. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ ТЯЖЁЛОЙ ЖИДКОСТИ В

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ТЕЧЕНИЙ ТЯЖЁЛОЙ ЖИДКОСТИ В
ПРИБЛИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ.
Петросян А.С., Карельский К.В, Тарасевич С.В.
Институт Космических Исследований РАН
Таруса, 21 октября 2011
СОДЕРЖАНИЕ














Применение приближения мелкой воды для магнитной
гидродинамики
Уравнения МГД мелкой воды на ровной границе
Непрерывные частные решения
Разрывные частные решения
Постановка задачи распада разрыва
Возможные волновые конфигурации
Условия реализации конфигураций
Уравнения МГД мелкой воды на неровной границе
Инварианты Римана
Решения типа волн Римана
Разрывные частные решения
Замена переменных
Решение задачи распада разрыва
Результаты и выводы
ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ
ВОДЫ
Вертикальные ускорения в слое жидкости много меньше
силы тяжести
Нейтронные звёзды
 Солнечный тахоклин
 Производство алюминия

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ
ВОДЫ
Система уравнений МГД в поле силы тяжести
 Ось z антиколлинеарна вектору силы тяжести
 Гидростатичность распределения давлений
 Малость отклонения горизонтальных
составляющих скорости и магнитного поля от
средних по глубине значений

Интегрирование уравнений
по глубине
ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ
ВОДЫ
  u12  B12  gh 
  u1 
  u1u2  B1 B2 
  u1u3  B1 B3   0 


 u 
  u 2  B 2  gh 
 u u  B B   0 

u
u

B
B
2
2
2
2 3 
1
2
1
2






 2 3


2
2
  u1u3  B1 B3 
 u 
  u2u3  B2 B3 
  u3  B3  gh     g 
t  3    x 


  y 
 z


B
u
B

u
B
u
B

u
B
0
0
1
2
1
1
2
3
1
1
3







 

 u B u B 
 B2 





0
u3 B2  u2 B3
0 
1 2
2 1







 

B
u
B

u
B
0
0
u
B

u
B

 

 3 
 2 3 3 2 
 1 3 3 1 
u1 u2 u3


0
x y
z
B1 B2 B3


0
x
y
z
Граничные условия
u3
z 0
u3
z h
B3
z 0
B3
z h
0

Dh h
h

 u1 z h
 u2
Dt t
x
0
 B1 z h  x h  B2
z h
 yh
h
z h
y
ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ
ВОДЫ
 h
 h
h
u
dz

u
dz

0
 1
 2
x 0
y 0
t
  h2 / 2 
h
 h 2
 h 2
 h
 h
  u1dz    u1 dz   B1 dz   g
   u1u2 dz    B1B2 dz  0.
t 0
x 0
x 0
x
y 0
y 0
  h2 / 2 
h
 h
 h
 h 2
 h 2
  u2 dz    u1u2 dz   B1B2 dz   g
   u2 dz    B2 dz  0.
t 0
x 0
x 0
y
y 0
y 0
h
 h
 h
 B1dz  y  B1u2 dz  y  B2u1dz  0
t 0
0
0
h
 h
 h
 B2 dz  x  B2u1dz  x  B1u2 dz  0
t 0
0
0
 h
 h
B1dz   B2 dz  0

x 0
y 0
Вводя средние по глубине величины
и пренебрегая квадратами отклонений, получаем
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МГД МЕЛКОЙ
ВОДЫ
Одномерный случай
 h hu1
 t  x  0

 hu1   c 2  u 2  h  2u hu1  0
g
1
1
 t
x
x
 hu
hu1
hu2
hB2
h

2

B
B

u
u

u

u

B
0



1 2
1 2
2
1
1
x
x
x
x
 t
 hB1
 t  0

 hB2   u B  u B  h  B hu1  B hu2  u hB2  0
2 1
1 2
2
1
1
 t
x
x
x
x
hB1
0
x
h – глубина жидкости
u1 ,u2– скорость
жидкости
B1 ,B2– приведённая
напряжённость
магнитного поля ( B /  )
cg  B12  gh – скорость
распространения малых
возмущений
x – пространственная
координата
t – временная
координата
УРАВНЕНИЯ В ИНВАРИАНТАХ РИМАНА
 u1
h
   2
 u   cg
t  1    h
 u2  
   0
 B2   0

