Теорема Бернулли. Теорема о вириале

ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 4:
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ, ТЕОРЕМА О
ВИРИАЛЕ
1. Теорема Бернулли: условия
применимости
Теорема Бернулли – результат применения теоремы об изменении
кинетической энергии к установившемуся движению жидкости.
Это – основная теорема гидродинамики, имеющая многочисленные
приложения при изучении течения воды в реках, каналах, трубах, при
исследовании действия воды в водяных двигателях и т. д.
Теорема Бернулли имеет дело с идеальной жидкостью:
1) Несжимаемой
2) Невязкой
ВАЖНО: Работа внутренних сил в идеальной жидкости равна нулю!
Теорема Бернулли имеет дело с установившемся течением:
в каждой точке пространства, наполненного жидкостью, явления не
изменяются с течением времени; направление и величина скорости в
этой точке, величина давления у этой точки остаются постоянными во
все время движения.
2. Теорема Бернулли: изменение кинетической энергии
Изменение кинетической
энергии за время dt
A
A
p1
q
v1
dT  TABCD  TABCD
B B
dT  TCDCD  TABAB
h
q
1
1 2
2
TABAB  M ABABv1  v1  Qdt
2
2
1 2
TCDC D  v2  Qdt
2
dT 
Q –объемный расход
D
жидкости [м3/c]
 – плотность жидкости
[кг/м3]
1
 Q  v22  v12  dt
2
C
C
p2
D
v2
3. Теорема Бернулли: работа
внешних сил
A
1) Работа сил тяжести
dAg  hg  Qdt
2) Работа сил давления
A
p1
q
v1
B B
dA1  Fds   p1S AB    v1dt   p1Qdt
dA2   p2Qdt
h
C
q
dAp  dA1  dA2   p1  p2  Qdt
C
D
p2
D
3) Работа сил со стороны стенок трубы равна нулю
Предполагается, что трения жидкости о стенки нет, значит силы
нормальны к стенке. Скорости частиц жидкости касательны к стенке.
Скалярное произведение есть ноль.
dA   hg   p1  p2  Qdt
v2
4. Теорема Бернулли: результат
dT  d A
1
dT   Q  v22  v12  dt
2
d A   hg   p1  p2  Qdt
A
A
p1
q
v1
B B
h

p1
p2 
v  v  2g  h 


g

g



2
2
1 2
p2 1 2
p1
v2  gz2 
 v1  gz1 
2
 2

C
q
2
1
z
2
v
p

 const
2g  g
C
D
p2
D
v2
При установившемся движении несжимаемой жидкости сумма геометрической,
скоростной и пьезометрической высот остается неизменной для частиц одной и
той же трубки тока.
v 2 2 g высота, на которую поднимается тело, брошенное вверх со скоростью v
p  g высота столба жидкости с давлением p у основания столба
5. Пример: течение в трубе
переменного сечения
a
Sb  Sd  Sa  Sc
v2
p

 const
2g  g
b
v
Q
S
c
d
vb  vd  va  vc
pb  pd  pa  pc
6. Пример: истечение из сосуда

p
p 
v22  v12  2 g  h  1  2 
g g 

v2  v12  2 gh 
Если
S1
p1 S1
2  p1  p2 
v1


h
S2
S2 , p1  p2  v2  2 gh
p2
Теорема Торичелли (1644)
S2
S2
 1
S1
Se
  0.62
  Se S2
К-т сжатия потока
Q   S2 2 gh
  0.5
v2
7. Пример: трубка Пито
Трубка Пито
Применяются при измерении
скорости потока
Трубка Прандтля
8. Пример: трубка Вентури
2
1
S1
2
2
v
p v
p
 1  2
2 
2 
S2
v1S1  v2 S2  Q
Q 2 p1 Q 2 p2
  2
2
2 S1  2 S2 
Q
S2 S1
S S
2
1
2
2
2
p1  p2

S1
,
Применяются при измерении
расхода жидкости в трубе
S2
9. Теорема о вириале
n
G   mk v k  rr
n
k 1
n
n
n
dG
  mk v k  rk   mk v k  rk   mk v k  v k   Fk  rk  2T   Fk  rk
dt k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
G ( )  G (0)

n
2 T


n
F
k 1
k
 rk
f



1

f (t )dt


- среднее за время 
0
Левая часть обращается в ноль если выполнено одно из условий
1. Интервал  не ограничен, а функция G ограничена
2. Движение периодическое с периодом 
T

1

2
n
F
k 1
k
 rk

1

2
n
F
k 1
k
 rk
вириал системы

При выполнении условий 1 или 2 среднее за время  значение
кинетической энергии равно ее вириалу
10. Пример: замкнутая
гравитационная система
n
F
k 1
k
 rk   rk   Fkl   rkl  Fkl
k
Fkl  
l k
Gmk ml
rkl
3
rkl
k
l k
rkl  rk  rl
n
Gmk ml
F

r


Ui


k
k
rkl
k 1
k l k
Теорема о вириале
2 T
Сохранение энергии
T
T


 Ui

 Ui
 E


Fkl
k
Flk
l
rkl
0
E
Ui

 2E
Указывает в какой пропорции начальная энергия «делится в среднем»
между кинетической и потенциальной энергией во время движения
замкнутой гравитационной системы
Задача :
пусть Fkl   akl rkln 1rkl
тогда
T


n 1
E
n3
Ui


2
E
n3
11. Пример: упругая цепочка
1
1
1
n
x
r1
r2
r3
rn 1
rn
 F  r  r k  r  r 1 
r  k (r  r 1)  k  r  r 1  
r  k (r  r 1)  k  r  r 1  
k
k 1
2
2
n 1
n
F r
k 1
k
k
1
k
2
1
n 1
1
3
n 2
2
n
n 1
rn k (rn  rn1  1)
  k  r2  r1  1 r2  r1  1  1 
k  r3  r2  1 r3  r2  1  1 
k  rn  rn1  1 rn  rn1  1  1 
2
2
2
  k  r2  r1  1  k  r3  r2  1   k  rn  rn1  1  


  k r2  r1  1  k r3  r2  1   k rn  rn1  1   2U   rn  r1   n  1 


k n 1
2
- потенциальная энергия системы
U    ri 1  ri  1
2 i 1

 



12. Пример: упругая цепочка
rn  r1   n  1  0
T



 U

1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
Potential Energy of the System
Kinetic Energy of the System
T
 U
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
30
40
50
Time
60
70
80
90
U


1
E
2
60
70
0.4
0.3
0.1
20

1
E
2
0.5
0.1
10
E

0.6
0.2
0
T
0.7
0.2
0
0
100
n  30
0
0
10
20
30
40
50
Time
80
90
100