ВысшаяПроба-стар-2013-подготовка

Подготовка к первому туру олимпиады «Высшая проба».
10-11 класс. Январь 2013 года.
После некоторых задач без решений указан их номер на сайте problems.ru.
1. Найдите такое наименьшее n, что сумма всех натуральных чисел от 1 до n делится на 2013. (549.
1+2+…+n=(n+1)n/2 должно делиться на 2013=31161, значит, надо перебрать числа n,
сравнимые с 0 и (1) по модулю 61, чтобы сумма разделилась на 61. При этом надо ещё
проверять делимость на 33. Минимальным подходящим числом будет 549.)
2. Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал,
Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился
позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда
Антон финишировал? (19м. Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными,
но, конечно, не равными скоростями.) (Поскольку скорость Толи составляет 9/10от скорости
Серёжи, то к моменту, когда финишировал Антон, Толя пробежал 9/10расстояния,
преодолённого Серёжей, т.е. 909/10 = 81 м. Значит, к этому моменту Толя отставал от Антона
на 100м  81м = 19 м.)
3. p, 4p2 + 1 и 6p2 + 1 - простые числа. Найдите p. (5. Необходимо рассмотреть остатки при делении
на 5.)
4. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными
вершинами. ( 5. 110301)
5. Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили
на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов
взял себе точно 1/5часть, после чего лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за
другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они
поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким
могло быть наименьшее число орехов в собранной куче? (554=3121. 61481)
6. В треугольник, основание которого равно 48, а высота 16, вписан прямоугольник с отношением
сторон 5:9, причём большая сторона лежит на основании треугольника. Найдите стороны
прямоугольника. (10 и 18. Пусть вершины M и N
прямоугольника
MNKL
расположены
на
сторонах
соответственно AC и BC треугольника ABC, а вершины K и L
— на основании AB. Пусть MN = KL = 9x, ML = NK = 5x.
Высоты подобных треугольников MCN и ACB, проведённые
из вершины C, относятся как основания MN и AB, т.е.
16  5 x 9 x

. Отсюда находим, что x = 2. Следовательно, ML
16
48
= 10, MN = 18.)
7. Про квадратный трехчлен f(x) = ax2  ax + 1 известно, что |f(x)| < 1 при 0 < x < 1. Найдите
наибольшее возможное значение а. (8. Так как f (0) = f (1) = 1, то графиком трехчлена является
парабола, симметричная относительно прямой x = 0, 5 (см. рис.). Из условия | f (x)| 1 при 0x1
следует, что "ветви" параболы направлены вверх, а наибольшее значение а достигается в
случае, когда наименьшее значение функции равно -1. Из того, f (0, 5) = - 1, получаем, что а = 8.)
8. Какое наименьшее число выстрелов в игре "Морской бой" на доске 7*7 нужно сделать, чтобы
наверняка ранить четырехпалубный корабль (четырехпалубный корабль состоит из четырёх клеток,
расположенных в один ряд)? (12 выстрелов. 35593)
9. Вершины тысячеугольника занумерованы от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая
пятнадцатая вершина (1,16,31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все
отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными? (800 вершин.
Отметка точек прекращается, когда одна из вершин будет отмечена во второй раз. Легко
видеть, что это будет первая вершина. Номера отмечаемых вершин – это члены
арифметической прогрессии с разностью 15, т. е. числа вида 1+15k . Если после нескольких
полных оборотов (например, m оборотов) снова будет отмечена первая вершина, то можем
записать: 1=1+15k-1000m , где k – число отмеченных вершин. Это уравнение перепишем в виде
3k=200m . Отсюда видно, что k=200, m=3 , т. е. после трёх оборотов первая вершина будет
отмечена во второй раз. Следовательно, всего будет отмечено 200 вершин, а остальные
останутся неотмеченными.)
10. 120 одинаковых шаров плотно уложены в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько
шаров лежит в основании? (36 шаров. 60415)
11. Внутри квадрата отмечено 100 точек. Квадрат разбит на треугольники таким образом, что
вершинами треугольников являются только отмеченные 100 точек и вершины квадрата, причем для
любого треугольника из разбиения каждая отмеченная точка либо лежит вне этого треугольника,
либо является его вершиной (разбиения такого типа называются триангуляциями). Найдите число
треугольников в разбиении. (202. Подсчитаем сумму углов всех треугольников из разбиения.
Сумма углов треугольников с вершиной в некоторой вершине квадрата, очевидно, равна 90 0,
тем самым можно сказать, что каждая вершина квадрата дает вклад в сумму углов всех
треугольников, равный 900. Также из условия следует, что каждая из отмеченных 100 точек
дает вклад, равный 3600. Поскольку нет других вершин треугольника, кроме вершин квадрата
и отмеченных 100 точек, то сумма углов всех треугольников разбиения равна
1003600+4900=1013600=2021800. Поскольку сумма углов треугольника равна 1800, то
количество треугольников равно 202. Как видим, оно не зависит от выбора отмеченных точек
и от триангуляции.)
12. В треугольнике ABC высота BD равна 6, медиана CE равна 5, расстояние от точки пересечения
2 145
отрезков BD и CE до стороны AC равно 1. Найдите сторону AB. (
. Пусть K — точка
3
пересечения отрезков BD и CE, P — точка пересечения прямой CE с прямой, проведённой через
вершину B параллельно AC. Из равенства треугольников PBE и CAE следует, что BP = AC, а из
подобия треугольников PKB и CKD — DC = BP/5 = AC/5, KC =
PK/5 = EK/2 = CE/3 = 5/3. Из прямоугольного треугольника
2
4
5
KDC находим, что DC = DC  KC 2  KD 2     1  .
3
3
Поэтому AD = 4DC = 16/3. Из прямоугольного треугольника
ADB
находим,
что
2
580 2 145
 16 
AB  AD  BD     6 2 