h
0
u1
0
0
0
u1
 B1
0 
  h  0
   
0   u1   0 
x

  u2   0 
 B1     
B2   0 


u1 
hB1  const
Собств. вектора:  c
g
/ h 1 0 0
c
g
/ h 1 0 0
0
0 1 1
0
Производится умножение системы на собственные
вектора и вводятся новые переменные
0 1 1
УРАВНЕНИЯ В ИНВАРИАНТАХ РИМАНА
r
r
  u1  cg   0
t
x
s
s
  u1  cg   0
t
x
r  u1    h 
s  u1    h 
p
p
  u1  B1 
0
t
x
q
q
  u1  B1 
0
t
x
B1h
0
t
cg 
B12
p  u2  B2
q  u2  B2
 gh
  h  
cg
h
dh
ВОЛНЫ РИМАНА
Альфвеновские волны
r  const,s  const, p  const
r  const,s  const,q  const
u2  x,t   B2  x,t   u2  x,0   B2  x,0 
u2  x,t   B2  x,t   u2  x,0   B2  x,0 
u1  x,t   u1  x,0 
u1  x,t   u1  x,0 
B1  x,t   B1  x,0 
B1  x,t   B1  x,0 
h  x,t   h  x,0 
h  x,t   h  x,0 
u2  x,t   B2  x,t   u2  x0 ,0   B2  x0 ,0 
u2  x,t   B2  x,t   u2  x0 ,0   B2  x0 ,0 
вдоль характеристик
dx
 u1  B1
dt
вдоль характеристик
dx
 u1  B1
dt
ВОЛНЫ РИМАНА
Магнитогравитационные волны
Волна, бегущая влево
r  const,q  const, p  const
u1  x,t     h  x,t    u1  x,0     h  x,0  
u2  x,t   u2  x,0 
B2  x,t   B2  x,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x,0  h  x,0 
u1  x,t     h  x,t    u1  x0 ,0     h  x0 ,0  
вдоль характеристик
dx
 u1  cg
dt
Волна, бегущая вправо
s  const,q  const, p  const
u1  x,t     h  x,t    u1  x,0     h  x,0  
u2  x,t   u2  x,0 
B2  x,t   B2  x,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x,0  h  x,0 
u1  x,t     h  x,t    u1  x0 ,0    h  x0 ,0 
вдоль характеристик
dx
 u1  cg
dt
ВОЛНЫ РИМАНА
Магнитогравитационные волны
r  const,q  const, p  const
u1 1 s

x 2 x
1
u1   r0  s 
2
r0  u1  
u1  h

0
x h x
s  const,q  const, p  const
1
u1   r  s0 
2
u1 1 r

x 2 x
u1  h

0
x h x
s0  u1  
s
0
x
h
волна понижения
 0 уровня
x
r
0
x
h
0
x
s
0
x
h
0
x
r
0
x
h
волна повышения
 0 уровня
x
волна повышения
уровня
волна понижения
уровня
ВОЛНЫ РИМАНА
Автомодельные решения
Магнитогравитационная
волна разрежения, бегущая
влево
r  const,q  const, p  const
u1  x,t     h  x,t    u1  x,0     h  x,0  
u2  x,t   u2  x,0 
B2  x,t   B2  x,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x,0  h  x,0 
u1  x,t     h  x,t    u1  x0 ,0     h  x0 ,0  
dx
вдоль характеристик dt  u  c
выходящих из точки  x0 ,0 
1
g
Магнитогравитационная
волна разрежения, бегущая
вправо
s  const,q  const, p  const
u1  x,t     h  x,t    u1  x,0     h  x,0  
u2  x,t   u2  x,0 
B2  x,t   B2  x,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x,0  h  x,0 
u1  x,t     h  x,t    u1  x0 ,0    h  x0 ,0 
dx
 u1  cg
dt
вдоль характеристик
выходящих из точки  x0 ,0 
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
G
 h hu1
 t  x  0

