Элементы теории вероятностей. Случайное

Цикл II. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 1.Тема: Элементы теории вероятностей.
Случайное событие. Случайные величины.
Теоретические вопросы.
Случайное событие (дать определение и привести примеры случайных событий).
Вероятность случайного события (классическая и статистическая).
Законы сложения и умножения вероятностей.
Вероятность наступления хотя бы одного из полной группы случайных событий.
Формула полной вероятности.
Случайная величина. Непрерывные и дискретные случайные величины, привести
примеры.
7. Закон распределения случайной дискретной величины.
8. Понятие функции распределения вероятностей для дискретных величин.
9. Числовые характеристики дискретной случайной величины (математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение).
Литература для подготовки:
Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 104-128. –
«Элементы теории вероятностей»
М.С. Федорова “Методическая разработка для самоподготовки по курсу “Высшая
математика, информатика” для студентов лечебного и медико-профилактического
факультетов”. М. ММА 2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Какова вероятность появления четного числа очков при бросании игральной кости?
2. Пусть вероятность того, что забег выиграет Саша, составляет ½, а вероятность
того, что забег выиграет Витя, составляет ¼. Какова вероятность того, что забег
выиграет один из них?
3. Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67.
Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных,
ожидающих приёма у кабинета стоматолога, есть все зубы?
4. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка
равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0.9. Найти вероятность того, что в цель
попадёт хотя бы один стрелок.
5. В магазин для продажи поступает однотипная продукция трёх заводов: 30% - с
первого, 50% – со второго, 20% – с третьего. Первый завод поставляет 2%
бракованной продукции, второй – 1% , а третий – 4%. Какова вероятность того, что
приобретенный в магазине товар этого типа, окажется качественным?
6. В денежной беспроигрышной лотереи выпущено 100 билетов. Разыгрывается один
выигрыш в 100 тыс. рублей и 10 выигрышей по 1000руб, остальные – по 10 рублей.
Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного
выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Построить многоугольник
распределения вероятностей (можно воспользоваться логарифмической шкалой
для оси ОХ).
7. Дан ряд распределения случайной величины:
Х 1
4
8
Р 0,3 0,1 0,6
Найти функцию распределения этой величины и построить график.
8. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х 40 41 42 44
Р 0,1 0,3 0,2 0,4
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Домашнее задание №1.
I.
Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В.
Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 131150 – «Основы выборочного метода»)
М.С. Федорова “Методическая разработка для самоподготовки по курсу
“Высшая математика, информатика” для студентов лечебного и медикопрофилактического факультетов”. М. ММА 2000.
II.
Выполнить задания:
1. В студенческой группе – 20 студентов, из них 2студента – отличники, 10 –
хорошисты, остальные - троечники. Какова вероятность, что отвечать к доске
вызовут одного из троечников?
2. Пусть вероятность того, что студент-отличник выполнить домашнее задание
составляет 75%, а вероятность того, что троечник выполнит домашнее задание,
составляет 10%. Какова вероятность того, что домашнее задание выполнят оба?
3. Какова вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадут две
шестёрки?
4. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка
равна 0,5, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что в цель
попадёт хотя бы один стрелок.
5. В магазин для продажи поступает однотипная продукция трёх заводов: 50% - с
первого, 40% – со второго, 10% – с третьего. Первый завод поставляет 2%
бракованной продукции, второй – 5% , а третий – 4%. Какова вероятность того, что
приобретенный в магазине товар этого типа, окажется качественным?
6. В десяти студенческих группах обучаются соответственно
12,10,11,8,12,9,10,8,10,11 студентов. Найти закон распределения случайной
величины Х – число студентов в наугад выбранной группе. Построить
многоугольник распределения вероятностей.
7. Дан ряд распределения случайной величины:
Х 2
6
10
Р 0,3 0,1 0,6
Найти функцию распределения этой величины и построить график.
8. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х 1
2
5
Р 0,3 0,5 0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Занятие 2.
Тема: Статистический анализ результатов исследований.
Основные понятия математической статистики. Статистические оценки параметров
распределения. Выборочные характеристики. Оценка параметров генеральной
совокупности по её выборке.
Теоретические вопросы:
1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Варианта.
Частота встречаемости.
2. Выборочные характеристики: мода, медиана, выборочная средняя.
3. Точечная оценка параметров генеральной совокупности.
4. Интервальная оценка генерального среднего значения с использованием
коэффициента Стьюдента. Доверительная вероятность, доверительный
интервал.
5. Распределение непрерывной случайной величины. Нормальный закон
распределения (закон Гаусса).
6. Гистограмма, метод ее построения. Использование гистограмм в медицинских
исследованиях.
Литература для подготовки:
Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 131-150 –
«Основы выборочного метода».
