ЭФФЕКТИВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Г.Б. Берсенев, Д.И. Малинин Тульский государственный университет e-mail: [email protected], [email protected] Основные обозначения 1 N – емкость СМО (ограничение узла обслуживания) или емкость источника заявок (ограничение среды СМО) m – число мест для ожидания с – число каналов обслуживания ,u - интенсивность обдумывания (экспоненциальное распределение) , v - интенсивность обслуживания одной заявки (экспоненциальное распределение) - интенсивность нагрузки Et , En - математические ожидания времени пребывания и числа заявок в СМО Et^ ( N ) - линейное приближение Et (N ) - гиперболическое приближение Et* ( N ) - асимптотическое приближение h T h, h0 1 hi - коэффициент передачи для i-го узла, где ma , a - моменты ФРВ интервалов входного потока mb , b2 - моменты ФРВ времени обслуживания m N , 2N - моменты ФРВ числа поступлений заявок в единицу времени ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ УЗЛА ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ 2 ( модель M/M/c/N ) 1. Система массового обслуживания (СМО) с отказами: N m c N – емкость СМО (ограничение узла обслуживания) m – число мест для ожидания с – число каналов обслуживания 2. СМО в замкнутой однородной или неоднородной по маршрутам сети массового обслуживания (СеМО): N – емкость источника заявок (ограничение среды СМО) Выходные параметры: - интенсивность обслуженной каналом нагрузки Et , En - математические ожидания времени пребывания и числа заявок в СМО Асимптотическая эквивалентность моделей 1. Эквивалентность по Et : 2. Эквивалентность по En : 0, Et 1/ ; 1, Et N / c ; 0, En c ; 1, En N ; N c, Et 1/ ; N , Et EtM / M / c N c, En c ; N , En EnM / M / c Асимптотическое приближение для обобщенной модели Et* ( N c) c 1 ; ( N c) N En* c ( N c) c ; ( N c) N Отклонение от асимптотического поведения: или N , Et* 1 1 c ; En* 1 1 N , Et* Et , En* En при c 1 РОБАСТНОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 1. где 2. Модель M/M/c/N с отказами в обслуживании ( N m c ): c 1 Модель M/M/1/N с отказами в обслуживании ( N m 1 ): c 1 En( N , ) - относительная погрешность в % приближения En* ( N , ) , 1( N , ) - интенсивности поступившей и обслуженной нагрузки 3 где En1( N , c, ), En2( N , c, ) - относительные погрешности в % приближения En* ( N , c, ) для N 15 , c 10 и приближения посредством модели M/M/c РОБАСТНОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 3. Модель M/M/1/N (модель ремонтника): c 1 ρ1 [c( N c)( X 1) N 2 X ] [c( N c)( X 1) N 2 X ] 2 4c( N cX )( N c) NX X / где 4 4. Модель M/M/c/N (модель многоканального ремонтника): c 1 2c( N cX ) En( N , ) - относительная погрешность в % приближения En* ( N , ) , 1( N , ) - интенсивности условной и обслуженной нагрузки ( NX ) где En1( N , c, ), En2( N , c, ) - относительные погрешности в % приближения En* ( N , c, ) для c 3 , N 10 и N 100 ( N / c ) ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ НАГРУЗОЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ( модель M/M/c/N ) 1. Нагрузочная характеристика для замкнутой модели M/M/c/N: 5 2. Виды приближений для нагрузочной характеристики: Etu(N ) Et^ ( N ) - линейное приближение Кортеж параметров линейного приближения: 1 , N * , tg c N* Et (N ) - гиперболическое приближение Et* ( N ) - асимптотическое приближение