MS PowerPoint, 463 Кб

Основные понятия и законы физики
Л.12 Квантование энергии
Самое полное на сегодня описание свойств вещества
даёт квантовая физика. Вот некоторые её основные
результаты:
При финитном движении частиц их энергия
квантуется, т.е. принимает не какие угодно, а строго
определённые значения
Частица с данной энергией (на данном
энергетическом уровне) движется, находясь на
определённой орбитали, т. е. вероятность
обнаружения частицы распределена в пространстве
определённым образом и не зависит от времени
1
Количественное микроскопическое описание –
уравнение Шрёдингера и амплитуда вероятности
2
 ( x, t )
 2  ( x, t )
i

 Wp ( x) ( x, t ) (1.3)
2
t
2m x
Уравнение Шрёдингера (волновое уравнение)– вместо
2-го закона Ньютона
Wp  0
Свободная частица – инфинитное движение
( x, t )   m exp  it  ikx  (1.4)
Амплитуда вероятности для свободной частицы –
вместо радиус-вектора – плоская монохроматическая
бегущая волна де Бройля (волна вероятности)
2
Амплитуда вероятности позволяет вычислить
вероятность – базовое понятие физики
 ( x, t ) | ( x, t ) |2
3
(1.6)
Плотность вероятности – вместо траектории, по
которой частица движется с течением времени
d  ( x, t )   ( x, t )dx (1.5)
Малая вероятность того, что частица в момент t
находится в малой области пространства dx вблизи x

по всем x
 ( x, t )dx=1 (12.1)
Условие нормировки
плотности вероятности
4
Инфинитное движение квантовой частицы –
бегущая волна де Бройля
Финитное движение квантовой частицы – стоячая волна
де Бройля – зависит от потенциальной энергии
b   n  1 
n
2
(11.12)
n  0, 1, 2, ..
(приближённое) условие
квантования
Главное квантовое число
(число узлов стоячей
волны внутри резонатора)
Бесконечно глубокая одномерная прямоугольная
потенциальная яма (БГОППЯ)
Wp
Формально
b
b 

0


x


Wp  
2
2 


  остальные x 
В чистом виде в природе не бывает
Очень удобная и полезная
квантовая модель
b

2
0
5
b

2
x
Самая простая математически
Бесконечно глубокая одномерная прямоугольная
потенциальная яма (БГОППЯ)
2

p
Wp
n
3
Wn 
1
0
b

2
(1.17) b  n  1  n (11.12)
 
2
p2
W
2m0
2

2
(1.18)
2
 n  1
2mb
2
(12.2)
2
Уровни энергии частицы в БГОППЯ
0
b

2
x
6
W0 
2
2
2
2b m0
(2.5)
7
Квазистационарные состояния частицы в БГОППЯ
Амплитуда вероятности
Плотность вероятности
Граничные условия
 b
 b
 n      n     0 (12.3)
 2
 2
8
Квантовый гармонический осциллятор:
частица в бесконечно глубокой одномерной
параболической яме
n
b(n )   n  1 
(11.12)
2
Wp  x 
1

Wn  0  n   (12.4)
Осциллятор
2

испускает квант
W4
энергии
Уровни энергии
квантового ГО
Осциллятор
W3
поглощает квант
W2
энергии
0
W1
W0
Примерно так
квантуется энергия
колебаний ионов
(атомов) вблизи узлов
кристаллической
решётки
9
Поглощение энергии
осциллятором
Испускание энергии
осциллятором
0
0
Амплитуда вероятности квантового ГО в
(стационарных) квазистационарных состояниях
Wp
n
2
1
0
2
1
0
x
10
Граничные условия
x  
 n  0 (12.5)
n0
n0
11
Стационарное (основное) состояние, в этом
состоянии частица может находиться вечно
Квазистационарные (возбуждённые)
состояния, в этих состояниях частица может
находиться ограниченное время, после чего
спонтанно переходит в более низколежащие
состояния, испуская квант энергии
Почему происходят переходы?
Взаимодействие с квантовыми флуктуациями
электромагнитного поля в вакууме: квантовая
электродинамика (релятивистская квантовая
теория поля)
Основные задачи
классической механики:
r (t )  ?
Зависимость
радиус-вектора
частицы
Пример технической
задачи: расчёт
траектории полёта
космического аппарата
на Луну
Основные задачи
квантовой механики
(финитное движение):
Wn  n   ?  n ( x)  ?
Энергии и амплитуды
вероятности
квазистационарных
состояний
Пример технической
задачи: расчёт «схемы»
работы гелий-неонового
лазера
12
Чётность состояния
Состояние частицы часто характеризуется не только энергией, но ещё и
определённой чётностью
 n ( x)   n ( x)  чётное состояние
 n ( x)   n ( x)  нечётное состояние
БГОППЯ
0
ГО
13
Плотность вероятности позволяет вычислять
любые средние значения по ансамблю

 f ( x) 
f ( x)  ( x)dx (12.11)
по всем x
Например
 x 

x ( x)dx (12.11a)
по всем x
 x 
2

x  ( x)dx (12.11b)
2
по всем x
 x  x 
2
2
14
x2
12    ( x)dx (12.20)
Вероятность того, что частица
находится между х1 и х2
x1
БГОППЯ
Вероятность того, что частица
находится между х1 и х2
12   20 (11.22)
x1
x2
0
16
Cвязь этой лекции с вопросами ННЗ – буклет
3.14. Волны де Бройля. Квантование как образование стоячих волн.
3.15. Амплитуда вероятности и плотность вероятности.
3.16. Схема энергетических уровней частицы в БГОППЯ.
3.17. Схема энергетических уровней гармонического осциллятора.
3.18. Уравнение Шрёдингера
24