуска энергоёмкость 1 т себестоимость 1 т
Число
видов
колбасной
продукции
по продукции
по
производимой Число
продукции
по группе
группе
колбасной
предприятий группе
предприятий,
предприятий, тыс.
продукции
в группе
предприятий, т ГДж/ т
руб./ т
До 4
11
580
6,2
86
5–7
11
520
6,5
91
8 – 10
14
610
6,3
87
11 – 13
13
480
6,6
93
14 – 16
5
210
6,9
96
17 и более
6
300
7,1
95
21
Задача 7. По данным табл. 2. графически изобразить зависимость результирующего
показателя от каждой факторной величины; 2) построить уравнения парной
регрессии результирующего показателя от каждого отдельного фактора; 3)
рассчитать выровненные значения результирующего показателя по полученным
уравнениям регрессии; 4) рассчитать характеристики тесноты (силы)
корреляционной зависимости результата от каждого из факторов в отдельности и от
совокупности обоих факторов. Сделать выводы по результатам расчётов.
Таблица 2.
Среднедушевое потребление Среднегодовая цена Среднедушевой
доход
деликатесной
мясной продукции по городу, одного жителя города за
Город продукции в год, кг/ чел.
руб./кг
месяц, тыс. руб./ чел.
А
3,5
215
4,6
Б
3,8
230
4,8
В
6,2
265
6,7
Г
4,6
205
5,1
Д
5,7
200
4,3
Е
4,1
220
5,0
Ж
3,3
225
4,0
З
4,9
230
6,1
И
5,2
250
6,4
К
4,0
245
5,2
Задача 8. По данным табл. 3 определить: 1) основные параметры вариационного ряда
(среднее арифметическое, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение и коэффициент вариации), сделать вывод об
однородности совокупности данных и следствии из него; 2) графически изобразить
вариационный ряд и определить аналитический вид распределения частот (или
частостей); 3) рассчитать теоретические частоты (частости) по предполагаемому
аналитическому уравнению и построить полигон распределения теоретических
частот (частостей) на предыдущем графике.
Таблица 3.
Количество поставщиков основного сырья на
предприятие
1
2
3
4
5
6
8
9
11
14
Семинар №6. Регрессионный анализ (6 часов)
22
Число предприятий
4
6
10
12
13
11
7
8
5
4
Реализуемые компетенции: ОК-15, ОК-16,ОК-17, ОК-18.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Условия Гаусса-Маркова.
2.Метод наименьших квадратов оценки коэффициентов регрессии.
3.Проверка значимости отдельных коэффициентов модели регрессии.
Литература:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-81990084-7.с.184—199.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория
вероятностей и математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007.
- 240 с. 978-5-7958-0169-8. Гл.12.
3.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.—
М.:
ЮНИТИ-ДАНА,
2010.—
352
c.—
Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС «IPRbooks. с. 190-228.
Задачи и упражнения.
Задание.
1. Смоделировать регрессионную зависимость в виде многочлена третьей степени.
2. Смоделировать независимую выборку для оценки дисперсии при фиксироваенном
значении независимой переменной.
3. Оценить параметры полиномиальной модели методом наименьших квадратов.
4. Проверить гипотезу об адекватности модели с помощью критерия Фишера.
5. Оценить коэффициент множественной корреляции (детерминации) и проверить
гипотезу об его значимости.
6. Проверить гипотезу о значимости коэффициентов модели.
7. Исследовать остатки.
8. Построить доверительные интервалы для предсказанных значений.
Указание.
1. Проведите проверку адекватности моделей, начиная с многочлена первой степени
до многочлена 4-й степени включительно. Для этого подключайте необходимое
число регрессоров в матрице F.
2. Проведите анализ остатков.
3. Сформулируйте мотивированные выводы об адекватности моделей.
4. Проверку гипотезы о значимости коэффициентов модель проведите при
больших и малых значениях объема выборки.
5. Исключить незначимые коэффициенты.
Моделируем данные
23
4.4. Образовательные технологии
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должны
составлять не менее 30 процентов от всего объема аудиторных.
Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных
занятиях
Семестр
Вид
занятия
(Л, ПР,
ЛР)
Л
1
ЛР
Используемые интерактивные
образовательные технологии
Количество
часов
Лекция – визуализация:
Активная
учебная
лекция
с
использованием
мультимедийного
оборудования
Технологии анализа ситуаций для
активного обучения
8
10
Технология проблемного обучения
Итого:
18
5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной
работы обучающихся по дисциплине
Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами
и задачами [Электронный ресурс]: учебное пособие/ А.И. Кибзун [и др.].— Электрон.
текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.— 224 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/16287.— ЭБС «IPRbooks»
Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс
с примерами и задачами [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Кибзун А.И.,
Горяинова Е.Р., Наумов А.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ,
2007.— 233 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/25001.— ЭБС «IPRbooks»
Плохотников К.Э. Теория вероятностей в пакете MATLAB [Электронный
ресурс]: учебник для вузов/ Плохотников К.Э., Николенко В.Н.— Электрон. текстовые
24
данные.— М.: Горячая линия - Телеком, 2014.— 612 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/25087.— ЭБС «IPRbooks»
Ходаковская Т.Ю. Теория вероятности: математическая статистика.
Учебно – методический комплекс - Курск: АНОО ВПО «Индустриальный институт».
2013.
6 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
(Перечень компетенций с указанием этапов их формирования; описание показателей
и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования,
описание шкал оценивания; типовые контрольные задания или иные материалы,
необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения
образовательной программы; методические материалы, определяющие процедуры
оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих
этапы формирования компетенций).
Оценка устных ответов студентов
Ответ оценивается отметкой «5», если студент:
полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотрен ном программой и
учебником,
изложил
материал
грамотным
языком
в
определенной
логической
последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;
 правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
 показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными
примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического
задания;
 продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов,
сформированность и устойчивость используемых при от работке умений и
навыков;
 отвечал самостоятельно без наводящих вопросов преподавателя. Возможны
одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в
выкладках, которые студент легко исправил по замечанию преподавателя.
Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основном
требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:
 в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое
содержание ответа;
 допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа,
исправленные по замечанию преподавателя;
 допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных
вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию преподавателя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
 неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано
общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для
дальнейшего усвоения программного материала;
 имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий,
использовании математической терминологии, чертежах, вы кладках,
исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;
 студент не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении
практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности
по данной теме;
25









при
знании
теоретического
материала
выявлена
недостаточная
сформированность основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
не раскрыто основное содержание учебного материала;
обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее
важной части учебного материала;
допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической
терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не
исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.
Оценка письменных работ студентов
по математике
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе лов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не
являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны
(если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом
проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах
или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом
проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках,
чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по
проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере.
6.1 Контрольные вопросы для экзамена по дисциплине:
Раздел 1. Введение ОК-15
Предмет изучения дисциплины.
Цели и задачи дисциплины.
Связь теории вероятностей и математической статистики.
Раздел 2. Основные понятия и теоремы теории вероятностей ОК-15, ОК-16,
ОК-17, ОК-18.
Определение
пространства
элементарных
исходов,
стохастического
эксперимента, события.
Классическое определение вероятности.
Аксиоматическое определение вероятности.
Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.
Определение зависимых и независимых событий, условной вероятности.
Теоремы умножения вероятностей.
Формула полной вероятности и условия ее применения.
Формулу Байеса и условия ее применения.
Формула Бернулли, условия её применения.
26
Формула Пуассона, доказательство, условия ее применения.
Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия её использования.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Раздел 3. Случайные величины и их законы распределения ОК-16, ОК-17,
ОК-18.
Определение случайной величины, перечислить типы случайных величин.
Ряд распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины,
перечислить ее свойства.
Непрерывная случайная величина, функция плотности вероятностей
непрерывной случайной величины; свойства.
Основные законы распределения дискретных случайных величин: Бернулли,
Пуассона.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины, Числовые
характеристики. Характеристики положения.
Законы распределения случайных величин, представляющих функции
нормально распределенных случайных величин: t-распределение Стьюдента;
X2
–распределение Пирсона; F- распределение Фишера-Снедекора.
Раздел 4. Многомерные случайные величины ОК-15, ОК-16.
Определение многомерной случайной величины.
Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.
Функция плотности вероятности двумерной случайной величины, ее свойства.
Условные законы распределения.
Раздел 5. Числовые характеристики случайных величин ОК-17, ОК-18
Математическое ожидание, его свойства.
Дисперсия, ее свойства.
Начальные и центральные моменты к-го порядка.
Характеристики формы распределения законов распределения случайных
величин.
Числовые характеристики двумерной случайной величины.
Характеристики взаимосвязи случайных величин, их свойства.
Раздел 6. Предельные теоремы теории вероятностей ОК-15, ОК-16, ОК-17,
ОК-18.
Неравенство Маркова, неравенство Чебышева.
Частные случаи неравенства Чебышева.
Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона.
Сформулировать теорему Ляпунова.
Объяснить понятия «Закон больших чисел» и «Центральная предельная
теорема».
Раздел 7. Статистическое оценивание: точечные и интервальные оценки
ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
27
Генеральная и выборочная совокупности: элементы совокупности, ее объем.
Первичная обработка данных: построение вариационных рядов.
Оценка законов распределения генеральных совокупностей.
Определение точечной оценки параметра распределения, формулировка ее
свойства.
Методы нахождения точечных оценок, их основной принцип.
Интервальное оценивание параметров распределения случайной величины.
Построения доверительных интервалов для параметров нормально
распределенной генеральной совокупности.
Раздел 8. Проверка статистических гипотез ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
Статистические гипотезы, типы статистических гипотез.
Общая схема проверки гипотезы.
Определение ошибок первого, второго рода, мощности критерия.
Принцип проверки параметрических гипотез: о равенстве параметров
нормального закона распределения заданным значениям.
Принцип проверки параметрических гипотез: об однородности двух нормально
распределенных генеральных совокупностей.
Принцип проверки непараметрических гипотез.
Раздел 9. Дисперсионный анализ ОК-15, ОК-18.
Основные понятия дисперсионного анализа: модели со случайными,
детерминированными уровнями, смешанная модель.
Охарактеризовать однофакторный дисперсионный анализ.
Охарактеризовать двухфакторный дисперсионный анализ.
Проверка гипотез о влиянии уровней факторов.
Проверка гипотез о существенности различий между уровнями фактора.
Раздел 10. Корреляционный анализ ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
Определение функциональной, стохастической, корреляционной зависимости.
Основные задачи корреляционного анализа.
Двумерный корреляционный анализ : оценка параметров корреляционной
связи (парного коэффициента корреляции , коэффициента
детерминации,
коэффициентов линейной регрессии).
Многомерный корреляционный анализ: оценка параметров корреляционной
связи (матрицы парных корреляций, частных коэффициентов корреляции,
множественного коэффициента корреляции, коэффициента детерминации, функции
регрессии).
Проверка значимости и интервальное оценивание характеристик связи между
случайными величинами.
Раздел 11. Регрессионный анализ ОК-17, ОК-18.
Основные задачи регрессионного анализа.
Условия Гаусса-Маркова, определение
множественной регрессии.
28
классической
линейной
модели
Метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов регрессии.
Проверка значимости и интервальное оценивание коэффициентов и уравнения
регрессии.
6.2 Образцы тестов для проведения текущего контроля и промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля
самостоятельной работы обучающегося
Вариант 1. Основные понятия теории вероятностей.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. A и B - независимые события. Тогда справедливо следующее утверждение:
а) они являются взаимоисключающими событиями
P A / B   P B 
в) P A  B   P A PB 
г) P A  B   0
д) PB / A  PB 
б)
а
2.
б
в
г
д
P  A , P  B  , P A  B 
- вероятности событий A , B , A  B
соответственно – приведены в таблице. Отметьте в первом столбце знаками
плюс и минус те ситуации, которые могут иметь место, и те, которые не
могут произойти, соответственно.
а
б
в
г
д
P  A
PB 
P A  B 
0.1
0.5
0.8
0.5
0.9
0.3
0.5
0.9
0.6
0.8
0.2
0.5
0.5
0.6
0.8
P A  0,67 , PB   0,58 . Тогда
наименьшая возможная вероятность события A  B есть:
3. Вероятности событий
A
и
B
равны
а) 1,25 б)0,3886
в)0,25
д) нет правильного ответа
а
б
г)0,8614
в
г
4. Докажите равенство A  B  C  A  B  C
истинности или покажите, что оно неверно.