N 3. Линейное приближение, использующее , N * , tg : 1/ , если c N N * ^ Et ( N ) 1/ ( N N * ) tg, если N N * 4. Гиперболическое приближение, использующее , N * , tg : 1 2 4ktg * *2 2 , Et ( N ) N N tg N N tg 2 2 1 1 / tg где k 0 - константа для настройки гиперболического приближения. При k 0 гиперболическое приближение вырождается в линейное: Et ( N ) Et^ ( N ) N При k - наилучшее приближение нагрузочной характеристики 2 ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ ОТВЕТА В ЗАМКНУТОЙ СЕТИ 6 1. Модель многоканального ремонтника ( c 40, 0.4, 1.0 ): Et ( N , c, k ) 1/(2) 1 N / c N /(c) 1 N / c N /(c)2 4k /(c 1 c 2 2 ) где N / c - интенсивность условной нагрузки на канал обслуживания Et ( N , c) , Et1( N , c, k ) - нагрузочная характеристика для времени ответа и ее гиперболическое приближение для k N и k N / 2 2. Замкнутая однородная терминальная СеМО: Q(M , N ) M , N , i , ci , hi ; 1 ci N ; i 1, M ; c1 N , h1 1 1 M 2 2 1 S 1 Et ( N ) N N * tg 2 Et (1) где tg hs /(cs s ) , N * M tg 1 1 / tg 2 2 4ktg s arg max hi /(ci i ), i 1, M N (cs s / hs ) hi / i , i 1 N N *2 i M Et (1) hi / i 1 / 1 i 1 ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ОТВЕТА В ЗАМКНУТОЙ СЕТИ 7 1. Исследуемая замкнутая терминальная СеМО [3] 1 [1] 1 [2] 1 0.4 c3 2 0.5 [4] N c2 1 0.6 где T (, 2 , 3 , 4 ) , cT ( N , c2 , c3 , c4 ) - векторы изменяемых параметров 0.5 c4 2. Относительные погрешности в % определения среднего времени ответа посредством асимптотических и гиперболических приближений Et ( N ), Et* ( N ) Et ( N ), Et* ( N ) T (1,2,5,2) T (1,1,10,1) cT (n,5,2,1) cT (n,5,3,2) ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ M/M/c 8 1. Предложенные авторами приближения Etw1M / M / c , Etw 2 M / M / c , Etw3 M / M / c для среднего времени ожидания: Etw1M / M / c s ( ) 1 s ( ) c , где /(c) , s () [1 (c 1) ] / c Etw2M / M / c B c (1 ) , где B [1 r (c, )] /[1 r (c, )], r (c, ) 1 ( e1 ) c / 2c Etw3M / M / c 1 1 c (1 1 )(1 ) 2 2 2 , где ρ1 [(c 1)( X 1) c X ] [(c 1)( X 1) c X ] 4(c X )(c 1)cX X 1/( c) 2(c X ) 2. Известные граничные оценки для среднего времени ожидания: Etw4M / M / c Etw5M / M / c c1 c (1 ) c 1 c c c (1 ) (c 1) - нижняя граница - верхняя граница 3. Исследование точности приближений для среднего времени пребывания ( Etu Etw 1/ ) : ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ G/G/1 1. Приближения Etw1G / G / 1 , Etw 2G / G / 1 , Etw3G / G / 1 для среднего времени ожидания: а) базовое приближение Etw1G / G / 1 b2 c a2 mb2 (1) 2ma (1 ) б) улучшенное Крамером и Лангебах-Бельцем базовое приближение 1 Etw2G / G / 1 (ca2 cb2 ) g (, ca , cb ) , 2(1 ) где (2) 2 2 exp 2(1 ) (1 c a ) , c a 1, 2 2 3 c c a b g (, c a , cb ) c a2 1 exp (1 ) 2 , c a 1, c a 4cb2 в) наиболее современное приближение 2 2 2 2 (1 cb )(c a cb ) Etw3G / G / 1 1 2(1 2 c 2 ) b 2. Сравнительный анализ точности приближений (3) 9 ПОЛУЧЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ БАЗОВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ G/G/1 10 1. Инварианта преобразований граф-моделей задач – интенсивность работы, выполняемой СМО: mS mN mb , 2S mN b2 mb22N где m N , 2N - моменты числа поступлений заявок в единицу времени 2. Интерпретация формулы Полячека-Хинчина для модели M/G/1 в терминах моментов интенсивности S2 работы СМО: * mw 2(1 mS ) 3. Запись формулы Полячека-Хинчина