Динамический хаос в присутствии флуктуаций
advertisement
Динамический хаос в присутствии флуктуаций Любое движение реальных динамических систем происходит в присутствии шумов. Описывать движения в диссипативных системах без учета флуктуаций не корректно, т.к. рассеяние энергии неизбежно генерирует собственные шумы внутри самой системы. Поэтому в строгом смысле описание диссипативных систем с помощью детерминированных операторов эволюции не может являться полным. Тем не менее широкий класс устойчивых колебательных режимов автогенераторов допускает анализ с помощью детерминированных уравнений. Это возможно, если собственные флуктуации оказываются малыми и динамика системы позволяет пренебречь их влиянием. Действительно, при движении на регулярном аттракторе (например, в случае устойчивых периодических колебаний) малые флуктуации затухают, не оказывая принципиального влияния на режим работы системы. Малые шумы в устойчивых регулярных режимах движения вызывают малые отклонения от детерминированного решения, которые требуют к себе внимания лишь в ряде специальных задач (разработка эталонов частоты и времени, чувствительность приемников сигналов и др.). В то же время роль флуктуаций приобретает принципиальный характер вблизи точек бифуркаций, когда чисто чисто динамическое описание может оказаться недостаточным. Неустойчивость системы вызывает ее повышенную чувствительность к действию флуктуаций, которые в итоге могут определять тип вновь установившегося режима после прохождения точки бифуркации. Таким образом, вопрос о влиянии флуктуаций даже в случае регулярных автоколебаний приобретает серьезное значение, если он рассматривается с учетом бифуркационных свойств системы. Сложный характер движения системы в режиме странного аттрактора как внутренне неустойчивого множества, безусловно, требует детального анализа реакции системы на шумовое возмущение. Экспоненциальная неустойчивость траекторий на аттракторе сразу наводит на мысль, что роль флуктуаций может быть принципиальной. Первоначальная неопределенность в задании исходного состояния при наличии шумов неизбежна. А это значит, что требуется изучать эволюцию не начальной фазовой точки, а начального малого элемента фазового объема. В системах с перемешиванием детерминированный подход к решению этой задачи не конструктивен по сути дела даже в отсутствие возмущений. Требуется статистическое описание некоторого ансамбля в определенном смысле типичных траекторий. Связанные логистические отображения xn1 1 xn2 ( yn xn ), yn1 1 yn2 ( xn yn ). α – управляющий параметр системы, γ – параметр связи. При γ = 0 получаем два независимых логистических отображения. При определенных значениях параметров в системе сосуществуют 3 аттрактора: 1 регулярный и 2 хаотических. Проявляется свойство мультистабильности. Структура бассейнов притяжения фрактальна и изрешеченна. Это ведет к тому, что малая ошибка в задании начальных данных может резко изменить наблюдаемый предельный режим. Зададим малую область неопределенности по начальным данным в виде квадратика со стороной ε и проитерируем всю эту область в соответствии с отображением. В зависимости от положения области неопределенности и от размера ε мы каждый раз будем получать различный результат. Например, помещая кубик неопределенности в задании начальных условий фиксированного размера ε в точки 1, 2 и 3, можно получить соответственно хаотический, регулярный аттрактор или совокупность 3 аттракторов системы в качестве результирующего режима. Исследование влияний малых случайных возмущений динамических систем вне зависимости от конкретного типа детерминированного решения сводится к анализу траекторий стохастических дифференциальных уравнений x F ( x, ) K ( x, t ), (64) где K(x,t) – источник случайных сил, в общем случае зависящих от фазовых координат и времени. Если интенсивность случайных воздействий мала и не зависит от координат системы, (64) описывают аддитивное случайное возмущение и называются уравнениями Ланжевена: x F ( x, ) (t ), (65) где (t) – источник флуктуаций, имеющий интенсивность D << 1. Статистика случайных сил определяется природой действующего шума (тепловой, дробовой, фликкерный внутренние шумы, шумы внешней среды) и является важной при решении конкретных задач. Для выяснения принципиальных эффектов, вызываемых флуктуационными возмущениями малой интенсивности, на первом этапе достаточно ограничиться предположениями о гауссовом распределении. Источник флуктуаций представляется - коррелированным «белым» шумом