Исследование модели фрактального броуновского движения

Тема дипломной работы:
Исследование модели фрактального броуновского движения
Студент: X
Руководитель: X
1
Основные определения
 
Непрерывный гауссовский процесс X  X t
t 0
с нулевым средним и ковариационной функцией

1 2H
2H
2H
Cov  X s , X t  
s  t  ts
2

называется фрактальным броуновским движением (ФБД)
с показателем автомодельности Харста 0  H  1.
При H  0.5 получаем обычный
винеровский процесс.
Н = 0.8
Свойства:
1) X 0  0, M X t  0
2) однородные приращения,
 
Xt  X s

N 0, t  s
2H

3) гауссовский процесс,
4) непрерывные траектории,
5) свойство автомодельности:
Law  X at   Law  a H X t 
Н = 0.2
2
Моделирование ФБД
  n   BH  n   BH  n  1 , n  1
Фрактальный гауссовский шум (ФГШ),
как разность ФБД:
Ковариационная функция ФГШ:
Спектральная плотность
и ее аппроксимация:
1
fH    
2
N
Моделирование ФГШ:

1
2H
2H
2H
H  n   n  1  2 n  n  1
2
  n   e

e
 i k
k 
ik n
k 1
 H  k ,
H  k 
k
N  0, 2 2 
fˆH  w  dw  fˆH  k  k  k 1   1 N
0  0  1  ...   N 21   N 2  
BH  n      k 
k 1
k  L
 i k
 Vk    Ak cos k n  Bk sin k n 
k 1
ФБД как сумма ФГШ:
e
k 1

n
L
N 2
Ak  iBk
Vk 
, где Ak , Bk
2
 2   k2 
1
fˆH    
2

3
Оценка характеристик смоделированного
фрактального гауссовского шума
1 S n1
Оценка ковариационной функции: ˆ S  n  
 n  k   k 

S  n k 0
где   n  - фрактальный гауссовский шум.
Для реализации
в случае
Н = 0.8
Для реализации
в случае
Оценка параметра Харста по методу моментов:
1 ln  ˆ S 1  1 1
Ĥ  

2
ln 2
2
Н = 0.2
Hˆ 1  ˆ S 1
= 0.8 : Ĥ  0.7914
Для Н = 0.2 : Ĥ  0.2467
Для Н
4
Оценка ФБД по наблюдениям
в двух точках
Теорема о нормальной корреляции:
Bˆ H  u   M  X | Y ,
 BH  s  
где X  BH  u  - оцениваемое значение, Y  
 - вектор наблюдений.
 BH  t  
При Н = 0.5 получаем линейную оценку.
H = 0.2
H = 0.8
- наблюдения,
- оценка.
5
Фильтрация Калмана-Бьюси в диффер.
системе с возмущениями в виде ФБД
Дифференциальная система,
описывающая
процесс Орнштейна-Уленбека:
H = 0.8   1,   0.01,  0  1
 t   x t   m t 
dx  t    x  t  dt  dBH1  t  ,

2
dy  t   x  t  dt   dBH  t  ,

 x  0  N  0,  0  ,
 y  0   0.

t   0, T 
 0  0
0  0
BH1  t  , BH2  t  - ФБД.
Фильтр Калмана-Бьюси:
dm  t    m  t  dt       dy  t 
где    2   2
наблюдаемый процесс
оцениваемый процесс
оценка фильтра Калмана-Бьюси
H = 0.2   1,   0.01,  0  1
 t   x t   m t 