9 класс 1)

9 класс
1)
Определить несократимую дробь, которая не изменяет своей величины от прибавления к числителю
21, а к знаменателю 28.
Дробь не изменится, если к ней прибавить эту же дробь. 21/28 это ¾, из этого следует что несократимая
дробь – это ¾.
2) Дано
x
b2  с2  a2
(a  с  b)( a  b  c)
; у
.
2bc
(a  b  c)(b  c  a)
Вычислить произведение (x+1)(y+1)
 b2  с2  a2
 (a  с  b)( a  b  c) 

 1
 1 
2bc

 (a  b  c)(b  c  a ) 
b 2  с 2  a 2 (a  с  b)( a  b  c) b 2  с 2  a 2 (a  с  b)( a  b  c)

*


1 
2bc
(a  b  c)(b  c  a)
2bc
(a  b  c)(b  c  a )

(b 2  с 2  a 2 )( a  с  b)( a  b  c) b 2  с 2  a 2 (a  с  b)( a  b  c)


1 
2bc(a  b  c)(b  c  a)
2bc
(a  b  c)(b  c  a )

(b 2  с 2  a 2 )( a 2  2bс  с 2  b 2 ) (b 2  с 2  a 2 )( a 2  2bс  с 2  b 2 )


2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )
2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )

(a 2  2bс  с 2  b 2 )2bc 2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )


(a 2  2bс  с 2  b 2 )2bc 2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )

(b 2  с 2  a 2 )( a 2  2bс  с 2  b 2 )  (b 2  с 2  a 2 )( a 2  2bс  с 2  b 2 )  (a 2  2bс  с 2  b 2 )2bc  2bc(a 2  2bс  с 2
2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )

(a 2  2bс  с 2  b 2 )(b 2  с 2  a 2  2bc)  (a 2  2bс  с 2  b 2 )(b 2  с 2  a 2  2bc)

2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )

(b 2  с 2  a 2  2bc)( a 2  2bс  с 2  b 2  a 2  2bс  с 2  b 2 )

2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 )
4bc(a 2  b 2  с 2  2bc) 4

 2
2bc(a 2  2bс  с 2  b 2 ) 2
3) Разложить на множители выражение
А=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=
=(x²+4x+3)(x+5)(x+7)+15=
=(x³+9x²+23x+15)(x+7)+15=
=x⁴+16x³+86x²+176x+105+15=
=x⁴+16x³+86x²+176x+120=
=x⁴+2x³+14x³+28x²+58x²+116x+60x+120=
=x³(x+2)+14x²(x+2)+58x(x+2)+60(x+2)=
=(x+2)(x³+14x²+58x+60)=
=(x+2)(x³+6x²+8x²+48x+10x+60)=
=(x+2)(x²(x+6)+8x(x+6)+10(x+6))=
=(x+2)(x+6)(x²+8x+10)
4) Найти все корни уравнения
25 х 2
74
x 

0
2
49
(5  2 х)
2
25 х 2
74
x 

0
2
49
(5  2 х)
2
25 х 2
74
x 

2
49
(5  2 х)
2
x 2 (5  2 х) 2  25 х 2 74

49
(5  2 х) 2
 x 2 (5  2 х) 2  25 х 2  74

(5  2 х) 2  49
 x 2 (25  20 x  4 х 2 )  25 х 2  74

25  20 x  4 х 2  49
2
3
4
2
25 x  20 x  4 х  25 х  74

25  20 x  4 х 2  49
50 x 2  20 x 3  4 х 4  74

25  20 x  4 х 2  49
25 x 2  10 x 3  2 х 4  37

20 x  4 х 2  24(* х 2 )
2
3
4
25 x  10 x  2 х  37(*  2)