29
д
с
помощью
таблиц
Вариант 2. Вероятности объединения и пересечения событий, условная вероятность,
формулы полной вероятности и Байеса.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. Бросаем одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма
выпавших очков не больше 6?
5
;
12
а)
б)
5
;
6
в)
д) нет правильного ответа
а
б
7
;
12
г)
в
4
;
9
г
д
2. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем
карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность
получить слово «ЛЕС»?
2
;
105
а)
б)
3
;
7
в)
д) нет правильного ответа
а
б
1
;
105
г)
в
11
;
210
г
д
3. Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40%
пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и
более дней. Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший
балл, среди тех, кто пропустил не больше 5 дней – 30% и среди оставшихся – 10%
получили высший балл. Студент получил на экзамене высший балл. Найти
вероятность того, что он пропускал занятия более 6 дней.
а)
1
;
3
б)
4
;
5
в)
2
;
33
г)
1
;
33
д) нет правильного ответа
а
б
в
г
Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики.
д
Вариант 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. Дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами
распределения
X
-1
1
3
Р(Х)
0.3
0.4
0.3
Y
Р(Y)
0
0.5
1
0.5
30
Случайная величина Z = X+Y. Найти вероятность P Z  EZ    Z 
а)
0.7; б)
0.84; в)
0.65; г)
0.78; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
2.
X, Y, Z – независимые дискретные случайные величины. Величина X распределена
по биномиальному закону с параметрами n=20 и p=0.1. Величина Y распределена по
геометрическому закону с параметром p=0.4. Величина Z распределена по закону
Пуассона с параметром  =2. Найти дисперсию случайной величины U= 3X+4Y-2Z
а)
16.4 б)
68.2; в)
97.3; г)
84.2; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
3.
Двумерный случайный вектор (X,Y) задан законом распределения
X=1
X=2
X=3
Y=1
0.12
0.23
0.17
Y=2
0.15
0.2
0.13
Событие A  X  2 , событие B  X  Y  3. Какова вероятность события А+В?
а)
0.62; б)
0.44; в)
0.72; г)
0.58; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
Вариант 4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
1.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
Независимые непрерывные случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезках:
X на 1,6 Y на 2,8 . Случайная величина Z = 3X +3Y +2. Найти D(Z)
а) 47.75; б)
45.75; в)
15.25;
г)
17.25;
д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
Непрерывная случайная величина
0, x  1

F x   0.5 x  0.5, 1  x  3
1, x  3

а) 0.5; б)
1;
в)
0;
г)
а
б
2.
X
задана
0.875;
а
в)0.625;
б
распределения
0.75; д) нет правильного ответа
в
г
д
Непрерывная случайная величина X задана
0, x  1

f  x   C ( x  1) 2 , 1  x  2 . Найти P X  1.5; 2 .
0, x  2

0.125; б)
функцией
Найти P X  0.5; 2
3.
а)
своей
г)
в
0.5;
своей
плотностью
вероятности
д) нет правильного ответа
г
д
4. Случайная величина X распределена нормально с параметрами   8 и   3. Найти
P X  5;7
а) 0.212; б)
0.1295;
в)0.3413;
г)
0.625; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
31
Вариант 5. Введение в математическую статистику.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. Предлагаются следующие оценки математического ожидания  , построенные по
результатам четырех измерений X1 , X 2 , X 3 , X 4 :
А)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
Б)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
3
3
5
6
4
4
4
4
В)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
Г)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
3
3
6
6
2
6
6
6
1
1
1
1
Д)   X 1  X 2  X 3  X 4 .