2
2
2
 hu1   hu1  hB1  1 / 2 gh 
0
 t 
x

 hu2   hu1u2  hB1 B2 

0

x
 t
 hB1
 t  0

 hB2    hu1 B2  hB1u2   0
 t
x

РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
I
u1I (t )  lim u1 ( x, t )
u1II (t )  lim u1 ( x, t )
u2 I (t )  lim u2 ( x, t )
u2 II (t )  lim u2 ( x, t )
B1I (t )  lim B1 ( x, t )
B1II (t )  lim B1 ( x, t )
B2 I (t )  lim B2 ( x, t )
B2 II (t )  lim B2 ( x, t )
hI (t )  lim h( x, t )
hII (t )  lim h( x, t )
x  x ( t ) 0
II
x  x ( t ) 0
D  D(t )  x(t )
x  x ( t ) 0
x  x ( t ) 0
x x ( t )0
x x ( t )0
x x ( t )0
x x ( t )0
 DhI  hI u1I  DhII  hII u1II

2
2
2
2
2
2
Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h

Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h
I 1I
I 1I
I
II 1II
II 1II
II 1II
II
 I 1I

 DhI B1I  DhII B1II
 Dh u  h u u  h B B  Dh u  h u u  h B B
I 1I 2 I
I 1I 2 I
II 2 II
II 1II 2 II
II 1II 2 II
 I 2I
 DhI B2 I  hI u1I B2 I  hI u2 I B1I  DhII B2 II  hII u1II B2 II  hII u2 II B1II
x  x ( t ) 0
x x ( t )0
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Альфвеновские волны
 DhI  hI u1I  DhII  hII u1II

2
2
2
2
2
2
Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h

Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h
I 1I
I 1I
I
II 1II
II 1II
II 1II
II
 I 1I

 DhI B1I  DhII B1II
 Dh u  h u u  h B B  Dh u  h u u  h B B
I 1I 2 I
I 1I 2 I
II 2 II
II 1II 2 II
II 1II 2 II
 I 2I
 DhI B2 I  hI u1I B2 I  hI u2 I B1I  DhII B2 II  hII u1II B2 II  hII u2 II B1II
hI  hII
D  u1  B1
B2 I  B2 II 
u1I  u1II
 u2 I  u2 II 
B1I  B1II
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Магнитогравитационные волны
 DhI  hI u1I  DhII  hII u1II

2
2
2
2
2
2
Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h

Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h
I 1I
I 1I
I
II 1II
II 1II
II 1II
II
 I 1I

 DhI B1I  DhII B1II
 Dh u  h u u  h B B  Dh u  h u u  h B B
I 1I 2 I
I 1I 2 I
II 2 II
II 1II 2 II
II 1II 2 II
 I 2I
 DhI B2 I  hI u1I B2 I  hI u2 I B1I  DhII B2 II  hII u1II B2 II  hII u2 II B1II
B2 I  B2 II ,u2 I  u2 II
hI B1I  hII B1II
D
hI u1I  hII u1II
hI  hII
u1I  u1II    hI  hII 
g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
hI hII
2
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Тангенциальные разрывы
Для случая B1  0
hI  hII u1I  u1II B1I  B1II  0
D  u1
слева
B2 I ,u2 I
справа B2 II ,u2 II
Для случая B1  0 все величины непрерывны
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПАДА РАЗРЫВА
 h hu1
 t  x  0

 hu1   c  u  h  2u hu1  0
g
1
1
 t
x
x
 hu
hu1
hu2
hB2
h

2

B
B

u
u

u

u

B
0



1 2
1 2
2
1
1
x
x
x
x
 t
 hB1
 t  0

 hB2   u B  u B  h  B hu1  B hu2  u hB2  0
2 1
1 2
2
1
1
 t
x
x
x
x
hB1
0
x
t  0
h  h ,u  u ,u  u ,B  B ,B  B ; x  0

I
1
1I
2
2I
1
1I
2
2I

h  hII ,u1  u1II ,u2  u2 II ,B1  B1II ,B2  B2 II ; x  0
 B1I hI  B1II hII
h – глубина жидкости
u1 ,u2 – скорость
жидкости
B1 ,B2 – приведённая
напряжённость
магнитного поля
cg  B12  gh – скорость
распространения
малых возмущений
ВОЗМОЖНЫЕ ВОЛНОВЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
Выбор системы координат