М.С. Федорова “Методическая разработка для самоподготовки по курсу “Высшая
математика, информатика” для студентов лечебного и медико-профилактического
факультетов”. М. ММА 2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Построить дискретный вариационный ряд и начертить полигон распределения 20
абитуриентов по числу баллов, полученных при сдаче ЕГЭ по физике.
39,41,40,42,41,40,42,44,42,43,41,40,42,38,45,39,40,41,42,39.
2. Найти выборочную среднюю, моду и медиану распределения:5, 6,6,6,6,6,7,8,8.
3. Найти выборочную среднюю и медианы распределений: 1) 2,4,5,7,8,11,14; 2)
2,4,6,8,10,12.
4. Найти несмещенную оценку генеральной средней, дисперсии генеральной
совокупности и стандартное отклонение (точечные оценки) по выборке объёма 4,
описывающую продолжительность в секундах физической нагрузки до развития
приступа стенокардии:
289,203,359,243.
5. Имеется выборка объёма n=4 – это значения систолического давления у мужчин в
начальной стадии шока – Х: 127,124,155,120. Дать интервальную оценку среднего
значения систолического давления у мужчин в начальной стадии шока с
доверительной вероятностью 0,95. Проанализировать влияние объема выборки (n)
на ширину доверительного интервала (), и влияние значения доверительной
вероятности () на ширину доверительного интервала ().
6. С помощью графика нормального распределения обсудить основные свойства
плотности распределения вероятностей и зависимость формы и положения кривой
Гаусса от σ и µ.
7. Построить графики для случая μ2>μ1, Ϭ2<Ϭ1 .
8. Представить данные о систолическом давлении у 20 женщин от 17до 39 лет в виде
гистограммы:
121,132,131,133,129,128,127,131,126,132,134,126,138,132,138,142,134,136,134,135.
Домашнее задание №2.
I.
Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова
«Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 151-163)
М.С. Федорова “Методическая разработка для самоподготовки по курсу
“Высшая математика, информатика” для студентов лечебного и медикопрофилактического факультетов”. М. ММА 2000.
II.
Выполнить задания:
1. Случайная величина задана законом распределения:
Х 2
Р
3
10
0,1 0,4 0,5
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, моду
распределения. Построить многоугольник распределения.
2. Наблюдения за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера, в течение минуты дали
следующие результаты:
21,30,39,31,45,31,31,36,51,31,42,34,34,27,30,34,31,36,36,30,28,48,30,28,34,37,28,30,30,30,33,
33,39,24,46,31,31,40,31,43,30,33,42,37,33,31,27,28,31,27.
Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами и
начертить гистограмму. По гистограмме оцените вид распределения.
3. Найти несмещенную оценку генеральной средней, дисперсии генеральной
совокупности и стандартное отклонение (точечные оценки) по выборке объёма n=5,
описывающую продолжительность в секундах физической нагрузки до развития
приступа стенокардии:
287,200,324,240,252.
4. Имеется выборка объёма n=5 – это значения систолического давления у мужчин в
начальной стадии шока – Х: 128,126,140,122,70. Дать интервальную оценку среднего
значения систолического давления у мужчин в начальной стадии шока с
доверительной вероятностью 0,99.
5. Смоделируйте графики нормальных распределений суточных температур у
здорового человека и больного ОРВИ.
Занятие 3.
Тема: Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
Теоретические вопросы:
1. Понятия функциональной и статистической зависимостей.
2. Корреляционная зависимость, примеры. Корреляционное поле.
3. Линейная корреляционная зависимость.
4. Коэффициент линейной корреляции; оценка тесноты линейной корреляционной
зависимости по его значению.
5. Выборочное уравнение регрессии.
6. Связь между коэффициентом линейной регрессии и коэффициентом линейной
корреляции.
Литература для подготовки:
Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 151-163 –
«Элементы теории корреляции».
М.С. Федорова “Методическая разработка для самоподготовки по курсу “Высшая
математика, информатика” для студентов лечебного и медико-профилактического
факультетов”. М. ММА 2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Какая зависимость называется функциональной? Привести примеры.
2. Какая зависимость называется статистической? Привести примеры (см.
рис.1)
Рис.1 График зависимости доходности фармацевтического предприятия
от числа рабочих.
3. Какая зависимость называется корреляционной? Привести примеры.
4. Уравнения регрессии У на Х и Х на У.
5. Свойства коэффициента линейной регрессии.
6. Если уравнение выборочной регрессии имеет вид Y = 87610 + 2984 X, то
как можно интерпретировать значение коэффициента регрессии.
7. Определите по графикам значения коэффициентов выборочной регрессии для
следующих зависимостей роста и массы человека и охарактеризуйте силу связи:
7. Обсудите свойства коэффициента корреляции. Чем выборочный
коэффициент линейной корреляции отличается от коэффициента линейной регрессии?
8. «На глаз» оцените значения коэффициентов корреляции, коэффициентов
регрессии следующих зависимостей: Охарактеризуйте эти зависимости.