3
6
6
6
Из них несмещенными оценками являются:
а
б
в
г
д
2. Дисперсия каждого измерения в предыдущей задаче есть  . Тогда наиболее
эффективной из полученных в первой задаче несмещенных оценок будет оценка
а
б
в
г
д
2
3. На основании результатов независимых наблюдений случайной величины X,
подчиняющейся закону Пуассона, построить методом моментов оценку неизвестного
параметра  распределения Пуассона
0
1
2
3
4
5
X
i
ni
а)
2.77; б)
а
2
2.90; в)
б
3
4
5
0.34; г)
в
5
0.682;
г
3
д) нет правильного ответа
д
4. Полуширина 90% доверительного интервала, построенного для оценки неизвестного
математического ожидания нормально распределенной случайной величины X для
объема выборки n=120, выборочного среднего x =23 и известного значения  =5, есть
а) 0.89; б)
0.49 ; в) 0.75;
г)
0.98;
д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
32
Тест для контроля самостоятельной работы
1. Стохастический эксперимент заключается в бросании монеты до первого
появления герба. Пространство элементарных исходов и общее число
элементарных исходов представлены в ответе
а)   г, цг, ццг,...,цц...цг, конечное;
б)   г, цг,...,цц...цг,...,
в)   г, цг,...,ц...цг,...,
г)   г, цг,...,ццг,
более, чем счётное;
счётное;
неизвестно.
2.   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 - множество элементарных исходов опыта. A  2,3,4,
B  1,3,5. Событие А+В равно
а) 3,6,9;
б) 3,4,5,6,7,8,9;
в) 1,2,3,4,5;
г) 6,7,8,9,10.
3. Определение условной вероятности P A / B  приведено в
P AB 
;
PB 
P AB 
б) P A / B  
, где PB   0;
PB 
N
в) P A / B   AB , где N AB - число исходов благоприятствующих событию АВ,
NB
N B - число исходов благоприятствующих событию В;
P APB / A
г) P A / B  
.
P B 
а) P A / B  
4.  
i , i  1,10
- пространство элементарных равновозможных исходов.
Условная вероятность события
B   2 , 4 , 9 ,10  равна
а) 0,8;
б) 0,25;
A   3 , 4 , 6 , 7  относительно события
в) 1;
г) 0,5.
5. Утверждение, характеризующее свойства функции распределения скалярной
случайной величины, приведено в ответе
а) F(x) – кусочно-монотонная функция, имеющая разрывы первого рода и
принимающая значения на множестве действительных чисел;
б) F(x) – непрерывная функция, определенная для всех x  0,   , множество
значений которой принадлежит интервалу (0,1);
в) F(x) – неубывающая функция, определенная на всей числовой оси,
принимающая значения из промежутка [0,1] и в точках разрыва, если они есть,
непрерывная слева;
г) F(x) – любая функция, принимающая значения на промежутке [0,1].
33
6. Дан закон распределения дискретной случайной величины 
xi
pi
0
0,1
2
0,3
5
0,2
8
0,3
10
0,1
Значение функции распределения в точке x=8 равно
а) 0,3;
б) 0,6;
в) 0,2;
г) 0,7.
7. Дан ряд распределения дискретной случайной величины 
xi
pi
1
0,1
3
0,2
5
0,2
7 11
0,3 0,2
Математическое ожидание функции   2  3 равно
а) 4,8;
б) 5;
в) 6;
г) 15.
8. Через каждый час измерялось напряжение тока в цепи. Данные наблюдений
представлены статистическим (вариационным) рядом
210-214
214-218
218-222
222-226
226-230
3
5
10
7
5
Оценка выборочного среднего арифметического равна
а) 220;
б) 223,2;
в) 224,8;
г) 218.
9. Интервал (1, 2) называется доверительным для оцениваемого параметра , с
заданной доверительной вероятностью , если
а) 1     2 ;
б) 1   2   , где  - сколь угодно малое число;
в) P1     2    ;




г) P   1     ; P    2     , где  - сколь угодно малое число.
10. Пусть при проверке параметрической гипотезы построена критическая область W и
zнабл – значение статистики Z. Вероятность  допустить ошибку первого рода равна:
а)   P z набл W H 0 ;


б)   Pz набл W H 0 ;
в)   Pz набл W H1 ;
г)
  Pzнабл  zкрит .
11. Известны значения парного и частного коэффициентов корреляции между
признаками 13  0,4 и 13 / 2  0,097 , где х1 – урожайность кормовых трав
(ц/га), х2 – весеннее количество осадков, х3 – накопленная за весну сумма
температур. Укажите ответ, характеризующий влияние х2 на парную
стохастическую связь.