Глубина жидкости справа не превышает глубину
жидкости слева
Жидкость справа покоится
ВОЗМОЖНЫЕ ВОЛНОВЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
Две магнитогравитационные волны
понижения уровня, две альфвеновские
волны
Магнитогравитационная волна
понижения уровня,
магнитогравитационная ударная волна,
две альфвеновские волны
Две магнитогравитационные ударные
волны, две альфвеновские волны
Две гидродинамические волны
понижения уровня, зона вакуума
УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ КОНФИГУРАЦИЙ
u1I  cgI  u1IV  cgIV  u1IV  B1IV  u1IV  B1IV  D
hII  hIV  hI
УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ КОНФИГУРАЦИЙ
(1)
1IV
u
 u1I    hI     hIV 
Убывает по hIV
hII  hIV  hI
(2)
1IV
u
   hII  hIV 
g / 2  hII  hIV    B1I hI  /  hII hIV 
hII hIV
2
Возрастает по hIV
Для существования и единственности корня на отрезке  hII , hI 
u1(1)IV  hII   u1(2)
IV  hII 
u1(1)IV  hI   u1(2)
IV  hI 
  hII     hI   u1I   hI  hII 
g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
hI hII
2
УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ КОНФИГУРАЦИЙ
Две ударные волны,
две альфвеновские волны
u1I   hI  hII 
g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
hI hII
2
Ударная волна, волна понижения уровня,
две альфвеновские волны
u1I    hII     hI 

2

g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
u1I   hI  hII 
hI hII

Две волны понижения уровня, две альфвеновские волны
u1I    hII     hI 
Две волны понижения уровня, зона вакуума
 B1I  B1II  0

u1I  2cgI  2cgII
МГД МЕЛКАЯ ВОДА НАД НЕРОВНОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ
Вводится новый параметр:
b – высота подстилающей поверхности
Уравнения МГД мелкой
воды
Одномерный случай
 h hu1
 t  x  0

 hu1   c 2  u 2  h  2u hu1   gh b
g
1
1
 t
x
x
x
 hu
hu1
hu2
hB2
h

2

B
B

u
u

u

u

B
0



1 2
1 2
2
1
1

t

x

x

x

x

 hB1
 t  0

 hB2   u B  u B  h  B hu1  B hu2  u hB2  0
2 1
1 2
2
1
1
 t
x
x
x
x
hB1
0
x
h – глубина жидкости
u1 ,u2 – скорость
жидкости
B1 ,B2 – приведённая
напряжённость
магнитного поля ( B /  )
cg  B12  gh – скорость
распространения малых
возмущений
b – высота дна
УРАВНЕНИЯ В ИНВАРИАНТАХ РИМАНА
r
r
b
  u1  cg    g
t
x
x
s
s
b
  u1  cg    g
t
x
x
p
p
  u1  B1 
0
t
x
q
q
  u1  B1 
0
t
x
B1h
0
t
cg 
r  u1    h 
s  u1    h 
p  u2  B2
q  u2  B2
B12
 gh
  h  
cg
h
dh
РЕШЕНИЯ ТИПА ВОЛН РИМАНА
 Классические
волны Римана
не являются решениями
 Решения типа волны Римана тождественно
удовлетворяют три из четырёх уравнений
r
r
b
  u1  cg    g
t
x
x
s
s
b
  u1  cg    g
t
x
x
 Существуют
b
x
 k  const
p
p
  u1  B1 
0
t
x
q
q
  u1  B1 
0
t
x
только для наклонных плоскостей
ВОЛНЫ РИМАНА
Альфвеновские волны
Уравнения на s, r, p
выполнены тождественно
u2  x,t   B2  x,t   u2  x0 ,0   B2  x0 ,0 
u1  x,t   gkt  u1  x0 ,0 
B1  x,t   B1  x0 ,0 
h  x,t   h  x0 ,0 
u2  x,t   B2  x,t   u2  x0 ,0   B2  x0 ,0 
вдоль характеристик
dx
 u1  B1
dt
Уравнения на r, s, q
выполнены тождественно
u2  x,t   B2  x,t   u2  x,0   B2  x,0 
u1  x,t   gkt  u1  x,0 
B1  x,t   B1  x,0 
h  x,t   h  x,0 
u2  x,t   B2  x,t   u2  x0 ,0   B2  x0 ,0 
вдоль характеристик
dx
 u1  B1
dt
ВОЛНЫ РИМАНА
Магнитогравитационные волны
Волна, бегущая влево
Волна, бегущая вправо
Уравнения на s, p, q
выполнены тождественно
Уравнения на r, p, q
выполнены тождественно
u  x,t     h  x,t    gkt 
1