9. Чему равен коэффициент линейной регрессии, если rв=0,7,Ϭy= 3, а Ϭx=4?
Домашняя работа:
1. A) Используя возможности MS Excel, рассчитать и построить график уравнения
прямолинейной регрессии и коэффициент корреляции для показателей роста и
результатов прыжка в длину с места у 10 исследуемых, если данные выборок
таковы:
xi, см ~ 176; 183; 193; 184; 175; 189; 178; 185; 173; 167.
yi, см ~ 213; 237; 250; 235; 227; 248; 222; 241; 235; 215.
Предскажите, какой длины возможен прыжок в длину у человека, рост которого
составляет 194 см.
Для расчета коэффициента корреляции используйте функцию КОРРЕЛ, в которой
в массив 1 введите адреса ячеек, где введены показатели роста, а в массив 2 –
адреса ячеек, где введены длины прыжков.
Для построения линии регрессии сначала, выделив вместе массив 1 (хi) и массив
(уi), постройте точечную диаграмму, затем «поставьте мышку» на
экспериментальные точки на диаграмме и нажмите правую клавишу. Выберите
Добавить линию тренда, на вкладке тип: в окне Построение линии тренда
(аппроксимация и сглаживание) выберите линейная, на вкладке параметры –
показывать уравнение на диаграмме.
B) Рассчитать и построить график уравнения линейной регрессии, коэффициент
корреляции для показателей пульса нагрузки и пульса восстановления у 12
исследуемых:
xi, уд/мин ~ 162; 174; 168; 174; 168; 156; 162; 162; 144; 174; 162; 144.
yi, уд/мин ~ 72; 60; 60; 78; 72; 60; 84; 78; 66; 66; 60; 66.
2. Собрать статистические данные о связи количества отличных и хороших оценок в
школьном аттестате и хороших и отличных оценок, полученных в ходе прошедшей
сессии. Используя возможности Excel, рассчитайте и постройте график уравнение
регрессии, рассчитайте коэффициент корреляции. Проанализируйте полученные
данные.
3. Приведены результаты измерений систолического давления х ( в мм рт. ст.) у 15
пациентов терапевтического отделения лечебного учреждения:
165
147
150
152
145
148
154
154
145
157
157
162
149
154
151
1) Оцените параметры систолического давления пациентов терапевтического
отделения (генеральное среднее, генеральную дисперсию, генеральное
среднеквадратическое отклонение).
2) Используя данные первой строки таблицы, для доверительной вероятности 0,95
дать интервальную оценку для генерального среднего значения систолического
давления у 5 пациентов терапевтического отделения.
3) Построить гистограмму плотности относительных частот в диапазоне от 100 до 200
мм рт. ст. Диапазон следует разбить на 10 интервалов.
4. Подготовиться к контрольной работе.
Контрольная работа по элементам теории вероятностей и математической
статистике
Вариант №0
1. Из урны, в которой находятся 5 белых шаров и 7 черных шаров, вынимают один
шар. Чему равна вероятность, что шар будет белым?
2. Два стрелка делают по 1 выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого –
0,9, второго – 0,8. Чему равна вероятность, что цель будет поражена?
3. В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй 3 белых и 7 черных. Из
наудачу взятой урны вынули один шар. Какова вероятность, что шар будет белым?
4. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:
Хi
2
3
10
Рi
0,1
a
0,5
Чему равно a?
5. Чему равны медиана, мода и среднее арифметическое следующего распределения:
2,3,4,6,7,7,8.
6. По выборке объёмом n=4 xi: 5,6,7,7 найти несмещенную оценку генеральной
средней.
7. Дана интервальная оценка (9,5;10,2). Чему равна точечная оценка математического
ожидания?
8. По выборочному уравнению парной регрессии, найдите значение коэффициента
линейной регрессии: y=4x+3.
9.Определите доверительный интервал для средней активности препарата с уровнем
доверительной вероятности 0,95.
Х: 905,925,940.
1
(𝑥−2)2
10.Если формула закона нормального распределения имеет вид, f(X)= 5√2𝜋 𝑒 − 50 , то
чему равно стандартное отклонение?
11. Приведены результаты измерений систолического давления х ( в мм рт. ст.) у 15
пациентов хирургического отделения лечебного учреждения:
125
147
110
112
145
148
114
154
145
157
157
122
149
134
151
1) Оцените параметры систолического давления пациентов хирургического отделения
(генеральное среднее, генеральную дисперсию, генеральное среднеквадратическое
отклонение).
2) Используя данные первой строки таблицы, для доверительной вероятности 0,95
дать интервальную оценку для генерального среднего значения систолического
давления у 5 пациентов хирургического отделения.
3) Построить гистограмму плотности относительных частот в диапазоне от 100 до 200
мм рт. ст. Диапазон следует разбить на 10 интервалов.