а) не оказывает влияние;
б) усиливает;
34
в) ослабляет;
г) характер влияния сезонный.
12. При исследовании зависимости себестоимости тонны асфальта Y (руб.) от
производственной мощности X (тыс. тонн) по 100 предприятиям было получено
ŷ  0 ,5 x  1200,5 . На сколько рублей
выборочное уравнение регрессии Y на X
изменится средняя стоимость тонны асфальта, если производственные мощности
увеличить на 10000 тонн и в какую сторону.
а) уменьшится на 10 руб.;
б) увеличится на 8 руб.;
в) уменьшится на 5 руб.;
г) увеличится на 15 руб.
6.3. Темы рефератов/ учебных проектов
1. Что изучает теория вероятностей
2. Испытание. Событие. Классификация событий
3. .Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности
4. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности
5. Понятие комбинаторики. Основные правила комбинаторики
6. Основные комбинаторные соединения
7. Алгебра событий
8. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей
9. Теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события
10. Формула полной вероятности
11. Вероятность гипотез. Формула Байеса
12. Формула Бернулли
13. Формула Пуассона
14. Наивероятнейшее число появления события
15. Понятие и виды случайных величин
16. Закон распределения вероятностей ДСВ. Способы задания
17. Биноминальное распределение
18. Пуассоновское распределение
19. Геометрическое распределение
20. Гипергеометрическое распределение
21. Математическое ожидание ДСВ и его свойства
22. Дисперсия ДСВ и её свойства. Формула для вычисления дисперсии. Среднее
квадратическое отклонение
23. Функция распределения вероятностей и её свойства
24. Плотность распределения вероятностей и её свойства
25. Числовые характеристики НСВ
26. Равномерное распределение и его свойства
27. Показательное распределение и его свойства
28. Нормальное распределение и его свойства
29. Правило трёх сигм. Центральная предельная теорема Ляпунова
30. Закон больших чисел
31. Задачи математической статистики
32. Выборочный метод
33. Типы выборок и способы отбора
34. Вариационные ряды
35. Эмпирическая функция распределения
36. Полигон и гистограмма
35
37. Точечные оценки параметров распределения
38. Генеральная и выборочная средние
39. Генеральная и выборочная дисперсии
40. Оценка генеральной средней по выборочной средней
41. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
42. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
43. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров
распределения
44. Интервальные оценки параметров распределения
45. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
46. Виды зависимостей между случайными величинами
47. Выборочные уравнения регрессии
48. Коэффициент корреляции
49. Линейная корреляция
50. Статистическая гипотеза
51. Виды ошибок
52. Статистический критерий. Критическая область
53. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием
54. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
7 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
7.1 Основная литература
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая
статистика:Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005.- 240 с. 5-8199-0084-7.
2. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Теория вероятностей и
математическая статистика:Учебное пособие. - М.: Маркет ДС, 2007. - 240 с. 978-5-79580169-8.
3.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учебник/ Колемаев В.А., Калинина В.Н.— Электрон. текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 352 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/8599.— ЭБС
«IPRbooks.
7.2 Дополнительная литература
1. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник
для вузов / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский; под ред. А. Колемаева. М. : Высш. шк., 1991. - 400 с.
2. Вентцель, Е.С. Задачи
и
упражнения
по
теории
вероятностей [Текст] : учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров; М. : Высш. шк., 2000, 2002, 2003. - 448 с.
3. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы
и статистика, 1982.
4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.
пособие / В. Е. Гмурман. - М. : Высш. шк., 1998, 2001, 2003, 2007.
36
5. Карасев, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.
пособие для вузов / А. И. Карасев.- 4-е изд., стер. - М.: Статистика, 1979. - 278 с.
7.3 Периодические издания
1. Математическое моделирование.
2. Применение математических
методов в экономических исследованиях и
планировании.
3. Обозрение прикладной и промышленной математики.
4. Теория вероятностей и ее применения.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
1.
http://teorver-online.narod.ru/ (А.Д.Манита, МГУ, Интернет-учебник «Теория
вероятностей и математическая статистика» для студентов естественных факультетов)
2.
http://www.ksu.ru/infres/volodin/ (И.Н.Володин, Казанский ГУ, лекции по теории
вероятностей и математической статистике)
3.
http://newasp.omskreg.ru/probability/ (проф. Топчий В.А., Дворкин П.Л., проф.