 u1  x t 0 ,0    h  x t 0 ,0 
u2  x,t   u2  x t 0 ,0 
u1  x,t     h  x,t    gkt 

 u1  x t 0 ,0    h  x t 0 ,0 

u2  x,t   u2  x t 0 ,0 
B2  x,t   B2  x t 0 ,0 
B2  x,t   B2  x t 0 ,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x t 0 ,0  h  x t 0 ,0 

u1  x,t     h  x,t    u1  x t 0 ,0    h  x t 0 ,0 
вдоль характеристик

dx
 u1  cg  gkt
dt

B1  x,t  h  x,t   B1  x t 0 ,0  h  x t 0 ,0 

u1  x,t     h  x,t    u1  x t 0 ,0    h  x t 0 ,0 
вдоль характеристик
dx
 u1  cg  gkt
dt

ВОЛНЫ РИМАНА
Автомодельные решения
Магнитогравитационная
Магнитогравитационная
волна разрежения, бегущая
волна разрежения, бегущая
влево
вправо
u1  x,t     h  x,t    gkt 
u1  x,t     h  x,t    gkt 
 u1  x0 ,0     h  x0 ,0  
 u1  x0 ,0     h  x0 ,0  
u2  x,t   u2  x0 ,0 
u2  x,t   u2  x0 ,0 
B2  x,t   B2  x0 ,0 
B2  x,t   B2  x0 ,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x0 ,0  h  x0 ,0 
B1  x,t  h  x,t   B1  x0 ,0  h  x0 ,0 
u1  x,t     h  x,t    gkt  u1  x0 ,0    h  x0 ,0   u1  x,t     h  x,t    gkt  u1  x0 ,0     h  x0 ,0 
dx
 u  c  gkt
вдоль характеристик dt  u  c  gkt вдоль характеристик dx
dt
выходящих из точки  x0 ,0 
выходящих из точки  x0 ,0 
1
g
1
g
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
G
 h hu1
 t  x  0

2
2
2
 hu1   hu1  hB1  1 / 2 gh 
b



g
 t
x
x

 hu2   hu1u2  hB1 B2 

0

x
 t
 hB1
 t  0

 hB2    hu1 B2  hB1u2   0
 t
x

РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
I
II
D  D(t )  x(t )
u1I (t )  lim u1 ( x, t )
u1II (t )  lim u1 ( x, t )
u2 I (t )  lim u2 ( x, t )
u2 II (t )  lim u2 ( x, t )
B1I (t )  lim B1 ( x, t )
B1II (t )  lim B1 ( x, t )
B2 I (t )  lim B2 ( x, t )
B2 II (t )  lim B2 ( x, t )
x  x ( t ) 0
x  x ( t ) 0
x  x ( t ) 0
x  x ( t ) 0
x x ( t )0
x x ( t )0
x x ( t )0
x x ( t )0
h (t )  lim h( x, t )
h (t )  lim h( x, t )
 DhI  hI u1I  DhII  hII u1II

2
2
2
2
2
2
Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h

Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h
I 1I
I 1I
I
II 1II
II 1II
II 1II
II
 I 1I

 DhI B1I  DhII B1II
 Dh u  h u u  h B B  Dh u  h u u  h B B
I 1I 2 I
I 1I 2 I
II 2 II
II 1II 2 II
II 1II 2 II
 I 2I
 DhI B2 I  hI u1I B2 I  hI u2 I B1I  DhII B2 II  hII u1II B2 II  hII u2 II B1II
I
x  x ( t ) 0
II
x x ( t )0
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Альфвеновские волны
 DhI  hI u1I  DhII  hII u1II

2
2
2
2
2
2
Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h

Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h
I 1I
I 1I
I
II 1II
II 1II
II 1II
II
 I 1I

 DhI B1I  DhII B1II
 Dh u  h u u  h B B  Dh u  h u u  h B B
I 1I 2 I
I 1I 2 I
II 2 II
II 1II 2 II
II 1II 2 II
 I 2I
 DhI B2 I  hI u1I B2 I  hI u2 I B1I  DhII B2 II  hII u1II B2 II  hII u2 II B1II
hI  hII
D  u1  B1
B2 I  B2 II 
u1I  u1II
 u2 I  u2 II 
B1I  B1II
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Магнитогравитационные волны
 DhI  hI u1I  DhII  hII u1II