.)
9
3
3
13. Натуральные числа m и n таковы, что m > n, m не делится на n и имеет от деления на n тот же
остаток, что и m + n от деления на m  n. Найдите отношение m : n. (m/n = 5/2. 60655)
14. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = sin6x + cos6x. (Наибольшее
значение — 1, наименьшее — 1/4. 61219)
15. Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть
каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на
90° и 180°, но ломать её нельзя.) (нужно не меньше 150 см проволоки. 73716)
16. Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 3n2+n+1 при натуральном n? (3. При
n=8 сумма цифр числа 3n2+n+1 равна 3. Убедимся, что меньше сумма цифр не бывает.
Действительно, число 3n2+n+1 всегда нечетно и больше 1, поэтому сумма его цифр не может
быть равна 1. Если она равна 2, то это число должно иметь вид 10 k+1, тогда 3n2+n=(3n+1)n=10k.
Числа (3n+1) и n взаимно просты, следовательно либо меньшее из них (n) равно 1, а большее
(3n+1) - 10k, либо n=2k, а 3n+1=5k. Первый случай, как легко проверить, невозможен. Во втором
случае значения k=0,1 легко проверить непосредственно, а при k не меньше 2 получаем, что
5k/2k>52/22>4>(3n+1)/n.)
17. Найдите боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если её высота равна 4, а
апофема равна 8. (288. 87441)
18. От A до B 999 км. Вдоль дороги стоят километровые столбы, на которых написаны расстояния до
A и до B: (0;999), (1;998), … (999;0). Сколько среди них таких, на которых имеются только две
различные цифры? (40. Предположим, что на километровом столбе написано ( abc; a1b1c1 ). Тогда
2
2
abc + a1b1c1 = 999, поэтому a1 = 9  a, b1 = 9  b и c1 = 9  c. Если a = b = c, то требуемое условие
выполняется. Таких столбов будет ровно 10. Пусть теперь среди цифр a, b, c есть ровно две
различных. Среди цифр a1, b2, c2 будут в точности те же самые две цифры тогда и только тогда,
когда эти две цифры в сумме дают 9. Таких пар цифр ровно 5: (0,9), (1,8), (2,7), (3,6) и (4,5).
Трёхзначных чисел, записывающихся двумя данными цифрами ровно шесть: три из них
записываются двумя цифрами a и одной цифрой b (которая стоит на одном из трёх мест), а ещё
три записываются одной цифрой a и двумя цифрами b. Так мы получаем ещё 5 . 6 = 30 столбов,
а всего получаем 10 + 30 = 40 столбов.)
19.
Дан
многочлен
x(x+1)(x+2)(x+3).
Найти
его
наименьшее
значение.
((1).
y=x(x+3)(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2). Обозначим x2+3x через z . Тогда y=z(z+2)=z2+2z=(z+1)2-1 .
Отсюда видно, что наименьшее значение данной функции (-1). Достигается оно при z=-1 , т.е.
x2+3x+1=0 . Дискриминант этого уравнения больше нуля, следовательно такой x , при котором
y достигает значения (-1), существует.)
20. Дан набор попарно различных целых чисел. Каждое из чисел набора является суммой каких-то
двух других чисел, входящих в этот набор. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком
наборе? (6. Пусть A — наибольшее число набора. Если оно отрицательно или равно 0, то
остальные числа в наборе отрицательны, и сумма любых двух из них меньше A. Значит,
наибольшее число набора положительно. Очевидно, два числа, суммой которых оно является,
тоже положительны, так что в наборе не меньше трёх положительных чисел. Аналогично
рассмотрением наименьшего числа набора доказывается, что в нем не меньше трех
отрицательных чисел. Таким образом, в наборе не меньше 6 чисел. Пример набора из 6 чисел: –3,
–2, –1, 1, 2, 3.)