1) Выбор одного заказчика ИНТЕРНЕТ-МАТЕМАТИКА

Задача наилучшего выбора и ее
применение в рекламных кампаниях
поисковой системы Яндекс
Мазалов В.В.
Фалько А.А.
Институт прикладных математических исследований
Карельский научный центр РАН
Задача наилучшего выбора
• выбор осуществляется в несколько этапов
• стратегические и информационные ограничения
• эффект выбора зависит только от сравнения
выбранных объектов со всеми остальными объектами
Критерии оптимальности
1)
максимизация вероятности выбора наилучшего объекта
2)
максимизация математического ожидания выигрыша
Выбор заказчика рекламной кампании
• поисковая система – лицо, принимающее решение
• объекты – ценовые предложения заказчиков
• заказчики поступают к продавцу последовательно, по одному в
каждый момент времени
• количество потенциальных заказчиков в течение заданного
периода равно N
• заказчик может предложить любую цену
• в случае отказа в выставлении его рекламы, заказчик в этот период
заказа больше не делает
Модель I: N – постоянная величина, нет
информации о ценах
1)
•
•
Выбор одного наилучшего заказчика
ai – абсолютный ранг i-го заказчика,
yi – относительный ранг i-го заказчика
 *  min{ m  k * : y m  1}
k
  lim
N  N
P ≈ 0.368
α ≈ 0.368
Таблица 1. Значения предлагаемых цен для N=10
k
Цена
k
Цена
1
2
3
4
5
74.68
152.17
10.23
14.85
0.06
6
7
8
9
10
2.37
25.36
220.52
168.04
27.53
Модель I: N – постоянная величина, нет
информации о ценах
2) Выбор двух лучших заказчиков
Оптимальная стратегия
 *  ( 1 , 2 ) 1   1   2  N
 1*  min{ m  k * : y m  1}
 2  min{min{ n  m : y n  1}, min{ n  m : n  l * , y m  1}}
*
на множестве { :  1  m}
*
k
  lim
N  N
  0.229
  0.607
l
  lim
N  N
P  0.225
Модель I: N – случайная величина
1) Выбор одного наилучшего заказчика
N – дискретная случайная величина,
распределенная равномерно от 1 до M.
k 1
Q( N )  
s  k N ( s  1)
N
M
P   P( N  i )Q (i )
i 1
P  0.270
Модель I: N – случайная величина
Таблица 2. Значения оптимального k для различных значений M
M
k*
13277
1798
13700
1855
13958
1890
14014
1898
14561
1972
15636
2117
16942
2294
18022
2440
18211
2466
17986
2435
19278
2610
20731
2807
21709
2939
Модель I: N – случайная величина
2) Выбор двух лучших заказчиков
1
P
M
N распределено от M1 до M2
M

S (i )
i 1
M2
1
P
S (i )

M 2  M 1 i  M1
M1 =100, M2=300
Р≈ 0.239 , k*=40 , l*=79.
Функция распределения цен
Таблица 3. Функции распределения цен
Количество
заказчиков N
Функция распределения
отдых
14
λ=0.01
строительство
10
λ=0.02
производство
и поставки
32
λ=0.006
реклама
58
λ=0.01
все
114
λ=0.008
Область
F ( x)  1  e x
Функция распределения цен
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0
10
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
70
0
80
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
90 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0
Рис. 1. Плотность распределения цен N=114 (λ=0.008)
Модель II: N – постоянная величина,
распределение цен известно
Таблица 4. Значение вероятностей удачного выбора для
различных N и λ
Количеств
Функция
о
распределения,
заказчиков
F(x)=1-e-λx ,
N
параметр λ
Значение
порога a
Вероятност
ь успеха
14
λ=0.01
224.527
0.533
10
λ=0.02
95.7238
0.541
32
λ=0.006
510.701
0.524
58
λ=0.01
365.628
0.521
114
λ=0.008
541.306
0.519
Модель II: N – постоянная величина,
распределение цен известно
Таблица 5. Цены заказчиков в области производства и
поставок N=32, λ=0.006
Цены,
в у.е.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
258.57
68.49
20.99
450
48.04
194.8
257.02
211.25
2358.03
10
11
12
13
14
15
16
17
18
51.08
338.44
33
29.54
14.64
211.33
28.55
336.38
163.11
19
20
21
22
23
24
25
26
27
371.55
115.97
1239.75
222.03
146.41
115.97
28.63
72.6
44.5
28
29
30
31
32
35.53
311.13
18.2
22.94
41.19
Модель II: N – постоянная величина,
распределение цен известно
Таблица 6. Значение вероятностей удачного выбора
для различных N и λ
Функция
Значение
Количество распределения, порога a
заказчиков N
F(x)=1-e-λx,
параметр λ
Вероятность
успеха
14
λ=0.01
177.961
0.386
10
λ=0.02
72.3362
0.398
32
λ=0.006
433.608
0.371
58
λ=0.01
319.483
0.366
114
λ=0.008
483.711
0.363
Модель III: критерий оптимальности
– максимизация ожидаемой цены
(суммы цен)
Последние заказчики принимаются
1) Выбор одного заказчика

u N   xdF ( x) 
0
1

ui

0
ui
ui 1  E (max{ X i 1 , ui })   ui e x dx   xe x dx
Модель III: критерий оптимальности
– максимизация ожидаемой цены
(суммы цен)
2) Выбор двух заказчиков
u k  E (max{ X k  u k ,k 1 ; u k 1}),1  k  N  1
u k ,m  E (max{ X m ; u k ,m1}), k  1  m  N
u N 1  0;
u k , N 1  0
Модель III: Адаптивные модели для
неизвестного распределения цен
1) Выбор одного заказчика
1 i
a1=x1, ai   x j , i ≥ 2.
i j 1

1 1
i     x j 
ai  i j 1 
i
1
v( x, a, i  1)  max x, a i , i  2,..., N  1
 i 1  1   i (1  e    e   / i)  (1  e    e   ) ,
где
  (i  1) i /(i   i )
Модель IV: Теоретико-игровые
постановки задачи с двумя
конкурирующими поисковыми системами
• Модель с доминирующим игроком
• Модель с приоритетами
• Модель с возможностью отказа от предложения
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !