ГЕНЕРАТОР ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ГУБЧАТОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ КАК

ГЕНЕРАТОР ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ГУБЧАТОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ КАК
«РАВНОПРОЧНОГО» МАТЕРИАЛА ЖИВОЙ КОСТИ
А.С. Скаковский, Ю.В. Акулич
Пермский национальный исследовательский политехнический
университет
E-mail: optimusway@gmail.com
Применение 3-D конечно-элементных моделей к расчету
напряженно-деформированного состояния костей человека встречает
технические трудности, связанные с необходимостью ввода чрезвычайно
большого объема информации о непрерывном и неоднородном
распределении структурных, упругих и прочностных свойств костной
ткани исследуемой области кости. Проблема разрешается путем
использования программно-аппаратного комплекса: томограф, пакет
программ MIMICS. Однако ввиду высокой стоимости комплекса данная
технология имеет ограниченное применение.
В докладе на примере губчатой костной ткани проксимального
отдела бедра излагается алгоритм генерации поля модуля упругости.
Алгоритм основан на использовании принципа оптимальности
трабекулярной костной ткани [1]: «...в эволюционном процессе структура
костей приближается к оптимальной с точки зрения критерия z    , где
,  − предел прочности и плотность соответственно» [2] , с. 253. Отсюда
по нашему мнению следует, что максимальное по области кости значение
критерия должно достигаться в каждой точке области (равнопрочность при
минимальной массе, берется в кавычках). В этом случае математическая
формулировка критерия имеет вид
*  x 
z x 
 zmax , x  ,
 x
(1)
где *  x  ,   x  − напряжение разрушения и плотность костной ткани в
точке x области  костной ткани соответственно.
zmax
Оценка
величины
осуществляется
на
основании
экспериментальных исследований прочности при сжатии образцов
губчатой костной ткани, взятых из различных участков проксимального
отдела бедра, которые показали, что предел прочности пропорционален
локальному модулю упругости костной ткани [3]
*  x   k E  x  ,
(2)
где коэффициент пропорциональности k находится из условия, что при
среднем значении модуля упругости губчатой костной ткани 500 МПа
предел прочности на сжатие равен 5.5 МПа [4], то есть k = 0.011. А для
модуля упругости трабекулярной костной ткани установлена связь с
объемным содержанием матрикса m  x  вида [5]
E  x   Em1m,7  x  ,
(3)
где Em − модуль упругости матрикса влажной губчатой кости, равный 11.4
ГПа [6].
Полагая костную ткань двухкомпонентным композитом, состоящим
из костного вещества (матрикса) и воды в порах, плотность может быть
выражена через объемное содержание матрикса m  x  по формуле смеси
(4)
  x   m  x  m  1  m  x   w
где m ,w − плотности матрикса (1.78 г/см3) и воды (1.0 г/см3)
соответственно [7].
Подставим соотношения (2) – (4) в равенство (1), получим
выражение критерия равнопрочности как функцию одной переменной
m  x  вида
z  m  x   
kEm 1m,7  x 
m  x  m  1  m  x   w
.
(5)
Расчеты показали, что при изменении аргумента m  x  функции (5) в
интервале 0.04 – 0.4, характерном для губчатой кости [7], критерий
z  m  x   монотонно возрастает и достигает наибольшего значения на
границе m  x  =0.4, равного 20131.02, м2с-2.
Рис. 1. Зависимость значения критерия «равнопрочности» от величины
объемного содержания матрикса костной ткани
Задавая набор реперных точек xk , k  1, n , расположенных в вершинах
подобластей  j , j  1,m области  , определяем в них значения объемного
содержания m  xk  , k  1, n из уравнения
zmax 
kE  xk 
m  xk  m  1  m  xk   w
, k  1,n ,
(6)
где E  xk  – значения модуля упругости в реперных точках определяются
по экспериментальным данным [3].
Значения модуля упругости и объемного содержания матрикса в
центре каждого конечного элемента вычисляются с помощью
интерполяционного сплайна с узлами в реперных точках [8], с. 589.
Библиографический список
1. Roux W. Der zuchtende Kampf der Teile, oder die ‘Teilauslese’ im Organismus (Theorie
der ‘finktionellen Anpassung’). − Leipzig : Wilhelm Engelmann, 1881.
2. Образцов И.Ф., Ханин М.А. Оптимальные биомеханические системы. – М.:
Медицина, 1989. 272 с.
3. Brown T.D., Ferguson A.B. Jr. Mechanical property distribution in the cancellous bone of
the human proximal femur // Acta Orthop Scand. 1980. V. 51(3). P. 429-437.
4. Whitehouse W.J., Dyson E.D. Scanning Electron Microscope Studies of Trabecular Bone
in the Proximal End of the Human Femur // Journal of Anatomy. 1974. V. 118(3). P. 417444.
5. Homminga J. [et al.] Determination the dependence of the elastic properties of
osteoporotic cancellous bone on volume fraction and fabric // Journal of
Biomechanics. 2003. V. 36. P. 1461-1467.
6. Zysset P. K. [et al.] Elastic modulus and hardness of cortical and trabecular bone lamellae
measured by nanoindentation in the human femur // Journal of Biomechanics. 1999. V.
32. P. 1005-1007.
7. Martin R. B., Burr D. B. and Sharkey N. A. Skeletal Tissue Mechanics. New-York :
Shringer, 1998. 392 p.
8. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
М.: Наука, 1970. 720 с.
Сведения об авторах
Скаковский Александр Сергеевич – аспирант, дата рождения: 22.09.1986г,
optimusway@gmail.com, +79655521648.
Акулич Юрий Владимирович – профессор, д.ф.-м.н.
Вид доклада: устный (/ стендовый)