20 х 3  4 х 4  24 х 2  0
 50 x 2  20 x 3  4 х 4  74


20 х 3  4 х 4  24 х 2  0
 74 x 2  74
x2  1
x 1
x  1
5) Дано, что медианы mа , mс
произведение mamc=
треугольника АBC образуют со стороной АС углы, дающие в сумме 60 ̊ и
. Найти площадь треугольника ABC.
Пусть О – это точка пересечения медиан. Угол AOC=180-60=120. mа  AM , mс  AN Площадь трапеции
ANMC=1/2*AN*AM*sin(120)=3/4 т.к. NM – средняя линия и делит площадь треугольника ABC как 1/3.
Из этого следует, что площадь NBM=1/3*3/4=1/4. Площадь ABC=3/4+1/4=1
Ответ. Площадь 1.
6) Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является полным квадратом.
Рассмотрим полный квадрат x 2 и найдем его остаток деления на 5
может быть равно 0, 1, 2, 3, 4
если s=0, то r=0
если s=1, то r=1
если s=2, то r=4
если s=3, то r=9 mod 5=4
если s=4, то r=16 mod 5=1
видим, что полный квадрат может давать в остатке от деления на 5 только 0, 1 и 4. Но 1!+2!+3! +4! = 33 дает в
остатке от деления на 5 тройку, а значит и все последующие суммы тоже, следовательно не могут являться
полными квадратами. Из допустимых остается только: 1!=1 и 1! + 2! + 3!=9
Ответ. 1 и 3
7) Из чисел 1, 2, 3, …, 100 составлены всевозможные парные произведения. Сколько среди полученных чисел
таких, которые кратны трем?
Всего от 1 до 100 33 числа кратны 3. Всего парных произведений 100*99=9900.
Из них 100*33=3300 кратны 3.
Ответ. 3300.
8) Для нумерации страниц книги потребовалось 6857 цифр. Сколько страниц в книге?
Чисел от 1 до 9 – 9 и они однозначные, и всего цифр – 9
Чисел от 10 до 99 – 90, они двузначные, всего цифр 90*2=180
Чисел от 100 до 999 – 900, они трехзначные, всего цифр 900*3=2700
От 1 до 999, цифр 9+180+2700=2889
У нас не хватает 6857-2889=3968 цифр. Оставшиеся цифры - это цифры в составе четырехзначных чисел.
3968/4=992 – четырехзначных чисел.
992+999=1991 чисел – страниц.
Ответ. 1991 страниц.
9) Найти при каких значениях x и y выражение А= x2+2xy +2y2+2x +4y+3 принимает наименьшее значение.
x2, y2≥0, т.к. квадрат числа всегда положительный.
x2+2xy +2y2+2x +4y+3
x 2 + 2xy + 2y 2 + 2x + 4y + 3  0
Рассмотрим 4 случая :
1) x  0, y  0
2) x  0, y  0
3) x  0, y  0
4) x  0, y  0
x 2 и 2y 2 - можем упустить, во всех случаях положительны.
1)  2xy  2x  4y
2)  2xy - 2x - 4y
3) - 2xy  2x - 4y
4) - 2xy - 2x  4y
Если сравнить 1-ый и 4-ый случай 4-ый будет меньше, а если сравнить 2-ой и 3-ий случай 3-ий будет меньше.
-2xy можем не рассматривать, т.к. в обоих случаях одинаковы.
Снова рассмотрим 3 случая: 1)x>y (3.1)и 2)x<y(1.3) и 3)x=y(2.2)
1)  2x - 4y
2)  2x  4y
3)  2x - 4y
4)  2x  4y
5)  2x - 4y
6)  2x  4y
3-ий случай меньше, меньше чем 1-ый и 5-ый и 1-ый случай меньше, чем 2-ой и 4-ый. А 3-ий случай меньше, чем 2-ой.
Ответ. x>0, y<0,x<y, при таких условиях выражение будет иметь наименьшее значение.
10) Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех офицеров и семи солдат, если
всего 10 офицеров и 20 солдат?
10*9*8+20*19*18*17*16*15*14=720+390700800=390701520