Квадратичная функция Работа с программой. - первый урок - второй урок

Квадратичная функция
Работа с программой.
Уроки и задания:
- первый урок
- второй урок
- третий урок
- четвёртый урок
- выводы
Определение квадратичной функции
2
Определение: Функция y  ax  bx  c , где a,b,c заданные
действительные числа, a  0 ,x – действительная переменная,
называется квадратичной функцией.
Вот примеры, где встречаются функции вида y  ax 2  bx  c :
1. Площадь у квадрата со стороной х вычисляется по формуле у  х. 2
2

r
2. Площадь круга S с радиусом r вычисляется по формуле s 
4
3. Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние S от него
до поверхности Земли в момент времени t определяется формулой
gt 2
s
 vt  s0
2
В этих примерах рассмотрены
частные случаи функциональной
зависимости
y  ax 2  bx  c
.
далее
1. Найти нули квадратичной функции:
а ) у  х 2  х;
б ) у  х 2  3;
в ) у  6 х 2  7 х  2 .
2. Найти коэффициенты p и q квадратичной функции:
а) х1  2, х2  3;
б ) х1  1, х2  2;
в) х1  4, х2  1, где  х1 , х2  нули  этой  функции
Решение
Справка
Далее
решение
1.a ) y  x 2  x
2.x1 * x2  q; x1  x2   p
x2  x  0
x( x  1)  0
x  1  0илиx  0
x 1
Ответ : x  1илиx  0
б) y  x2  3
x2  3  0
x2  3
x 3
Ответ : x   3.
в ) y  6 x 2  7 x  2
 6x2  7x  2  0
 b  b  4ac
2a
 7  49  48 1
 7 1 2
x1 
 ; x2 

 12
2
 12
3
1
2
Ответ : x1  ; x2  .
2
3
x1.2 
2
a) x1  2; x2  3
q  2 * 3  6; p  (2  3)  5
Ответ : q  6; p  5
б ) x1  1; x2  2
q  1* (2)  2; p  (1  2)  3
Ответ : q  2; p  3
в ) x1  4; x2  1
q  4 *1  4; p  (4  1)  3
Ответ : q  4; p  3
Далее
Функции
y  x2
и
y  ax 2 (а>0)
.
Рассмотрим свойства данных функций:
1. Если х=0, то у=0.
2. Если х 0, то у  0 при а  0.
3. Для неотрицательных значений х функции возрастают, а для
неположительных значений х убывают.
2
2
4. Графики симметричны относительно оси у, так как ( x)  x .
5. Функции непрерывные, поэтому их графики - непрерывные линии.
6. Область определения функций множество R всех действительных чисел.
График функции y  ax 2, если а  1, получается из графика функции
y  x 2 растяжением последнего в a раз вдоль оси у; если же 0  a  1 , то
сжатием последнего в 1/а раз.
Синий график – y  x 2
2
Фиолетовый график – y  4x
Зелёный график Задание.
y
1 2
x
8
1. На рисунке представлены графики функций y  x 2 (синий график) и
Определите а.
а)
б)
у  ах 2
2. Заданы функции у  х 2 и у  3х 2 .
а) При каких х определены эти функции?
б) Какие значения принимают эти функции при х>0, х<0, х=0?
в) Вычислите значения данных функций при х, равном 0,5; -0,5; 1; -1; 1 1/3;
-1 1/3. Решение оформите в виде таблицы.
г) В каких четвертях расположены графики функций?
д) При каких х значения функций больше нуля, меньше нуля, равны нулю?
Далее
Назад
Ответы и решение
Ответы и решение.
1. а) По графику найдём значение функций при х=1, у(1)=1 и у(1)=3 .
Ординаты находятся в отношении 3:1, значит а=3.
б) По графику найдём значение функций при х=2, у(2)=4 и у(2)=1.
Ординаты находятся в отношении 1:4, значит а=¼.
2. а) Область определения множество действительных чисел R.
б) При х>0 и х<0, у>0; при х=0, у=0.
в) х
г) В I и II четвертях.
у  3х 2
у  х2
0,5
0,25
0,75
д) у>0 при х>0 и х<0; у=0 при х=0;
-0,5
0,25
0,75
отрицательных значений функции
1
1
3
не принимают.
-1
1
3
1 1/3 1 7/9
5 1/3
-1 1/3 1 7/9
5 1/3
назад
далее
Функция у  ах , а  0
2
.
Рассмотрим два случая, когда а>0 и а<0. Построим графики функций у  2х
и у  2х 2 . От знака а зависит направление ветвей параболы. При а>0
ветви направлены вверх, а при а<0 –вниз.
Перечислим основные свойства функции
у  ах 2 , а  0 :
1.Область определения функции R множество действительных чисел.
2. Если а>0, то функция принимает положительные значения при х  0
;
если а<0, то функция принимает отрицательные значения при х  0 ;
значение функции равно 0 при х=0.
3. Если а>0, то функция возрастает при х  0 и убывает при х  0 ;
если а<0, то функция убывает при х  0 и возрастает при х  0 .
4. Функция чётная, графиком функции является парабола. Осью симметрии
служит ось ОУ. Точку пересечения параболы с осью симметрии называют
вершиной параболы.
Задание
2
1. Постройте график функции у   х 2 и определите с помощью
графика при каких х:
а) у>0; б) у0; в) у< -1; г) у-4.
(Задание перепишите в тетрадь)
Построить
2.
Функция
2

3х
У=
у  0,2 х 2
Ответы
Точка
принадлежит
графику
Определите
( t; -3)
t
( -0.2; t)
t
Назад
Далее
Решение:
1. а) у>0 - не принимает
положительных значений,
т.к. график расположен
ниже оси ох;
б) у0 – при любом х;
в) у<-1 – при
х(-;-3)(3;+);
г) у-4 – при
1
1
х (-;-6 3 ][6 3 ;+).
2. а) необходимо найти координату х:
у  3х 2 : 3  3х 2 ; х 2  1; х  1
(t ;3)
б) необходимо найти координату у: у  0,2 х 2 : у  0,2 * (0,2) 2 ; у  0,008
(0,2; t )
Т.к. точки принадлежат графикам, то их координаты удовлетворяют
уравнениям, задающим функцию.
Назад
Далее
Функция
у  ах 2  вх  с
.
Рассмотрим функцию у  ах 2  вх  с . Её называют квадратичной функцией. Любую квадратичную функцию с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде
в
в 2  4ас
у  а( х  ) 
 а( х  х0 ) 2  у0 , где
а
4а
2
в
в  4ас Графиком функции у  ах 2  вх  с явх0   , у0  у( х0 )  
.
2а
4а
2
ляется парабола, получаемая сдвигом параболы у  ах :
вдоль оси абсцисс вправо на х0 , если х0 >0, влево на х0 , если х0 <0;
вдоль оси ординат вверх на у 0 , если у 0>0, вниз на у0 , если у 0 <0, т. е.
вдоль координатных осей. Координаты
( х0 ; у0 ) вершины параболы
можно найти по формулам:
х0  
в
, у0  у ( х0 )  ах02  вх0  с.
2а
Задание
Построить графики функций и по графику:
1) Найти значения х, при которых значения функции положительны ; отрицательны;
2) найти промежутки возрастания и убывания функции;
3) выяснить при каком значении х функция принимает наибольшее или
наименьшее значение, найти его.
а) у  3х 2  8 х  4;
б) у  3х 2  6 х  4.
(Задание переписать в тетрадь)
Построить.
2. По данному графику квадратичной функции выяснить её свойства:
Далее
Назад
Решение
Решение:
1. а) 1) при х<0,6 и х>2
у>0; при 0,6<х<2 у<0;
2) функция возрастает
при х>1,3 и убывает при
х<1,3; 3) при х=1,3
функция принимает наменьшее значение:
у(1,3)=-1,3.
б) 1) функция принимает только отрицательные значения; 2) функция возрастает при х<-1 и убывает при х>-1; 3) при х=-1 функция принимает наибольшее значение: у(-1)=-1.
2. 1) функция принимает только положительные значения; 2) функция возрастает при х>1 и убывает при х<1; 3) при х=1 функция принимает наименьшее значение: у(1)=3; 4) ось симметрии параболы прямая х=1.
Далее
Назад
Выводы.
Подведём итоги:
1. Область определения функции у  ах 2  вх  с, а  0 есть множество всех
действительных чисел R.
2
2. Графиком функции у  ах  вх  с, а  0 является парабола.
3. Ось симметрии параболы у  ах 2  вх  с, а  0 прямая, параллельная оси
ординат и проходящая через вершину параболы, координаты которой находят
по формулам
в
х0   , у0  у ( х0 )  ах02  вх0  с.
2а
4. Ветви параболы у  ах 2  вх  с, а  0 направлены вверх, если а>0, и
направлены вниз, если а<0.
5. При а>0 функция убывает на промежутке  ; х  и возрастает на про0
межутке х ; ; при а<0 наоборот.
0
6. График функции у  ах 2  вх  с, а  0 можно построить по следующей
схеме:
Далее
а) Построить вершину параболы х0 ; у0  , вычислив
х0  
х0 , у0 по формулам
в
, у0  у ( х0 )  ах02  вх0  с.
2а
б) Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат,
ось симметрии параболы.
в) Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.
г) Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно
её оси. Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и
х  2х0 (ординаты этих точек равны с).
д) Провести через построенные точки параболу.
6. Функция у  ах 2  вх  с, а  0 принимает наименьшее (если а>0) или
наибольшее (если а<0) значение, равное у0  у ( х0 ) .
Далее
Парабола обладает многими интересными свойствами, которые
широко используются в технике. Например, на оси симметрии
параболы есть точка, которую называют фокусом параболы. Если в
этой точке находится источник света, то все отражённые от параболы
лучи идут параллельно. Это свойство используется при изготовлении
прожекторов, локаторов и других приборов.
2
2
Фокусом параболы у  1х является точка  0; 1 . А фокус параболы у  ах


 4
находится в точке  0; 4а .