с нулевым средним и интенсивностью D << 1. Возникает вопрос, какой из факторов – собственная детерминированная сложная динамика или внешний шум – в большей степени определяют статистические свойства автоколебательной системы? Неожиданным оказывается то, что динамическая хаотичность может оказывать решающее влияние на статистические свойства системы, находящейся под действием белого шума. Именно динамическая природа может в итоге определять временное состояние системы при малых интенсивностях шума. Такими свойствами обладают системы с гиперболическими и квазигиперболическими аттракторами. Малые случайные возмущения динамической системы с гиперболическими свойствами приводят к малым изменениям ее статистических характеристик. Динамическая хаотичность оказывается сильнее стохастичности, добавляемой шумами малой интенсивности. На примере строго гиперболических систем (У-системы Аносова) для данного типа систем обоснован предельный переход статистических характеристик возмущенной системы в статистические характеристики детерминированной системы при стремлении интенсивности воздействия к нулю. Квазигиперболический аттрактор в системе Лози Система Лози представляет собой двумерную дискретную динамическую систему: xn 1 1 a xn yn , yn 1 bxn . (66) Система (66) является нелинейным взаимнооднозначным диссипативным отображением и является отображением Пуанкаре некоторой дифференциальной системы с размерностью фазового пространства N = 3. В системе (66) в области значений 1.3 < a < 1.8 существует единственный хаотический аттрактор, который не содержит устойчивых неподвижных точек. Этот аттрактор известен как квазигиперболический аттрактор Лози. Реакция аттрактора Лози на шумовое воздействие Известно, что применительно к грубым гиперболическим аттракторам малое шумовое возмущение вызывает соответственно малые изменения в плотности распределения p(xn, yn) траекторий на аттракторе (теорема Кифера). Введем в систему (66) некоррелированные источники аддитивного белого шума интенсивности D xn 1 1 a xn yn 1 (n), yn 1 bxn 2 (n). 0, (n) (n k ) D (k ), 1 2 0 (67) и рассчитаем плотности распределения вероятностей на аттракторе Лози в отсутствие и при добавлении шума малой интенсивности D = 5 · 10-5 . Аттрактор Лоренца является типичным и классическим примером квазигиперболического хаоса в дифференциальной системе – системе Лоренца x ( x y), y rx y xz, z xy bz. Свойством грубости (структурной устойчивости) аттрактора Лоренца является то, что все характеристики и свойства его практически не меняются при добавлении в уравнения системы аддитивного (или мультипликативного) шума малой интенсивности. D=0 D = 0.8 Однако гиперболические системы представляют собой идеализированную модель грубых (структурно устойчивых) систем с максимально выраженными статистическими свойствами. В реальных системах приходится сталкиваться чаще всего с квазиаттракторами. И здесь вопрос о влиянии флуктуаций принципиально усложняется. Под действием флуктуаций структура квазиаттрактора может претерпевать резкие качественные изменения. Шумовое воздействие вызывает разнообразные переходы в хаосе, а также от хаоса к порядку. Причиной таких переходов является множество возможных режимов, сосуществующих в фазовом пространстве диссипативных систем с квазиаттракторами и претерпевающих при малых изменениях параметров серию различных бифуркаций. Совершенно ясно, что в зависимости от близости или удаленности значений параметров от бифуркационных точек реакция квазиаттрактора на внешний шум различна. Здесь имеется полная аналогия с реакцией на шум регулярных режимов. Кроме того, ввиду сосуществования множества регулярных и хаотических аттракторов в фазовом пространстве в отсутствие флуктуаций под действием шума возможны эффекты взаимодействия этих режимов. В отличие от гиперболических систем теоретический анализ влияния флуктуаций на системы с квазиаттракторами наталкивается на математические трудности принципиального характера и до сих пор не проведен. Статистические характеристики режимов колебаний возмущенных динамических систем (64) можно исследовать методами численного эксперимента, основываясь на свойстве эргодичности перемешивающих систем. Эргодичность дает возможность экспериментального построения вероятностных распределений и других статистических характеристик путем соответствующих усреднений по времени. Но можно осуществить переход от стохастических дифференциальных уравнений (уравнений Ланжевена) к кинетическому уравнению Фоккера-Планка для функции плотности распределения вероятностей p(x, , t): 2 N ( Ai p) 1 N ( Bij p) p . t xi 2 i , j 1 xi x j i 1 Коэффициенты сноса Ai однозначно определяются правыми частями соответствующих динамических уравнений в отсутствие шума, коэффициенты диффузии Bij – статистикой случайного источника. С окончанием переходного процесса, т.