2
2
2
2
2
2
Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h

Dh
u

h
u

h
B

g
/
2
h
I 1I
I 1I
I
II 1II
II 1II
II 1II
II
 I 1I

 DhI B1I  DhII B1II
 Dh u  h u u  h B B  Dh u  h u u  h B B
I 1I 2 I
I 1I 2 I
II 2 II
II 1II 2 II
II 1II 2 II
 I 2I
 DhI B2 I  hI u1I B2 I  hI u2 I B1I  DhII B2 II  hII u1II B2 II  hII u2 II B1II
B2 I  B2 II ,u2 I  u2 II
hI B1I  hII B1II
D
hI u1I  hII u1II
hI  hII
u1I  u1II    hI  hII 
g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
hI hII
2
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
Контактные разрывы
Для случая
B1  0
hI  hII u1I  u1II B1I  B1II  0
D  u1
слева B2 I ,u2 I
справа B2 II ,u2 II
Для случая B1  0 все величины непрерывны
СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ
Наклонная плоскость
Ровное дно
Характеристики
X  t    1 gkt 2   u1  cg  t  X  0 
2
1

2
 x  x  gkt
2

t  t
X  t    u1  cg  t  X  0 
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Невырожденная замена переменных
x  x  gkt 2 / 2
t t
u1  u1  gkt
сводит систему уравнений МГД мелкой воды на
наклонной плоскости к системе уравнений на
ровной плоскости (в дальнейшем знак тильды
опущен)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПАДА РАЗРЫВА
 h hu1
 t  x  0

 hu1   c 2  u 2  h  2u hu1   g b
g
1
1
 t
x
x
x
 hu
hu1
hu2
hB2
h

2
  B1 B2  u1u2   u2
 u1
 B1
0

x
x
x
x
 t
 hB1
 t  0

 hB2   u B  u B  h  B hu1  B hu2  u hB2  0
2 1
1 2
2
1
1
 t
x
x
x
x
hB1
0
x
t  0
h  h ,u  u ,u  u ,B  B ,B  B where x  0

I
1
1I
2
2I
1
1I
2
2I

h  hII ,u1  u1II ,u2  u2 II ,B1  B1II ,B2  B2 II where x  0
 B1I hI  B1II hII
h – глубина жидкости
u1 ,u2 – скорость
жидкости
B1 ,B2 – приведённая
напряжённость
магнитного поля ( B /  )
cg  B12  gh – скорость
распространения малых
возмущений
b – высота дна
УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ КОНФИГУРАЦИЙ
Две ударные волны,
две альфвеновские волны
2
g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
u1I   hI  hII 
hI hII
Ударная волна, волна разрежения, две альфвеновские волны
u1I    hII     hI 

2

g / 2  hI  hII    B1I hI  /  hI hII 
u1I   hI  hII 
hI hII

Две волны разрежения, две альфвеновские волны
u1I    hII     hI 
Две волны разрежения, зона вакуума
 B1I  B1II  0

u1I  2cgI  2cgII
ОБРАТНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Используя обратную замену координат
1

2
x

x

gkt

2

t  t
u  u  gkt


можно получить решение задачи распада разрыва
на наклонной плоскости
РАСПАД РАЗРЫВА НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
Две магнитогравитационные волны
разрежения, две альфвеновские волны
Магнитогравитационная волна
разрежения, магнитогравитационная
ударная волна, две альфвеновские волны
Две магнитогравитационные ударные
волны, две альфвеновские волны
Две гидродинамические волны
разрежения, зона вакуума
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
Получены частные решения уравнений магнитной
гидродинамики в приближении мелкой воды над
ровной поверхностью и наклонной плоскостью:
магнитогравитационные и альфвеновские волны.
Показано, что над другими подстилающими
поверхностями не существует решений типа простой
волны Римана.
Найдено решение задачи распада разрыва в
магнитной гидродинамике в приближении мелкой
воды. Оно является суперпозицией двух
альфвеновских волн и решения гидродинамической
задачи распада разрыва с скоростью звука,
соответствующей распространению слабых
возмущений в МГД мелкой воде.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