в виде базового приближения для модели G/G/1: mN 1/ ma , 2N 2a / ma3 ca2 / ma , откуда b2 ca2 mb2 * mw 2ma (1 ) Исследование базового приближения 1. ФРВ интервалов между запросами имеет тип ВФИ (УФИ): 2a b2 m 2 * m w () a ( a ) 2ma (1 ) 2 ma2 ca2 () 1 2a b2 m (1 ) * m w () a 2ma (1 ) 2 ca2 () 1 ma2 / s b2 ma (1 ) ma * mw 2ma (1 ) 2 s ma2 (1 ) 2 (1 c a2 ) 0 2. ФРВ интервалов между запросами имеет тип НЛСС (НХСС): 3. Для СМО типа Es/GI/1: 4. Уточненное приближение для G/G/1: m*w (2 ) 2a b2 2ma (1 ) 1 5. Наилучшая нижняя граница для G/G/1: 2 2 * cb ( 2) mw 2(1 ) c a2 1 2 / Заключение. Приближение удовлетворяет всем известным границам. ВЫБОР ОЦЕНОК M/M/c И G/G/1 ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИЗА МОДЕЛИ G/G/c 1. Основное выражение для приближенного вычисления среднего времени ожидания в G/G/c: EtwM / M / c EtwG / G / c EtwG / G / 1 EtwM / M / 1 2. Оценки для M/M/c: Etw1M / M / c , Etw 2 M / M / c , Etw3 M / M / c (слайд 8) 3. Оценки для G/G/1: Etw1G / G / 1 , Etw 2G / G / 1 , Etw3G / G / 1 (слайд 9) минимизация времени вычисления EtwG / G / c 4. Критерии: максимизация (по размерности) диапазона использования 5. Условия (ограничения): приемлемая точность положительная погрешность (вычисление с запасом) 6. Исследуемые модели: СМО E5/E2/3 и E5/E2/50 7. Инструмент исследования: высокоточная параметрически настраиваемая имитационная модель на языке C# 8. Наилучшее решение: Etw3 M / M / c mb (1 1 ) EtwG / G / c Etw1G / G / 1 c a2 cb2 EtwM / M / 1 2c(1 )(1 1 ) [(c 1)( X 1) c 2 X ] [(c 1)( X 1) c 2 X ]2 4(c X )(c 1)cX где ρ1 2(c X ) 9. Исследование точности наилучшего решения: , X 1/( c) , /(c) 10 8 6 (2,6) (3,6) 4 (4,6) (0,6) 2 0 0 -2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 11 Список литературы 12 1. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979. – 600 с. 2. Kramer W., Langenbach-Belz M. Fpproximation for the delay in the queueing systems GI/GI/1 // Congressbook, 8-th Internat. Teletraf. Congr., Melbourne, 1976. 3. Ivo Adan. Stochastic Models for Design and Planning [Электронный ресурс] / I. Adan, 2002 – Режим доступа : http://www.win.tue.nl/~iadan/sdp/ 4. Штоян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. – М.: Мир, 1979. – 268 с. 5. Берсенев Г.Б. Приближенная формула для фазы обслуживания в замкнутой стохастической сети // Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. Тула, ТПИ, 1980. - С. 108116. 6. Берсенев Г.Б. Оценка времени ожидания для систем массового обслуживания G/G/1 и GI/GI/1 // Известия ТулГУ. Серия “Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления”. Том 1. Вып. 3. Вычисл. техника. – Тула: ТулГУ, 2004. – С. 36-44. 7. Берсенев Г.Б., Малинин Д.И. Приближенный анализ многоканальных систем массового обслуживания // Известия ТулГУ. Серия "Проблемы управления электротехническими объектами". Вып. 3. - Тула, ТулГУ, 2005. – С. 174 – 177. 8. Берсенев Г.Б., Малинин Д.И. Алгоритмы приближенного анализа открытых сетей массового обслуживания с многоканальными узлами // Известия ТулГУ. Серия "Выч. техника. Информационные технологии. Системы управления". Вып. 1. Вычислительная техника. - Тула: ТулГУ, 2005. – С. 69 - 75. 9. Берсенев Г.Б., Малинин Д.И. Приближения и оценки для моделей массового обслуживания G/G/c и M/M/c/N // Сб. трудов МНК ММТТ-19. Воронеж: ВГТУ, 2006. Т. 8. С. 156-160.