Ватутин В.А., Леонов И.В., Печурин А.В., Нелин Д.А., ОФИМ СО РАН. Учебник по
теории вероятностей)
4.
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tv/examples.asp (примеры решения
типовых задач курса теории вероятностей, решенные в среде математического пакета
Mathcad)
5.
http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/ (эконометрическая страничка)
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
Методические указания студентам
Следует обратить особое внимание на систематическое выполнение домашних
заданий. Решение задач теории вероятности и математической статистики во многом
основано на свободном владении аппаратом линейной алгебры и математического анализа.
9.1. Методические рекомендации и указания по подготовке реферата
Целью реферативной работы является приобретение навыков работы с
литературой, обобщения литературных источников и практического материала по теме,
способности грамотно излагать вопросы по теме, делать выводы. Реферат должен иметь
следующие разделы: введение, основную часть, выводы, а также пронумерованный
список использованной литературы (не менее 2-х источников) с указанием автора,
названия, места издания, издательства, года издания.
Во введении следует отразить место рассматриваемого вопроса в естественно научной проблематике, его теоретическое и прикладное значение.
Основная часть должна излагаться в соответствии с планом, четко и
последовательно, желательно своими словами. В тексте должны быть и необходимо
делать ссылки на использованную литературу. При дословном воспроизведении
материала каждая цитата должна иметь ссылку на соответствующую позицию в списке
использованной литературы.
Выводы должны содержать краткое обобщение рассмотренного материала,
выделение наиболее достоверных и обоснованных положений и утверждений, а также
наиболее проблемных, разработанных на уровне гипотез, важность рассмотренной
проблемы с точки зрения практического приложения, мировоззрения, этики т.п.
37
Реферат должен быть аккуратно напечатан или написан на бумаге стандартного
(А.4) формата, на одной стороне листа. Страницы должны быть пронумерованы, начиная
со 2-й (титульный лист, включается в общую нумерацию, но номер на нем не
проставляется). Номер страницы проставляются в правом верхнем углу без точки в конце.
Текст реферата следует печатать (писать), соблюдая следующие размеры полей: левой –
не менее 30 мм, правое – не менее 10 мм. Верхнее и нижнее – не менее 20 мм. Примерный
объем реферата составляет 20-25 страниц машинописного текста.
Для наглядности изложения желательно сопровождать текст рисунками. В
последнем случае на рисунки в тексте должны быть соответствующие ссылки, например
«см. рисунок 5» или «график…приведем на рисунке 2».
Тема реферата может быть выбрана из предложенного списка, либо носить
свободный характер. Работа над рефератом позволит лучше подготовиться к экзамену, т.к.
темы из предложенного списка во многом совпадают с вопросами, выносимыми на
экзамен. Кроме того, в рабочей программе курса можно найти краткое содержание и
список рекомендованной литературы. При выборе свободной темы все это придется
выполнять самостоятельно.
9.2. Методические рекомендации по выполнению учебных проектов
Учебные проекты готовятся студентами индивидуально или небольшими группами
по 2-3 человека. По результатам разработки проекта готовится презентация в Microsoft
PowerPoint (10-15 слайдов) и доклад (в пределах 5 минут). На слайды презентации
рекомендуется выносить рисунки, таблицы, схемы, в виде текста только основные
положения доклада.
Студенты выбирают темы учебных проектов согласно порядковому номеру в
журнале. Структура презентации учебного проекта студентов данных специальностей:
- титульный лист (1 слайд);
- теоретическая часть, раскрывающая суть темы (8-13 слайдов);
- заключение, в котором излагаются собственные выводы и предложения автора (1
слайд).
Защита проекта происходит в форме краткого доклада на занятии и ответов на
вопросы преподавателя и студентов по данному докладу. Критериями оценки учебных
проектов являются оформление, содержание (концептуальность, логичность и
конструктивность работы) и форма подачи (доклад, ответы на вопросы).
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
 табличный процессор Excel (встроенные статистические функции, надстройка
AtteStat);
 математический ППП MathCAD;
 Статистический пакет «Statistica».
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
38
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
39