ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА Ответы и решения очного

ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ
ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Ответы и решения очного тура конкурса «Юный знаток математики»
8 класс
2010 – 2011 учебный год
№1. Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных
чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
Доказательство:
Произведение четырех последовательных натуральных чисел, сложенное с
единицей, является точным квадратом, если оно представимо в виде
квадрата целого числа.
Рассмотрим данное произведение
Так как,
является целым числом, то выражение
является точным квадратом. Ч.т.д.
№2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны a и b. На его
гипотенузе как на стороне во внешнюю сторону треугольника построен
квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до
центра квадрата.
Ответ: расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра
квадрата равно
.
Решение: Построим квадрат CBKL на гипотенузе во внешнюю сторону.
Достроим данный треугольник до квадрата AFED со стороной
.
Центр квадрата CBKL совпадает с квадратом AFED. Тогда расстояние от
точки A до центра O квадрата CBKL равно половине диагонали квадрата
AFED.
По теореме Пифагора
. Тогда
.
№3.
В
выпуклом
четырехугольнике
ABCD
выполняется
. Докажите неравенство
.
Доказательство:
Пусть точка O — пересечение диагоналей AC и BD. По неравенству
треугольника AO + BO > AB, OC + OD > CD, откуда
(AO + OC) + (BO + OD) > AB + CD,
или (после преобразований) AB + CD < AC + BD. Сложив это неравенство с
данным в условии, получим: 2AB + BD + CD < 2AC + CD + BD, откуда
AB < AC. Ч.т.д.
№4. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом
месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата,
увеличенная на 1. Какое число стоит на 2011 месте?
Ответ: на 2011 месте стоит число 11.
Решение:
Вычислим несколько первых членов последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; 8; 11; …
Очевидно, что после четвертого члена числа начинают повторяться, у
последовательности есть период длины 3: числа 5; 8; 11 далее повторяются.
Таким образом, найдем какое число стоит на 2011 месте:
Таким образом, на 2011 месте стоит число 11.
№5. Камни лежат в трёх кучках: в одной - 51 камень, в другой - 49 камней, а
в третьей - 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также
разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли
получить 105 кучек по одному камню в каждой?
Ответ: нет, нельзя.
Доказательство: Заметим, что если в некоторый момент количество камней
в каждой кучке делится на нечётное число , то и во всех получаемых
разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на .
После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки
из 100 камней и 5 камней (общий делитель 5), из 56 камней и 49 камней
(общий делитель 7), из 51 камня и 54 камней (общий делитель 3).