е. с выходом на аттрактор, стационарное распределение зависит только от фазовых координат, параметров и интенсивности флуктуаций. С точки зрения теории бифуркаций учет влияния шумов приводит к появлению нового равноправного управляющего параметра наряду с параметрами невозмущенной системы – интенсивности шума. Поэтому бифуркационные свойства системы определяются всей совокупностью параметров и учитывают возможность фазовых переходов, индуцированных шумами. Воздействие флуктуаций на режимы сложных автоколебаний в ДС с квазиаттракторами приводит к эффектам двух типов. Под действием внешнего шума может наблюдаться сдвиг в пространстве управляющих параметров той или иной бифуркационной линии, а иногда и бифуркационной диаграммы в целом. При этом не исключено исчезновение определенной мелкомасштабной структуры бифуркационной диаграммы детерминированной системы, но важно, что под действием шума не возникают принципиально новые режимы, которые отсутствовали в детерминированной системе. Второй тип бифуркационных явлений связан с индуцированными под воздействием шума фазовыми переходами, которые в детерминированной системе вовсе не имеют места. Конкретным примером подобного типа перехода является эффект модуляционной перемежаемости, индуцированной мультипликативным шумом, обусловленным техническими флуктуациями параметров системы. В отличие от гиперболических систем, реакция квазиаттракторов на внешний шум существенно зависит от возможных бифуркаций аттракторов, реализующихся под действием флуктуаций. Если уровень шума не вызывает внутренних бифуркаций, то статистические свойства аттракторов главным образом определяются динамикой и слабо зависят от возмущений. Динамическая стохастичность в таких ситуациях оказывается сильнее навязываемой извне. При уровнях шумового возмущения, способного вызвать внутренние бифуркации аттракторов, картина существенно иная. Интенсивность шума играет при этом роль управляющего параметра. Становится ясным, как оценивать степень малости уровня шумового воздействия: чем меньше область значений параметров системы, отвечающая существованию той или иной конкретной структуры аттрактора, тем при меньших значениях интенсивности шума наблюдаются индуцированные шумом бифуркационные явления. Следует также различать две ситуации: движение по параметрам в присутствии внешних шумов заданной интенсивности и вариация интенсивности шума при фиксированных значениях параметров системы. Если следить, к примеру, за последовательностью бифуркаций удвоения периода в присутствии флуктуаций постоянной интенсивности, то наблюдаемая цепочка бифуркаций удвоения окажется конечной, а переход к хаосу осуществится при меньшем значении управляющего параметра. Реализуется типичный случай сдвига бифуркационной диаграммы с исчезновением ее мелкомасштабной структуры: размываются бифуркационные линии удвоения периода многотактных циклов и смещается линия критических значений параметра. Описанное явление в принципе не реализуется при фиксировании управляющих параметров системы с увеличением интенсивности флуктуаций. Каскад бифуркаций удвоения нельзя индуцировать увеличением интенсивности шумового воздействия. Рассмотрим двумерное отображение Эно xn1 1 axn2 yn , yn1 bxn , (68) в котором наблюдается режим квазиаттрактора в области 1.1< a < 1.4. Например, при a =1.078 в системе (68) сосуществуют 2 хаотических аттрактора. (а) (б) (в) Плотности распределения вероятностей p(xn, yn) на хаотических аттракторах, сосуществующих в системе Эно при a = 1.078, в отсутствие шума (а, б) и при воздействии шума интенсивности D = 5 · 10-6 на приведенные распределения вероятностей (в) Двумерное кубическое отображение (отображение Холмса): xn1 (a 1) xn axn3 yn , yn1 bxn , a 0, b 1. (69) Система (69) является некоторым аналогом дифференциальной системы с тремя состояниями равновесия. Отображение имеет состояние равновесия в нуле координат и еще два состояния равновесия, симметрично расположенные на диагонали фазовой плоскости. По мере увеличения параметра a в окрестности каждой из них имеет место каскад бифуркаций удвоения, завершающийся рождением хаотического аттрактора. a=3.0, D = 0 a=3.1, D = 0 a=3.0, D = 10-3 Кризис (объединение) аттракторов без шума происходит при a = 3.073. Качественно эффект воздействия шума эквивалентен малому сдвигу по управляющему параметру a. Воздействие шумом на режим двух сосуществующих хаотических аттракторов вызывает эффект индуцированной шумом перемежаемости типа «хаос-хаос», что является типичным свойством систем с квазиаттрактором. Влияние шума на квазиаттрактор в системе ГИН Анищенко-Астахова СДУ или уравнения Ланжевена для ГИН: x mx y xz 1 ( ), y x 2 ( ), (70) z gz gI ( x) x 2 3 ( ), где i – нормально распределенный шум. m = 1.10 m = 1.09 m = 1.16 Старший показатель спектра ЛХП в зависимости от интенсивности шума D при g = 0.3 и при различных значениях параметра m. Видно, что в зависимости от параметров увеличение интенсивности шума вызывает как увеличение показателя, так и уменьшение его вплоть до нуля. Шум может «индуцировать» переход к регулярному движению (предельный цикл), может не оказывать практически заметного действия, а может и увеличивать степень хаотичности режима (кривые 1,2). В чем причина таких принципиальных различий в реакции системы на шумовое воздействие? Было установлено, что отклик системы на внешний шум определяется характером бифуркационной диаграммы невозмущенной системы. Если под действием шума не происходит внутренних бифуркаций аттракторов, степень перемешивания слабо зависит от интенсивности флуктуаций. В случае близости по параметрам к точкам касательных бифуркаций (возникновение устойчивого многотактного предельного цикла) шум перебрасывает фазовую траекторию в область притяжения цикла. Реализуется переход «хаос – порядок». В случаях, когда под действием шума осуществляется бифуркационный переход от аттрактора одной структуры к аттракторам иной структуры, возможно увеличение или уменьшение степени перемешивания. В данном случае наблюдается сдвиг бифуркационной диаграммы, обусловленный шумовым возмущением ДС. В качестве еще одной иллюстрации данного эффекта можно привести внутреннюю бифуркацию аттракторов – бифуркацию слияния хаотических лент аттрактора, обусловленную действием аддитивных шумов малой интенсивности (примеры – отображение Эно и ГИН в присутствии шумовых воздействий). Плотности распределения вероятностей в режиме хаотического аттрактора m = 1.5, g = 0.2. Воздействие шума интенсивности D = 10-3 приводит, как видно из графиков, к заметной перестройке структуры распределения, свидетельствуя о переходе системы в режим почти периодического движения. Специальные расчеты показали, что этот эффект связан с тем, что для указанных значений управляющих параметров система находится вблизи бифуркационной линии рождения устойчивого периодического движения. Добавление шума ведет к эквивалентному сдвигу по бифуркационной диаграмме. Эффект модуляционной перемежаемости в ГИН Для значений параметра m < m0 = 1.15231 (закритическая область) в системе наблюдается устойчивый цикл периода 4. Увеличение параметра m приводит к жесткому переключению системы на хаотический аттрактор. Если медленно по сравнению с основным периодом колебаний генератора изменять параметр m в малых пределах (0.005-0.010), то система генерирует либо периодические колебания, либо хаотические. При случайном характере изменений параметра колебания включают ламинарные фазы (движение на предельном цикле), нерегулярно во времени прерываемые турбулентными (движение на хаотическом аттракторе, когда значения параметра превышают критическое). Наблюдается модуляционный процесс, индуцированный флуктуациями параметров системы. Математическая модель, описывающая процесс модуляционной перемежаемости, индуцированной техническими флуктуациями параметров генератора, в общем случае имеет вид: x m0 1 ( ) x y xz, y x, (71) z g0 2 ( ) I ( x) x 2 z , где m0 и g0 – значения параметров, отвечающие периодическому режиму колебаний, () – функции типа периодических возмущений со случайными амплитудами и фазой. Начальные условия должны принадлежать периодическому режиму в невозмущенной системе. Проведем численный эксперимент с системой (71), задав 1() =()sin(p), 2() = 0, p =0.01. Изображающие точки в сечении Пуанкаре концентрируются в окрестности точки Q, свидетельствуя о наличии возвращаемости траектории (ламинарные фазы колебаний). В то же время в сечении присутствуют изображающие точки в окрестности хаотической ленты, что свидетельствует о «турбулентных» фазах движения. Спектр режима, дискретный в отсутствие шума, приобретает характерный вид, отражающий процесс модуляционной перемежаемости.