Очень часто свойства квадратичной функции используют при решении задач
с практическим содержанием. Одна из таких задач предложена на втором
слайде.
Полученные знания, будут использованы в дальнейшем при решении
квадратных неравенств.
Желаем Вам дальнейших успехов!
Если хочешь, то прочти ещё раз.
В Древнем Вавилоне грамотные люди умели решать довольно сложные
уравнения, в том числе и уравнения второй степени. С одной из идей
решения, предложенных вавилонскими математиками, сейчас
познакомимся.
Вспомним теорему Виета. Для уравнения х 2  px  q  0 справедлива система
равенств  х  х   р .
1
2

 х1 * х2  q
Хотя Франсуа Виет тогда ещё не родился вавилоняне знали эти факты,
выражая их немножко по-другому. Задачи, которые сегодня мы свели бы к
квадратному уравнению, вавилоняне часто рассматривали как задачи на
определение длины и ширины прямоугольника по известной его площади
и либо сумме длины и ширины, либо разности. Иначе говоря, если х1 длина, х2 - ширина, р – сумма длины и ширины или их разность, q –
площадь, то на нашем языке
либо  х1 * х2  q;
либо  x1 * x2  q;


 x1  x2  p.
 x1  x2  p,
Решая первую систему, найдём разность длины и ширины, причём так как
длина всегда больше ширины, то эта разность положительна:
Далее
x1  x2 
p 2  4q . Теперь, когда нам известна и сумма длины и ширины, и
их разность, получилась система уравнений первой степени с двумя
неизвестными:  x  x  p 2  4q ;
1
2

 x1  x2  p.
p 2  4q
; x2 
2
p
Решив эту систему, получим: x1  
2
p 2  4q p
 .
2
2
Попробуйте самостоятельно провести такие же рассуждения для второй
системы, у вас должно получится:
p 2  4q
p 2  4q p
p
x1 
2

2
; x2 
2

2
.
А теперь вспомните, что для решения приведённого уравнения вы
p
p2
пользовались формулой
x1.2  
2

4
 q.
Похоже? Конечно, только наш способ проще за счёт применения
отрицательных чисел – вместо двух приёмов решения, вместо двух
систем уравнений мы учим всего одну формулу. Запомнить эти два
приёма нелегко, и люди искали пути для облегчения счёта.
Назад
1. В треугольнике АВС ha +а= 16 см. Определите
наибольшую площадь треугольника АВС.
(Используйте программу для построения графика
функции).
График
Назад
2. При каких значениях х принимают равные значения
2
у

х
 3х  2
функции:
.
у  7х
Построение
Работа с программой.
Вы умеете работать с «мышкой»? Если да, то Вы легко справитесь с
выполнением заданий. Если нет, то запоминайте:
1. Навести курсор
на выделенный объект (слово), после того как
стрелка «превратится» в руку сделать один клик левой кнопкой.
2. Переход с одного слайда на другой осуществляется с помощью словуказателей: «Далее», «Назад», «Решение», «Построить».
3.
- активизировав эту кнопку, ты получишь дополнительные
сведения по изучаемой теме.
4.
- возврат на главную страницу.
5. Для выхода из программы нажмите
в нижнем левом углу экрана
и выберите «Завершить показ слайдов». Далее работаете по указаниям
учителя.
Далее
Построение графиков.


Для построения графиков используются программы Graph 303 и
Advanced Grapher. Обе программы имеют русский интерфейс.
Назначение всех кнопок высвечивается на русском языке, на
экране.
Для ввода функции нажми кнопку
.
+F
Ввод формул осуществляется на английском языке.
 ^ - значок возведения в степень;
* - умножение (необходимо его ставить между коэффициентом и
неизвестной);
/ - деление ( в случае дробного коэффициента);
abs – введение модуля.
2
Примеры: у(х)=3*x^2-2*x+1 ( у ( х)  3х  2 х  1 )
у(х)=0,5*x^2+abs(3*x)-2 ( у( х)  0,5х 2  3х  2 ).

Попробуем решить задачу:
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали…
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Как решать квадратные уравнения ребята уже знают. Поэтому,
приняв за х общую численность стаи, легко составить уравнение
2
 х
, а вот решить довольно сложно.

 х  12  0


8
2
 х
у     х  12
8
Но если записать в виде функции
и построить график, то ответ найти станет просто. Кривая,
являющаяся графиком этой функции, называется параболой.
задание