Проектная работа по теме: «Математика колебания струны»
advertisement
Проектная работа по теме: «Математика колебания струны» Проектную работу выполнили: Алыбина Светлана Власкина Ксения Задачи нашего проекта: На примере опыта показать, что графиком колебаний является синусоида; Узнать об истории возникновения музыкальной гармонии ; Выявить взаимосвязь музыкальных рядов с физикой колебания струны; Мы хотим рассказать вам: О синусоиде; О возникновении музыкальной гармонии; Об истории создания пифагоровой гаммы; О построении с помощью математических расчётов музыкальной гаммы; Синусоида С помощью опыта, изображенного на рис. №1, можно выяснить, но какому закону меняется с течением времени координата колеблющегося пружинного маятника и как выглядит график этой зависимости. В данном опыте в качестве груза берут какойнибудь небольшой массивный сосуд с маленьким отверстием снизу (например, воронку), а под него кладут длинную бумажную ленту. Сосуд с предварительно насыпанным в него песком приводят в колебательное движение. Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней. На рис. №2 показан вид полученной кривой. Она называется синусоидой (аналогичные графики имеют функции типа у = sin x и y = cos x) Рис. №1 Рис. №2 Возникновение музыкальной гармонии Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными. Пифагорова гамма Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… А как следует выбирать музыкальные тоны внутри одной октавы, чтобы они тоже звучали согласно? Ответ на этот вопрос дали пифагорейцы, построив музыкальную гамму – согласную последовательность тонов внутри октавы, т.е. указав закон, по которому следует выбирать длины струн для извлечения этих тонов. Пифагорова гамма ( наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужила музыкантам более двух тысяч лет – до XVI века. Затем получила распространение так называемая диатоническая гамма, которая была построена на частотах, которые относятся как 2:3:5. Построение музыкальной гаммы с помощью математических расчетов Возьмем струну с длиной L с частотой основного тона v1. Соответствующий этой ноте тон в следующей октаве имеет частоту 2v1 – его можно извлечь из вдвое более короткой струны. Частотный интервал от v1 до 2v1, соответствующий одной октаве, мы и будем делить. Поэтому можно ожидать, что звук с частотой 3/2 v1, извлекаемый из струны длиной 2/3L1, также окажется согласным основному тону v1. Так в пифагоровой гамме появляется звук, называемый квинтой, частота которого в полтора раза больше частоты основного тона. Однако мы уже знаем, что удвоение, т. е. увеличением на октаву, этот звук можно перевести в рассматриваемый промежуток и получить частоту 4/3v1. Такой звук называют квартой. Между собой частоты квинты и кварты относятся как 3/2v1 = 9/8 = 1,125. 4/3v1 Это отношение и было выбрано пифагорейцами в качестве основного шага – ступени гаммы. Теперь можно воспроизвести весь пифагоров строй. Основной тон – прима – имеет частоту v1. Следующий – секунда – частоту v2 = 1,125v1. Ещё на один шаг отличается терция: v3 = 1,125 v2 = 1,125*1,125v1 = 1,2656v1. По этому плану и происходит построение музыкальной гаммы. Вывод В результате проделанной нами работы мы пришли к поразительному выводу – музыка это одно из самых разносторонних видов творчества на нашей планете, т.к. её можно рассматривать с различных сторон, объясняя те или иные её аспекты с точки зрения математики и физики и соединяя все факты, полученные в результате наблюдений и вычислений, в целую систему, называемой музыкальной гармонией.
